王雨辰, 王偉, 林時堯, 楊婧, 王少龍, 尹瞾

(1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院, 北京 100081; 2.北京理工大學(xué) 中國-阿聯(lián)酋智能無人系統(tǒng)“一帶一路”聯(lián)合實驗室, 北京 100081;3.中國兵器科學(xué)研究院, 北京 100089; 4.西北工業(yè)集團(tuán)有限公司, 陜西 西安 710043)

0 引言

隨著戰(zhàn)場環(huán)境及作戰(zhàn)形式的變化,重要目標(biāo)配備的多層防御體系日漸完善,依靠單發(fā)導(dǎo)彈難以有效實現(xiàn)對目標(biāo)的突防/攔截,而多彈協(xié)同飽和攻擊則是一種有效的體系化對抗策略。多彈協(xié)同攻擊可使具備不同發(fā)射初始條件的導(dǎo)彈同時擊中目標(biāo),實現(xiàn)飽和攻擊,形成多對一的攻擊態(tài)勢。作為實現(xiàn)協(xié)同攻擊的關(guān)鍵,協(xié)同制導(dǎo)律受到了廣泛關(guān)注。目前,對于制導(dǎo)律的研究主要包括時間一致制導(dǎo)、考慮空間一致制導(dǎo)和收斂時間的協(xié)同制導(dǎo)等。

時間協(xié)同制導(dǎo)是指多發(fā)導(dǎo)彈在同一時刻打擊目標(biāo),以增大對目標(biāo)的攔截概率和毀傷效果。早期協(xié)同制導(dǎo)為時間控制制導(dǎo),通過預(yù)設(shè)期望終端飛行時間,獨立導(dǎo)引多發(fā)導(dǎo)彈在同一時刻進(jìn)行飽和打擊[1-4]。Jeon等[1]基于線性化的彈目相對運動模型,首次設(shè)計了一種可以控制攻擊時間的偏置比例導(dǎo)引,通過引入時間誤差修正項,實現(xiàn)在指定時間攻擊目標(biāo)。Lee等[2]在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步設(shè)計了一種同時考慮攻擊時間和攻擊角度約束的最優(yōu)制導(dǎo)律。Cho等[3]基于比例導(dǎo)引給出了剩余時間的近似解析解,設(shè)計了一種新型的攻擊時間控制制導(dǎo)律,并保證了系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。李斌等[4]基于施瓦茲不等式推導(dǎo)了一種廣義最優(yōu)時間角度控制制導(dǎo)律。上述制導(dǎo)方法均需要采用小角假設(shè),當(dāng)導(dǎo)彈初始航跡角或攻擊角度較大時制導(dǎo)精度將會下降。另外,對于初始發(fā)射狀態(tài)不同的導(dǎo)彈,難以找到一個合適的期望終端攻擊時刻。

得益于多智能體一致性控制理論的發(fā)展,基于不同通訊框架的協(xié)同制導(dǎo)律近幾年得到了廣泛的研究。文獻(xiàn)[5]將剩余飛行時間設(shè)為協(xié)調(diào)變量,基于比例導(dǎo)引設(shè)計了一種導(dǎo)引系數(shù)隨一致性誤差自適應(yīng)變化的偏置比例導(dǎo)引。針對靜止目標(biāo),文獻(xiàn)[6]基于1階一致性算法設(shè)計了兩種協(xié)同制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[7-8]選取彈目相對距離和速度前置角為協(xié)調(diào)變量,結(jié)合比例導(dǎo)引律設(shè)計了一種兩階段協(xié)同制導(dǎo)方法,保證了制導(dǎo)系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[9]基于狀態(tài)受限的一致性算法,設(shè)計了一種考慮視場角約束的協(xié)同制導(dǎo)律。以上研究均針對靜止目標(biāo)展開,并且沒有考慮空間協(xié)同約束。

空間協(xié)同制導(dǎo)是指多發(fā)導(dǎo)彈從不同方向攻擊同一個目標(biāo),稱為碰撞角約束制導(dǎo)?？臻g協(xié)同制導(dǎo)能夠避免多導(dǎo)彈的相互碰撞,并增強(qiáng)戰(zhàn)斗部的毀傷效果[10-11]。文獻(xiàn)[12]基于有限時間非奇異終端滑模設(shè)計了一種考慮空間約束的制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[13]進(jìn)一步考慮導(dǎo)彈動力學(xué)滯后,設(shè)計了一種基于時變滑模控制理論的空間約束制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[14]基于2階滑模理論設(shè)計了考慮空間約束的滑模制導(dǎo)律,所設(shè)計的制導(dǎo)律對目標(biāo)機(jī)動具有一定的魯棒性。文獻(xiàn)[15] 基于Super-Twisting算法設(shè)計了一種魯棒滑模制導(dǎo)律,并通過自適應(yīng)擾動觀測器對目標(biāo)機(jī)動進(jìn)行了在線估計。文獻(xiàn)[16]設(shè)計了一種有限時間收斂的空間約束滑模制導(dǎo)律,并采用狀態(tài)重構(gòu)的思想,通過擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對制導(dǎo)系統(tǒng)的擾動進(jìn)行了前饋補償。

此外,由于末制導(dǎo)的時間較短,需要在攔截到目標(biāo)前使時間和角度誤差收斂。特別是對于機(jī)動目標(biāo),更要求誤差快速收斂以滿足制導(dǎo)的精度要求。對于有限時間穩(wěn)定的系統(tǒng),其收斂時間依賴于初始條件,當(dāng)初始收斂誤差較大時,收斂時間可能趨于無窮,對系統(tǒng)初始狀態(tài)的依賴限制了有限時間制導(dǎo)律的應(yīng)用。固定時間穩(wěn)定理論作為有限時間穩(wěn)定理論的拓展,具有更強(qiáng)的魯棒性及更高的控制精度,且收斂時間只與設(shè)計參數(shù)有關(guān)[17-18]。文獻(xiàn)[19]基于固定時間收斂擾動觀測器提出了一種全局固定時間收斂協(xié)同制導(dǎo)律,實現(xiàn)了對機(jī)動目標(biāo)的協(xié)同打擊,然而觀測器的引入增加了制導(dǎo)律設(shè)計的難度。文獻(xiàn)[20]基于滑模控制理論設(shè)計了一種固定時間收斂的魯棒協(xié)同制導(dǎo)律,所設(shè)計的視線法向制導(dǎo)律由于選用固定增益,在制導(dǎo)過程中執(zhí)行機(jī)構(gòu)可能出現(xiàn)抖振現(xiàn)象。文獻(xiàn)[21]基于分段自適應(yīng)滑模設(shè)計了無向通訊拓?fù)湎碌膮f(xié)同制導(dǎo)律,實現(xiàn)了三維空間內(nèi)的多彈協(xié)同,但是其自適應(yīng)參數(shù)存在漂移現(xiàn)象,降低了終端制導(dǎo)精度。

受上述分析啟發(fā),本文提出一種考慮時間和空間攻擊角度約束的協(xié)同制導(dǎo)律。在視線方向上基于固定時間收斂的1階多智能體一致性理論設(shè)計時間協(xié)同制導(dǎo)律,保證各發(fā)導(dǎo)彈在期望的終端時刻協(xié)同攻擊目標(biāo)。在視線法向基于固定時間非奇異終端滑模設(shè)計帶終端角度約束的法向制導(dǎo)律。采用具有修正能力的自適應(yīng)滑模在線估計擾動上界,避免了因參數(shù)漂移而引起的抖振現(xiàn)象。通過Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了所設(shè)計制導(dǎo)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后建立多組仿真場景,驗證了所設(shè)計方法的優(yōu)越性及有效性。值得一提的是,本文所設(shè)計的自適應(yīng)時間角度控制制導(dǎo)律(AITACGL)采用無領(lǐng)彈的分布式通訊結(jié)構(gòu),避免了單點失效問題,降低了對彈間通訊距離的要求,提高了彈群的魯棒性及作戰(zhàn)效能。

1 問題描述

1.1 三維協(xié)同攔截幾何模型

本文考慮三維空間下N發(fā)導(dǎo)彈組成的集群攻擊同一機(jī)動目標(biāo)的場景,其相對關(guān)系如圖1所示。圖1中,OXEYEZE表示慣性坐標(biāo)系,T表示機(jī)動目標(biāo),Mi(i=1,…,N)表示彈群中的導(dǎo)彈。

圖1 三維多彈協(xié)同攻擊

為簡化分析,本文作如下三維協(xié)同攻擊制導(dǎo)律設(shè)計中的常用假設(shè)[6,22]:1)導(dǎo)彈和目標(biāo)均為質(zhì)點模型;2)導(dǎo)彈的駕駛儀為理想系統(tǒng),沒有響應(yīng)延遲;3)導(dǎo)彈和目標(biāo)均有改變其徑向速度的能力。

導(dǎo)彈和目標(biāo)的質(zhì)心運動方程可表示為

(1)

(2)

式中:aMy和aMz分別表示導(dǎo)彈加速度矢量在慣性坐標(biāo)系下的分量;aTy和aTz分別表示目標(biāo)加速度矢量在慣性坐標(biāo)系下的分量。

導(dǎo)彈攔截機(jī)動目標(biāo)的三維模型[19-21]可表示為

(3)

(4)

(5)

(6)

1.2 通訊拓?fù)?/h3>

對于多彈協(xié)同集群網(wǎng)絡(luò),可采用有向圖G(A)=〈N,ε,A〉表示其通訊拓?fù)?N=〈v1,v2,…,vN〉為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點,即彈群中的每發(fā)導(dǎo)彈,N為節(jié)點個數(shù),ε={(i,j)∈N×N}為網(wǎng)絡(luò)中的邊集,其表征相鄰2發(fā)導(dǎo)彈間的通訊關(guān)系。如果2發(fā)導(dǎo)彈i和j鄰接,即這2發(fā)導(dǎo)彈可以相互通訊,則{vi,vj}∈ε并且{vj,vi}∈ε。矩陣A=[aij]∈RN×N表示權(quán)系數(shù)矩陣,矩陣元素[24]表示為

(7)

定義圖G(A)對應(yīng)的拉普拉斯矩陣為L=[lij]∈RN×N,其中矩陣的元素可表示為

(8)

1.3 協(xié)同制導(dǎo)問題描述

為了實現(xiàn)飽和攻擊,需要令具有不同發(fā)射初始條件的導(dǎo)彈在期望的時刻同時擊中目標(biāo)。本文引入剩余飛行時間tgo作為協(xié)調(diào)變量,并采用式(9)對tgo進(jìn)行估計:

(9)

在工程應(yīng)用中,式(9)常用于剩余飛行時間的計算,在飛行初始階段,該式對剩余飛行時間的估計存在一定誤差,但隨著導(dǎo)彈逐漸接近目標(biāo),估計誤差會逐漸收斂到0。對式(9)求導(dǎo),可得

(10)

第i發(fā)導(dǎo)彈在時刻預(yù)測的成功攔截目標(biāo)的時刻表達(dá)式為

tf,i=t+tgo,i

(11)

(12)

因此,可以通過控制多發(fā)導(dǎo)彈剩余飛行時間一致等價于控制多發(fā)導(dǎo)彈預(yù)測的攔截時刻一致。聯(lián)立式(10)和式(11),可得

(13)

2 多彈分布式協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計

為了方便理論推導(dǎo)和分析,給出相關(guān)定義和引理,進(jìn)一步分別對視線方向和視線法向進(jìn)行制導(dǎo)律設(shè)計。

2.1 相關(guān)定義和引理

定義1[17]對于如下非線性系統(tǒng):

(14)

式中:F∶U0×R→Rn在U0×R上連續(xù),U0為一個包含原點的開鄰域;x0為初始狀態(tài)。如果穩(wěn)定時間上界與初始狀態(tài)x0無關(guān),則稱原點x=0是固定時間穩(wěn)定的。

引理1[25]對于強(qiáng)連通的無向圖G(A)及其拉普拉斯矩陣LA具有如下定義:

1)LA是對稱且半正定的,其具有單個對應(yīng)于特征向量IN的零特征值,并且其他特征向量都大于0;

引理2[18]令x1,x2,…,xn≥0,且0

(15)

(16)

引理3[24]如果存在連續(xù)的Lyapunov函數(shù)V(x),滿足

(17)

式中:a、b、p、q和k滿足pk<1、qk>1,k∈R并且Θ有界,則V(x)軌線是固定時間穩(wěn)定的,其中Θ為一個有界常數(shù)。非線性系統(tǒng)式(14)收斂到如下領(lǐng)域:

(18)

式中:Ξ∈[0,1],穩(wěn)定時間上界可表示為

(19)

2.2 視線方向的協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計

(20)

為同時擊中目標(biāo),設(shè)計式(20)所示改進(jìn)型魯棒自適應(yīng)協(xié)同制導(dǎo)律,以規(guī)避傳統(tǒng)固定時間一致性算法選用高增益帶來的控制抖振問題[18]:

(21)

定理1針對系統(tǒng)式(13),在通訊拓?fù)錈o向連通時,多彈間的剩余飛行時間誤差以及終端攻擊時間誤差在制導(dǎo)律式(21)的作用下,在固定時間內(nèi)收斂到0。

證明構(gòu)建如下正定Lyapunov候選函數(shù):

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

此時式(25)滿足:

(27)

進(jìn)一步將證明協(xié)調(diào)變量在固定時間內(nèi)實現(xiàn)協(xié)調(diào)一致。由拉普拉斯矩陣LA的半正定特性可知,存在半正定矩陣Q∈RN×N滿足:

LA=QTQ

(28)

當(dāng)時V1(ff,i)≠0,有

(29)

(30)

為書寫方便,后續(xù)用λ2表示λ2(LA)。將式(30)代入式(27),可得

(31)

聯(lián)立式(22)和式(27),可得

(32)

經(jīng)過代數(shù)變換,可得

(33)

類似可得

(34)

經(jīng)過代數(shù)變換,可得

(35)

將式(33)和式(35)代入式(31),可得

(36)

(37)

式中:Θ1為任意常數(shù),Θ1∈(0,1)。

2.3 視線法向上的制導(dǎo)律設(shè)計

考慮制導(dǎo)系統(tǒng)式(6)中的視線傾角方向動力學(xué)方程:

(38)

(39)

其對時間的1階導(dǎo)數(shù)為

(40)

針對系統(tǒng)式(38)和滑模變量式(39),設(shè)計如下固定時間收斂自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律:

(41)

式中:βθ>0,其余參數(shù)的定義與式(21)類似。

證明證明分為兩部分,分別證明閉環(huán)系統(tǒng)在收斂過程中一致有界,以及滑?？刂频内吔魏突瑒佣喂潭〞r間收斂。首先考慮如下Lyapunov備選函數(shù):

(42)

沿系統(tǒng)式(38)軌線求V2導(dǎo)數(shù),并代入制導(dǎo)律及自適應(yīng)律式(41),可得

(43)

同理,式(43)可放縮為

(44)

(45)

1) 當(dāng)|sθ|>εθ時,為保證ξθ>0,只需要滿足

(46)

(47)

重新考慮式(42)有

(48)

經(jīng)過代數(shù)變換,可得

(49)

同理可得

(50)

將式(49)、式(50)代入式(47),可得

(51)

(52)

進(jìn)一步證明當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入滑動模態(tài)后,x3,i和x4,i將在固定時間內(nèi)收斂至平衡點附近的鄰域內(nèi),以此保證視線角誤差和視線角速度收斂。當(dāng)sθ,i=0時有

(53)

解微分方程,可得

(54)

(55)

(56)

因此本文設(shè)計的控制律不會趨于無窮大,避免了奇異現(xiàn)象。

考慮視線偏角方向的子系統(tǒng)

(57)

(58)

其對時間的1階導(dǎo)數(shù)為

(59)

針對系統(tǒng)式(57)和滑模變量式(58),設(shè)計如下固定時間收斂自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律:

(60)

證明制導(dǎo)律式(60)的形式與式(41)相同,證明過程與定理2類似,故省略。

3 仿真驗證

以4發(fā)導(dǎo)彈集群分別協(xié)同攻擊同一機(jī)動目標(biāo)為例驗證本文AITACGL。彈群通訊拓?fù)淙鐖D3所示。

圖3 通訊拓?fù)?/p>

該通訊拓?fù)鋱DG(A)的鄰接矩陣可表示為

(61)

表1 初始條件

表2 目標(biāo)初始條件

3.1 針對機(jī)動目標(biāo)的時間約束協(xié)同打擊

(62)

仿真結(jié)果如圖4所示,終端脫靶量、攻擊時間以及角度控制誤差如表3所示。圖4(a)給出了4發(fā)導(dǎo)彈在本文設(shè)計AITACGL作用下的飛行軌跡。由圖4(a)可以看出,采用本文AITACGL能夠精確擊中目標(biāo),由于初始時刻4發(fā)導(dǎo)彈的剩余飛行時間不同,為實現(xiàn)剩余飛行時間協(xié)調(diào)一致,導(dǎo)彈需要調(diào)整其彈道以達(dá)到調(diào)整剩余飛行時間的目的。因此在初始階段,彈道彎曲程度會先呈增大過程。圖4(b)給出了4發(fā)導(dǎo)彈的剩余飛行時間變化曲線,從中可以看出,4發(fā)導(dǎo)彈的剩余飛行時間在0.7 s內(nèi)達(dá)成一致,并且在終端時刻,4發(fā)導(dǎo)彈在期望的時刻tf=40 s同時擊中機(jī)動目標(biāo)。圖4(c)、圖4(d)分別給出了視線法向的角度和角速率的變化曲線,即使初始的角度、角速率誤差不同,在本文AITACGL的作用下都將收斂到期望值,實現(xiàn)對機(jī)動目標(biāo)的平行接近打擊。圖4(e)和圖4(f)分別給出了4發(fā)導(dǎo)彈3個方向上的過載曲線,由仿真結(jié)果可以看出,本文AITACGL平滑無明顯抖振。在制導(dǎo)初始階段,3個方向均出現(xiàn)了飽和現(xiàn)象,這是因為為實現(xiàn)趨近段的固定時間收斂,在設(shè)計中引入了分?jǐn)?shù)次冪,前期的過載飽和充分利用了導(dǎo)彈的過載能力。當(dāng)滑動模態(tài)建立后,制導(dǎo)律中的自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)項用于對總擾動估計并進(jìn)行前饋補償,有利于增大抵消外部擾動的控制裕度。

表3 攔截時間,脫靶量及視線角度誤差

圖4 工況1條件下的仿真結(jié)果

引入如下能量指標(biāo)函數(shù),對比本文AITACGL與固定增益協(xié)同制導(dǎo)律(FCGL)在能量消耗上的優(yōu)越性。能量指標(biāo)函數(shù)可表示為

(63)

仿真初始條件不變,能量消耗及其差值如圖5所示。由圖5(a)可知,采用本文AITACGL相較于FCGL,4發(fā)導(dǎo)彈的能量損耗大幅降低。這是因為本文AITACGL相較于FCGL可根據(jù)擾動的變化調(diào)節(jié)變結(jié)構(gòu)項增益,在保證制導(dǎo)系統(tǒng)穩(wěn)定的同時降低了高增益帶來的能量損耗。通過圖5(b)的結(jié)果可知,平均每發(fā)導(dǎo)彈降低了50.08 kJ,為后續(xù)執(zhí)行突防及攔截任務(wù)提供基礎(chǔ)。

圖5 AITACGL和FCGL能量消耗與差值

3.2 仿真對比

為進(jìn)一步說明本文AITACGL的優(yōu)勢,與文獻(xiàn)[14]設(shè)計的有限時間收斂協(xié)同制導(dǎo)律(FTCGL)進(jìn)行對比。仿真初始條件與3.1節(jié)相同,仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 FTCGL仿真結(jié)果

由圖6(a)和圖6(b)可知,雖然FTCGL在27.71 s實現(xiàn)了對目標(biāo)的攔截,但是該制導(dǎo)律沒有時間控制能力,無法在預(yù)設(shè)時刻擊中目標(biāo)。4發(fā)導(dǎo)彈的飛行時間大約在4.7 s實現(xiàn)一致,而本文AITACGL能夠控制飛行時間更快達(dá)到一致。由圖6(c)中視線角度變化曲線可以看出,對于不同的初始角度誤差,視線角度收斂的速率不同,這是因為有限時間穩(wěn)定理論的特性決定的,其收斂時間受系統(tǒng)初始狀態(tài)影響,而本文AITACGL不受系統(tǒng)初始狀態(tài)影響。從圖6(c)中可以看出,在制導(dǎo)末端,制導(dǎo)系統(tǒng)擾動劇烈變化,彈目視線角發(fā)散,降低了彈目視線角的控制精度。由圖6(d)中的過載曲線可以看出,FTCGL在視線方向的末端將引起劇烈抖振,而在視線法向該制導(dǎo)律也出現(xiàn)了明顯抖振。與圖4(e)、圖4(f)相比,本文AITACGL平滑,更利于實際應(yīng)用。表3給出了制導(dǎo)律攔截時間、脫靶量、視線角誤差的精確數(shù)據(jù)。由表3可以看出,本文AITACGL具有更小的脫靶量和角度控制誤差,再次證明了盡管目標(biāo)具有一定機(jī)動性,采用本文所設(shè)計的制導(dǎo)律能夠完成較高精度的攔截。

3.3 通訊拓?fù)渥儞Q條件下的協(xié)同打擊

圖7 彈群的切換拓?fù)?/p>

圖8 視線方向上的仿真結(jié)果

由圖8(a)中的彈目相對關(guān)系可以看出,在存在通訊拓?fù)淝袚Q的情況下,本文AITACGL仍然能夠同時實現(xiàn)對目標(biāo)的精確攔截,完成飽和打擊任務(wù)。如圖8(b)中剩余飛行時間變化曲線所示,4發(fā)導(dǎo)彈在預(yù)設(shè)時刻同時擊中目標(biāo),驗證了本文AITACGL對切換拓?fù)渚哂恤敯粜浴D8(c)中的過載曲線平滑連續(xù)且具有良好的瞬態(tài)過程,證明了本文AITACGL的在拓?fù)淝袚Q條件下的實用性。

4 結(jié)論

本文基于固定時間收斂非奇異終端滑模以及自適應(yīng)滑模設(shè)計了一種多彈協(xié)同飽和打擊制導(dǎo)律,并進(jìn)行了仿真驗證。得出以下主要結(jié)論:

1) 針對多彈協(xié)同打擊機(jī)動目標(biāo)的場景,結(jié)合一致性控制和固定時間控制理論,設(shè)計一種自適應(yīng)魯棒制導(dǎo)律。控制多彈在期望時刻實現(xiàn)分布式協(xié)同打擊,并保證了閉環(huán)系統(tǒng)的全局固定時間收斂特性。

2) 提出的自適應(yīng)滑?？刂坡?放寬了對目標(biāo)機(jī)動信息的要求,并避免了觀測器的設(shè)計,簡化了制導(dǎo)律的形式。

3) 采用固定時間收斂的非奇異終端滑模面,實現(xiàn)了終端角度約束,保證了彈群間導(dǎo)彈按照不同平面飛行,避免了碰撞,并為提高導(dǎo)彈毀傷能力提供了基礎(chǔ)。

4) 通過仿真驗證了本文提出制導(dǎo)律在制導(dǎo)精度,能量消耗以及通訊拓?fù)渥兓碌钠者m性及優(yōu)越性。