李 龍

（西安科技大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，西安 710054）

0 前 言

通常，對(duì)于無(wú)限大二維及三維彈性體裂紋問(wèn)題，給出應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析解是相對(duì)容易的。對(duì)于帶有邊界裂紋問(wèn)題的求解，相關(guān)文獻(xiàn)給出了裂紋非自發(fā)擴(kuò)展的能量釋放率的概念及其積分定義[1]以及在圓柱管殼[2]、薄壁等邊角鋼[3]等裂紋中的應(yīng)用。但當(dāng)考慮裂紋尖端有多個(gè)不同的奇異應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)力強(qiáng)度因子的裂紋問(wèn)題，若想給出滿足條件的解析解是相對(duì)困難的。因此，許多學(xué)者對(duì)求解含裂紋工程構(gòu)件的應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法進(jìn)行了相關(guān)研究。文獻(xiàn)[4-5]基于J2守恒積分和虛功原理提出了求解多個(gè)不同奇異應(yīng)力場(chǎng)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法。但大部分的梁和細(xì)長(zhǎng)工程構(gòu)件上裂紋的產(chǎn)生是多個(gè)荷載共同作用的結(jié)果，所以目前求解構(gòu)件上裂紋截面受到拉伸和彎曲載荷作用且具有多個(gè)不同的奇異應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)力強(qiáng)度因子的裂紋問(wèn)題主要依賴(lài)于有限元法。如果能找到拉伸和彎曲載荷之間的一些關(guān)系，則J2積分可以繼續(xù)在求解拉伸和彎曲載荷共同作用下多個(gè)不同奇異應(yīng)力場(chǎng)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子中發(fā)揮作用。

本研究基于J2積分和材料力學(xué)中截面應(yīng)力分析理論[6]，以含R 槽方形殼對(duì)稱(chēng)穿透角裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子為例，通過(guò)找出兩種荷載之間的簡(jiǎn)單關(guān)系，求解拉伸和彎曲荷載作用下不同應(yīng)力場(chǎng)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子，建立拉伸和彎曲荷載共同作用下含R槽方形殼對(duì)稱(chēng)穿透角裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算方法。

1 含R槽方形殼對(duì)稱(chēng)穿透角裂紋構(gòu)型

本研究以含對(duì)稱(chēng)穿透角裂紋的R槽方形殼為例，重點(diǎn)研究拉伸和彎曲載荷作用下對(duì)稱(chēng)穿透角裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子求解問(wèn)題。假設(shè)在角裂紋橫截面上，存在4組對(duì)稱(chēng)穿透角裂紋，如圖1所示。先以彎曲載荷為例，給出彎曲載荷作用下不同裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算方法，隨后在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究拉伸和彎曲載荷共同作用下不同裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算方法。

圖1 含R槽方形殼對(duì)稱(chēng)穿透角裂紋構(gòu)型

2 J2積分法計(jì)算R 槽方形殼對(duì)稱(chēng)穿透角裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子

2.1 三維J2積分

考慮三維位移場(chǎng)，其位移矢量μ是x1、x2和x3的函數(shù)，對(duì)于閉合曲面Ω，根據(jù)守恒律，公式（1）的積分為0[7-8]，即

式中：w——應(yīng)變能密度，J/mm3；

Ti——作用于Ω外側(cè)面的力矢量，N；

nj——曲面Ω的外法線矢量；

ui,j——位移矢量，mm。

含R 槽方形殼的對(duì)稱(chēng)穿透角裂紋如圖1 所示。當(dāng)x2軸與裂紋截面垂直，三維J2積分可用于求解拉伸和彎曲載荷作用下含R槽方形殼角裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

2.2 二維J2積分

對(duì)于二維邊值問(wèn)題，守恒律仍保持公式（1）的形式。這時(shí)公式（1）中的積分路徑為s，是坐標(biāo)x1-x2平面內(nèi)的一條閉合曲線。該積分在這樣的不含孔洞閉合曲線上的積分值為0，即

單位厚度的I 型裂紋如圖1 所示。在裂紋尖端近場(chǎng)取閉合積分路徑，計(jì)算方法為

式中：ses——裂紋尖端的直線段；

ssg——四分之一圓弧段；

sge——裂紋面。

沿著路徑ses和ssg，J2積分可表示為

對(duì)于閉合路徑s=sesg+seg，公式（2）可表示為

式中：μ——泊松比；

E——彈性模量，MPa；

KI——I型應(yīng)力強(qiáng)度因子，MPa·m1/2。

3 彎曲載荷作用下含R 槽方形殼對(duì)稱(chēng)穿透角裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子

帶有對(duì)稱(chēng)穿透角裂紋的含R槽方形殼如圖1所示。僅考慮彎曲作用時(shí)，x1-x3平面為含裂紋的對(duì)稱(chēng)平面，所有載荷均作用在該平面上，同時(shí)變形也將發(fā)生在這個(gè)平面。顯然，當(dāng)滿足lb>>t時(shí)，含R槽方形殼的形變具有細(xì)長(zhǎng)梁構(gòu)件和三維殼體的特征?？梢詫⒉牧狭W(xué)中的應(yīng)力與變形計(jì)算方法應(yīng)用于含R槽方形殼角裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算。

3.1 閉合積分曲面

如圖1 所示，含R 槽方形殼在裂紋截面遠(yuǎn)場(chǎng)受彎曲載荷作用。選取三維閉合曲面Aclosed=A++A-+Ain+Aout+Ac，其中符號(hào)“+”表示裂紋截面，“-”表示遠(yuǎn)場(chǎng)截面，A+為裂紋韌帶截面，A-為遠(yuǎn)場(chǎng)無(wú)裂紋截面，Ain為含R槽方形殼的內(nèi)側(cè)表面，Aout為含R槽方形殼的外側(cè)表面，Ac為裂紋面。因?yàn)锳in和Aout為自由面，Ti= 0、n2= 0，因此可得如下結(jié)果[9]

對(duì)于積分曲面A+和A-，不難得到

?′——含R槽方形殼的軸線曲率。

式中：I——慣性矩，mm4，I=(B-2R)[B3+t(B-2R)2]/6+B2t(B-2R)/4+4Rt(π-α)-at3/3-atB2；

R——含R槽方形殼的半圓半徑， mm；

M——作用于含R槽方形殼兩端彎矩， N?m。

將裂紋看成由橢圓孔d′→0 時(shí)退化而成，于是含R 槽殼可看成一變截面管，如圖2 所示。裂紋處的軸線曲率可由下列極限求得

圖2 1/4裂紋橢圓模型（d′→0）

式中：d′——橢圓裂紋模型的短半軸長(zhǎng)度，mm；

a——橢圓裂紋模型的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度，mm；

B——含R槽方形殼截面相鄰直角間距，mm；

t——含R槽方形殼厚度，mm；

γ1——以a/B為自變量的函數(shù)。

圖1中裂紋面Ac由八個(gè)裂紋面組成，其局部放大如圖3所示。

圖3 K主導(dǎo)區(qū)域內(nèi)的局部積分面

根據(jù)能量守恒定律，在裂紋面Ac上，有

式中：J2(Aml) ——裂紋面ml上的J2積分，N/m；

J2(Aeg) ——裂紋面eg上的J2積分，N/m；

KIm、KIe——裂紋面ml、eg 上的應(yīng)力強(qiáng)度

因子，MPa·m1/2。

結(jié)合公式（14）和公式（15），在裂紋面Ac上有

將公式（8）～公式（10）和公式（16）代入公式（1），Aclosed=A++A-+Ain+Aout+Ac上的J2積分可表示為

3.2 補(bǔ)充方程

如公式（17）所示，是一個(gè)包含多個(gè)不同應(yīng)力強(qiáng)度因子的方程，由文獻(xiàn)[10-12]可知，裂紋尖端e和m處不同應(yīng)力強(qiáng)度因子相互關(guān)系的補(bǔ)充方程為

式中：R——含R槽方形殼的半圓半徑，mm；

a——橢圓裂紋模型的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度，mm；

α——彎曲載荷作用下含R 槽方形殼裂紋尖端與R 槽方形殼圓心的連線與x3軸之間的夾角，（°）。

3.3 正則化應(yīng)力強(qiáng)度因子

將公式（11）、公式（12）、公式（18）代入公式（17），可得含R 槽殼的兩種應(yīng)力強(qiáng)度因子分別為

式中：fe(a/B) ——含R 槽方形殼在裂紋尖端e處的應(yīng)力強(qiáng)度因子，MPa·m1/2；

fm(a/B) ——含R 槽方形殼在裂紋尖端m處的應(yīng)力強(qiáng)度因子，MPa·m1/2；

σ0——含R 槽方形殼截面應(yīng)力，kPa，本研究中

4 拉伸、彎曲載荷共同作用下含R 槽方形殼對(duì)稱(chēng)穿透角裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子

4.1 基于G積分的裂紋擴(kuò)展能量釋放率

根據(jù)G積分理論，含R 槽方形殼應(yīng)變能表達(dá)式為

式中：G——基于G積分的裂紋擴(kuò)展能量釋放率，N/m。

公式（21）的物理意義為裂紋面Seglm在x2方向上每平移單位距離時(shí)的能量釋放率或裂紋面擴(kuò)展的能量釋放率。

4.2 基于彎曲理論的裂紋擴(kuò)展能量釋放率

將含R 槽殼看做桿件結(jié)構(gòu)，根據(jù)材料力學(xué)中的梁彎曲理論，可得含R 槽殼應(yīng)變能表達(dá)式為

式中：U——基于彎曲理論的裂紋擴(kuò)展能量釋放率，N/m；

N——作用于含R 槽方形殼兩端的拉伸載荷，N;

lb——含R槽方形殼的長(zhǎng)度，m；

式中：φ——拉伸、彎曲載荷作用下含R 槽方形殼裂紋尖端與R 槽方形殼圓心的連線與x3軸之間的夾角，（°）；

γ1——裂紋截面的面積因子。

4.3 補(bǔ)充方程

從公式（22）不難發(fā)現(xiàn)，公式中同時(shí)含有彎矩M和軸向拉力N。眾所周知，在做構(gòu)件彎曲試驗(yàn)時(shí)常采用三點(diǎn)彎加載，在構(gòu)件的底部中心微小范圍內(nèi)構(gòu)件可近似看成局部受拉，基于此思路，借助材料力學(xué)中截面應(yīng)力分析理論，對(duì)拉伸和彎曲載荷共同作用下的含R 槽方形殼進(jìn)行應(yīng)力分析，可以得到，在拉伸和彎曲載荷作用下構(gòu)件上裂紋尖端處所受彎矩與軸力的關(guān)系[5]可近似表示為

式中：M——作用于含R 槽方形殼兩端的彎矩，N?m；

I——慣性矩，mm；

N——作用于含R 槽方形殼兩端的拉伸載荷，N;

B——含R 槽方形殼截面相鄰直角間的距離，mm。

由季札的評(píng)論我們可知《唐風(fēng)》的特點(diǎn)：一是思深； 二是憂遠(yuǎn)； 三是有傳統(tǒng)，有歷史感。 思深和憂遠(yuǎn)意思相近，故杜預(yù)概括為憂深思遠(yuǎn)，而有傳統(tǒng)、有歷史感又是和憂深思遠(yuǎn)相聯(lián)系著的。 因此，若從風(fēng)格上講，可以說(shuō)是厚重感。 若從思想上來(lái)講，可以說(shuō)是計(jì)長(zhǎng)遠(yuǎn)。 對(duì)于《唐風(fēng)》，可以如此把握之。

4.4 正則化應(yīng)力強(qiáng)度因子

根據(jù)Clapeyron 理論，外載荷作功V=2U，內(nèi)能Π=U-V=-U，根據(jù)平衡條件，則裂紋能量釋放率可表示為

式中：γ1(α/π,t)——以α/π、t為變量的裂紋截面的面積因子；

γ2(α/π,t)——以α/π、t為變量的裂紋截面的慣性因子。

正常條件下，兩種計(jì)算方法得到的能量釋放率相同，因此有

將公式（26）代入公式（30），可得m點(diǎn)處正則化應(yīng)力強(qiáng)度因子為

公式（31）給出了一個(gè)估算對(duì)稱(chēng)穿透角裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的公式，在該公式中，含R槽方形殼上角裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子僅取決于裂紋截面上的彎矩。因此，使用該方法來(lái)表示拉伸和彎曲載荷作用下類(lèi)似含裂紋殼的應(yīng)力強(qiáng)度因子成為可能。

5 有限元分析

表1 裂紋尖端e、m處應(yīng)力強(qiáng)度因子有限元解與本研究解的比較

圖4 含R槽方形殼的有限元網(wǎng)格

圖5 含R槽方形殼的有限元模型應(yīng)力云圖

5.1 彎曲作用下含R槽方形殼對(duì)稱(chēng)穿透角裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子有限元解與本研究解的比較

在本研究有限元解與模型計(jì)算解對(duì)比過(guò)程中，共提取10組有限元數(shù)據(jù)正則化裂紋長(zhǎng)度a/B=0.05、0.1、0.15、0.2、0.25、0.3、0.35、0.4、0.45 和0.5。當(dāng)a/B=0.5 時(shí)裂紋尖端e點(diǎn)應(yīng)力強(qiáng)度因子fe（a/B）的本研究解為0.941，有限元解為0.894，相對(duì)誤差為4.99%，驗(yàn)證了模型計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。

彎曲作用下含R 槽方形殼對(duì)稱(chēng)穿透角裂紋的正則化應(yīng)力強(qiáng)度因子有限元解與本研究解的比較如圖6 所示。從圖6 可以看出，在含R 槽方形殼對(duì)稱(chēng)穿透角裂紋尖端e點(diǎn)，應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著裂紋面的擴(kuò)展呈現(xiàn)非線性增大趨勢(shì)；在裂紋尖端m點(diǎn)，應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著裂紋面的擴(kuò)展先增大后減小，在a/B=0.2 處取得最大值。

圖6 彎曲載荷作用下對(duì)稱(chēng)穿透角裂紋正則化應(yīng)力強(qiáng)度因子

5.2 拉伸和彎曲載荷作用下含R槽方形殼對(duì)稱(chēng)穿透角裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子解與有限元解的比較

選取a/B=0.1 時(shí)，拉伸和彎曲載荷作用下含R 槽方形殼的角裂紋尖端m處（公式（31））和e處正則化應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算結(jié)果，與有限元分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖7所示，通過(guò)圖7 可以看出，兩種方法所得結(jié)果基本吻合，并在a/B=0.45 時(shí)取得最大值，最大誤差為12.8%，滿足工程實(shí)際要求。

圖7 拉伸和彎曲載荷作用下裂紋尖端正則化應(yīng)力強(qiáng)度因子

6 結(jié) 論

（1）基于J2積分、G積分和材料力學(xué)中截面應(yīng)力分析理論，構(gòu)建了在一定拉伸和彎曲載荷共同作用下，裂紋截面不同奇異應(yīng)力場(chǎng)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子求解方法。

（2）證明了J2積分以及材料力學(xué)中平截面假定對(duì)于估算拉伸和彎曲載荷作用下裂紋尖端具有多個(gè)應(yīng)力場(chǎng)的不同應(yīng)力強(qiáng)度因子是可行的。

（3）基于基本力學(xué)和σ=My/I，可以找到不同應(yīng)力強(qiáng)度因子之間的簡(jiǎn)單關(guān)系，為解決不同應(yīng)力場(chǎng)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子問(wèn)題提供了思路。

（4）簡(jiǎn)化了具有對(duì)稱(chēng)穿透裂紋的工程構(gòu)件的應(yīng)力強(qiáng)度因子求解，并且所有分析和計(jì)算都在基本力學(xué)范圍內(nèi)，且誤差在實(shí)際工程可接受范圍之內(nèi)。

（5）推導(dǎo)了含R槽方形殼對(duì)稱(chēng)穿透角裂紋在拉伸和彎曲載荷共同作用下的一系列閉合形式的應(yīng)力強(qiáng)度因子表達(dá)式，為類(lèi)似工程構(gòu)件的應(yīng)力強(qiáng)度因子求解提供參考。