殷偶云

一元二次方程是歷年中考必考內(nèi)容之一。在中考試卷中，直接或間接考查所占分值約為10%。因此，同學(xué)們在學(xué)習(xí)時應(yīng)注重基礎(chǔ)知識的積累、基本技能的獲得，深刻領(lǐng)會各知識點的意義，勤于總結(jié)解題方法和規(guī)律，做到有的放矢。

考點1：一元二次方程的解

例1 （2022·江蘇連云港）若關(guān)于x的一元二次方程mx2+nx-1=0（m≠0）的一個解是x=1，則m+n的值是 。

【解析】把x=1代入方程，得m+n-1=0。變形，得m+n=1。

【點評】解決此類問題的一般方法是將方程的根代入原方程，再求出有關(guān)字母系數(shù)或代數(shù)式的值。

考點2：一元二次方程的解法

例2 （2023·江蘇無錫）解方程：2x2+x-2=0。

【解析】根據(jù)方程的特點，我們選擇公式法求解方程。

因為a=2，b=1，c=-2，所以b2-4ac=12-4×2×（-2）=17。

【點評】解一元二次方程，要根據(jù)方程的特征選擇合適的方法。公式法是解一元二次方程的通法，但我們要注意，運用公式法時，應(yīng)先將方程化成一般形式。

考點3：一元二次方程根的判別式

例3 （2023·甘肅蘭州）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根，則b2-2（1+2c）=（ ）。

A.-2 B.2 C.-4 D.4

【解析】由一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，得根的判別式為0。所以b2-4c=0，即b2=4c，則b2-2（1+2c）=4c-2-4c=-2。選A。

【點評】在討論一元二次方程根的情況時，要注意二次項系數(shù)不為0這個隱含條件。

考點4：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】因為方程總有實數(shù)根x1、x2，

【點評】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將相關(guān)代數(shù)式變形為含有兩根和與兩根積的形式，再利用整體思想代入變形后的關(guān)系式，即可得出相關(guān)字母的值。在運用根與系數(shù)的關(guān)系時，一定要注意方程是一元二次方程且總有實數(shù)根這個隱含條件。

考點5：用一元二次方程解決問題

例5 （2023·山東東營）如圖1，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長），圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2m寬的門（建在EF處，另用其他材料）。當(dāng)羊圈的長和寬分別為多少m時，能圍成一個面積為640m2的羊圈？

【解析】根據(jù)BC=柵欄總長-2AB+2，再利用矩形面積公式求解。

設(shè)矩形ABCD的邊AB=xm，則邊BC=70-2x+2=（72-2x）m。

根據(jù)題意，得x（72-2x）=640。解得 x1=16， x2=20。

當(dāng)x=16時，72-2x=72-32=40；當(dāng)x=20時，72-2x=72-40=32。

答：當(dāng)羊圈的長為40m、寬為16m或長為32m、寬為20m時滿足題目要求。

【點評】建立一元二次方程模型解決實際問題的關(guān)鍵是正確找出題目中的相等關(guān)系，對于求得的結(jié)果要注意檢查是否符合題意和實際情況，并進行正確的取舍。

例6 （2023·四川遂寧）我們規(guī)定：對于任意實數(shù)a、b、c、d有［a，b］·［c，d］=ac-bd，其中等式右邊是通常的乘法和減法運算，如：［3，2］·［5，1］=3×5-2×1=13。已知關(guān)于x的方程［x，2x-1］·［mx+1，m］=0有兩個實數(shù)根，求m的取值范圍。

【點評】解決新定義問題的關(guān)鍵是讀懂題意。本題實質(zhì)是考查一元二次方程根的判別式。