王萬林,黃振坤,趙玲

(集美大學(xué)理學(xué)院,福建 廈門 361021)

1.引言

混沌系統(tǒng)是一類非常重要的系統(tǒng),近年來時(shí)滯反饋控制[1]、滑?？刂芠2-3]、脈沖控制[4]等多種控制方法應(yīng)用于混沌系統(tǒng)的同步控制,特別是脈沖控制在耦合混沌系統(tǒng)中應(yīng)用引起了人們的廣泛關(guān)注[5-8],并在通信保密應(yīng)用中取得了豐富的成果[9-12].

對(duì)于脈沖控制在耦合混沌系統(tǒng)同步問題上的研究,大部分工作都是通過線性輸出反饋脈沖來進(jìn)行的,比如文[13-14]對(duì)Lur’e主從系統(tǒng)采用了線性靜態(tài)測(cè)量反饋脈沖控制,得到了一系列使得Lur’e主從系統(tǒng)達(dá)到同步的穩(wěn)定性結(jié)果.然而帶有二次輸出反饋的脈沖控制作用在Lur’e混沌主從系統(tǒng)上甚至其它耦合混沌系統(tǒng)上都尚無相關(guān)結(jié)果.由于其脈沖控制器上帶有二次輸出反饋項(xiàng),處理起來十分麻煩且無現(xiàn)有方法可直接套用.Amato等人在文[15-16]中利用多面體凸組合方法研究非線性二次系統(tǒng)這個(gè)工作非常具有啟發(fā)性,此方法加以運(yùn)用可以解決脈沖控制器上二次輸出反饋項(xiàng)所帶來的困難.

基于以上觀點(diǎn)與啟發(fā),本文研究了帶有二次輸出反饋的脈沖控制在Lur’e混沌主從系統(tǒng)上的同步問題.利用了多面體凸組合與線性矩陣不等式(LMI)[17]并結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性理論,得到主從系統(tǒng)同步的兩個(gè)新準(zhǔn)則.最后針對(duì)蔡氏電路與二維Lur’e型動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬.

2.主從Lur’e系統(tǒng)模型與預(yù)備工作

考慮以下帶有二次反饋型脈沖的主從Lur’e系統(tǒng)

引理2.1[15]若存在一正定矩陣P和c>0,ρ>1,使得下面不等式成立

那么P ?? ?Pρ,其中?為橢球體Rn:eTPe ≤c}.

由多面體P的凸性可得

引理2.2若存在一個(gè)正實(shí)數(shù)μ,使得

則對(duì)于任意的,有

3.主要定理

證考慮Lyapunov函數(shù)V(e(t))eT(t)Pe(t)和橢球體?Rn:eTPe ≤c}.根據(jù)引理2.1,由(3.1)式和(3.2)式可得

從而在(t0,t1]上,可知

由誤差系統(tǒng)(2.4)可得

從而誤差系統(tǒng)(2.4)漸近穩(wěn)定,即主系統(tǒng)M與從系統(tǒng)S達(dá)到同步.

定理3.2給定Pconv{e(1),e(2),···,e(p)}Rn:e ≤1,k1,2,···,q}.假設(shè)存在一正定矩陣Rn×n,矩陣Rn×l,HiRn×n(i1,2,···,n),α>0,c>0,ρ>1,使得下面不等式成立

證考慮Lyapunov函數(shù)V(e(t))eT(t)Pe(t)和橢球體?Rn:eTPe ≤c}.根據(jù)引理2.1,由(3.7)式和(3.8)式可得

因此當(dāng)任意初始狀態(tài)e(t0)時(shí),誤差系統(tǒng)(2.4)漸近穩(wěn)定.由于P ??,從而當(dāng)任意初始狀態(tài)e(t0)也可使得誤差系統(tǒng)(2.4)漸近穩(wěn)定,即主系統(tǒng)M與從系統(tǒng)S達(dá)到同步.

注3.1定理3.2條件下,多面體P是該系統(tǒng)一吸引域估計(jì).

注3.2定理3.1與定理3.2的區(qū)別在于: 1)定理3.2中的狀態(tài)矩陣A必須要求為Hurwitz矩陣,定理3.1中的A并無要求;2)定理3.1是在給定初值狀態(tài)e(t0)下,其對(duì)合適的多面體P條件更苛刻,并且初值狀態(tài)e(t0)不一定在符合條件的多面體P上;3)定理3.1與定理3.2中的?T?含義不同.綜上可知定理3.1與定理3.2是相互獨(dú)立的.

4.數(shù)值模擬

例1考慮蔡氏電路主從系統(tǒng),主系統(tǒng)M如下

圖4.1 主系統(tǒng)M狀態(tài)圖

假設(shè)脈沖步長(zhǎng)一致,即?T?T?.圖4.2為主從系統(tǒng)的狀態(tài)分量圖,圖4.3為相應(yīng)的誤差系統(tǒng)狀態(tài)分量圖,很明顯可看出主系統(tǒng)M與從系統(tǒng)S產(chǎn)生同步現(xiàn)象.

圖4.2 主從系統(tǒng)狀態(tài)分量x(t),z(t)

圖4.3 誤差系統(tǒng)狀態(tài)分量e1(t),e2(t),e3(t)

例2考慮二維Lur’e型動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)主從系統(tǒng),主系統(tǒng)M參數(shù)選取如下

選取滿足定理3.2條件(3.10)中的脈沖增益矩陣K,Hi,i1,2與?T?,如下

取一組誤差系統(tǒng)初始狀態(tài)ei(0)(i0,1,2,3),在脈沖步長(zhǎng)一致即?T?T?下進(jìn)行數(shù)值模擬,其中

圖4.4為相應(yīng)的誤差系統(tǒng)狀態(tài)分量圖,很明顯只要誤差系統(tǒng)初始狀態(tài)在多面體P所包含的范圍內(nèi),主系統(tǒng)M與從系統(tǒng)S產(chǎn)生同步現(xiàn)象.

圖4.4 誤差系統(tǒng)狀態(tài)分量ei(t),i=0,1,2,3

5.總結(jié)

本文研究了二次輸出反饋脈沖控制下Lur’e混沌主從系統(tǒng)的同步問題.基于Lyapunov穩(wěn)定性理論,結(jié)合多面體凸組合與線性矩陣不等式(LMI)方法得到了在二次輸出反饋脈沖控制下Lur’e混沌主從系統(tǒng)同步的充分條件.最后數(shù)值模擬證實(shí)了結(jié)果的可行性與有效性.