萬志敏，王 婷，曹 健，邵仁玉

（南通職業(yè)大學汽車與交通工程學院，江蘇 南通 226007）

1 引言

結構上的外載荷［1-4］對于結構優(yōu)化設計、故障診斷以及健康監(jiān)測等起著非常重要的作用。由于外載荷很難通過儀器直接測量出來，因此發(fā)展了很多確定性的載荷反求方法，也稱結構動力學第二類逆問題。然而在工程實際中，用于實現載荷反求時的結構模型參數往往也是未知的或者是不確定性的，這勢必導致載荷反求結果是不可信的，而參數識別也稱為結構動力學的第一類逆問題。因此，面向第一、二類逆問題融合解決方案具有重要的現實意義。近年來，結構動態(tài)載荷及參數聯合識別的不確定性方法受到了眾多學者的關注，也已成為當前結構動力學領域的一個熱門分支方向。

文獻［5］中在擴展卡爾曼濾波算法框架下提出了一種EKF-UI（Extended Kalman Filter-Unknown Inputs）算法，來連續(xù)識別系統的外載荷及不確定性參數。文獻［6］基于EKF和最小二乘估計法重新推導出上述EKF-UI算法應用于弱非線性系統，并指出傳統EKF-UI［5］的推導方法相對比較繁瑣。文獻［7］提出了兩步法來連續(xù)識別載荷/狀態(tài)/參數，第一步構造了載荷狀態(tài)傳遞方程，并結合測量觀測方程，采用標準KF法識別出位置載荷；第二步構造了由狀態(tài)及參數組成的增廣狀態(tài)傳遞方程，并基于UKF（Unscented KF）法識別出增廣狀態(tài)向量。文獻［8］在擴展卡爾曼濾波（EKF）的框架下，基于參數模型縮減技術提出了A-DEKF（An Augmented Discrete EKF）法來同時在線估計結構的狀態(tài)/載荷/參數，其主要思想是將結構狀態(tài)、未知外載荷及不確定性參數三者一并組成一個新的增廣狀態(tài)，再應用標準EKF法來估計該增廣狀態(tài)向量，得到載荷和參數識別值。然而，該方法的成功大大依賴于一個數量級合適的未知載荷方差估計值參與濾波運算，該值的大小對ADEKF算法的估計穩(wěn)定性影響非常大。文獻［9］針對線性系統，基于KF和加權最小二乘算法，提出了未知外載荷和狀態(tài)的連續(xù)最小方差無偏估計濾波法，下文簡稱GDF法。最近也提出了擴展GDF（Extended GDF：EGDF）算法來聯合估計結構外載荷以及不確定性結構參數，其核心思想是將未知參數聯合結構狀態(tài)形成新的增廣狀態(tài)向量，基于GDF法及EKF的非線性系統一階線性化思想，推導出擴展GDF算法，能夠適應于弱非線性系統下的載荷/增廣狀態(tài)連續(xù)最小方差無偏估計濾波［10］。不過，該EGDF法中僅采用部分加速度響應作為測量信號參與濾波識別計算，極易導致識別的位移及載荷結果與理論結果存在明顯的虛假低頻漂移現象。究其原因是加速度信號對于輸入載荷的準靜態(tài)分量不夠靈敏，而僅采用加速度響應進行識別，會導致系統的低頻振動信號丟失。文獻［10-11］采用位移與加速度信號來作為測量響應很好解決了低頻漂移的不穩(wěn)定問題，因為加速度信號和位移信號中分別包含了高、低頻振動特性。不過，由于位移傳感器通常體積較大，安裝位置有要求且易造成結構原始特性改變，并且價格相對于加速度傳感器較貴，不太適用于眾多工程應用中。

考慮到應變響應與位移響應的對應線性物理關系，也包含足夠的低頻振動特性。同時，應變計體積小，易于安裝，且價格便宜。這里基于多傳感器數據融合的策略，應用個別應變響應以及部分加速度響應作為測量信號來擴展原始EGDF算法，以便進行穩(wěn)定的載荷及參數聯合識別。另外，模態(tài)縮減法的應用可以提高計算效率，更加適用于工程實際應用。數值算例采用桁架為對象來驗證了這里方法的有效性。

2 模態(tài)EGDF法

對于含黏性阻尼的n個自由度結構動態(tài)系統，其運動微分方程可以表達為下式：

式中：M、C、K—系統質量、阻尼及剛度矩陣，且C一般是n×n的正定或半正定的對稱矩陣；p(t)、p?(t)、p?(t)—有限元節(jié)點的位移、速度及加速度響應；u（t）—外載荷激勵；Bu—外載荷向量的位置影響矩陣。

引入模態(tài)坐標變換：

式中：Φ、q(t)—模態(tài)振型矩陣和模態(tài)位移向量。

將方程代入運動微分方程可得：

其中，Mn=ΦTMΦ=I，Cn=ΦTCΦ=Γ，Kn=ΦTKΦ= Λ，并且存在：

式中：ωi、ζi—第i階系統無阻尼自然頻率和模態(tài)阻尼率。

那么，方程可以寫成：

定義增廣模態(tài)狀態(tài)向量z(t) =(q，?，α)T。

其中，α=[α1α2…αα]T表示結構的不確定性參數。這里的不確定性參數假定為結構自然頻率及模態(tài)阻尼率。不過一般來說，結構質量可以看成是恒定不變量，則上述不確定性參數等價于結構的剛度值及模態(tài)阻尼率。模態(tài)狀態(tài)運動微分方程變換為狀態(tài)傳遞形式為：

系統觀測方程可以表達成下式：

式中：H=[ -ΦsΛ -ΦsΓ]，D=ΦsΦTBu，Φs—用于系統識別的s個加速度測量信號所在位置對應的結構振型系數矩陣，矩陣D可以看出為可逆矩陣。

考慮過程噪聲，系統的模態(tài)狀態(tài)傳遞方程以及觀測方程可以分別寫成如下的非線性時間離散形式：

式中：下標k—第k個采樣時刻；y—加速度測量響應；另外，wk—系統噪聲，其均值和方差分別假定為0和Gk；vk—觀測噪聲，其均值和方差分別假定為0和Rk。

定義向量分別是真實值zk、uk在觀測向量（y0，y1，y2，…，yk）下的后驗估計值，狀態(tài)方差矩陣假定為另外，假定模態(tài)狀態(tài)的最小方差無偏估計初始值z0|-1及其方差是已知量?；谝陨险f明，可以推導出用于聯合識別載荷/狀態(tài)/參數的模態(tài)EGDF濾波算法，共由三步識別組成，分別是載荷識別步、測量更新步以及時間更新步［8］。這三次識別步如下：

（1）載荷識別步：

（2）測量更新步：

（3）時間更新步：

式中：?z fk、?u fk和?zhk—靈敏度矩陣，其具體表達形式如下式：

其中，

3 應變及加速度響應融合下的EGDF法

加速度傳感器因其體積小、易安裝，且對結構系統特性影響很小，因而廣泛應用于工程實際中來測量結構的振動響應。然而，僅采用加速度測量信號來識別結構系統的GDF算法具有本征的不穩(wěn)定性，識別出的位移及載荷值會產生明顯的虛假低頻漂移現象。究其原因是因為加速度信號對于輸入載荷的準靜態(tài)分量不夠靈敏［12］。研究表明在部分加速度響應信號的基礎上融合個別位移響應信號作為測量信號來聯合識別結構的未知外載荷/狀態(tài)/參數能夠極大地緩解虛假低頻漂移問題，原因是加速度信號和位移信號中分別包含了高、低頻振動特性［10］。然而，位移傳感器一般來說體積較大，安裝測量時容易造成結構系統的動態(tài)特性改變，影響實際測量結果，而且價格也相對較貴?？紤]到應變計體積小巧，易于安裝，價格便宜，測量響應還包含位移信息，這里將同時應用應變響應和加速度響應來識別未知載荷和結構參數。

應變和位移的數學關系可以表示成［14-15］：

式中：Hε—應變-位移傳遞矩陣。

將公式應用于EGDF算法中，則觀測方程變換成：

式中：vεk—應變觀測噪聲向量，并假設均值為0，方差為Rεk。

那么，公式中的載荷矩陣Dk變換為：

式中：下標s、udof—測量應變以及未知載荷的數量。

公式變換為：

考慮到應變測量與加速度測量響應的數據融合，傳統EGDF算法的公式、分別變換為：

綜上所述，這里提出的改進算法仍然包括三步：載荷識別步、測量更新步、時間更新步，對應的公式為（30）、（12）～（15）、（31）、（17）～（20）。為了滿足工程中實時識別的要求，可以僅選取結構的前r階主導模態(tài)參與計算即可達到工程精度，而其余的n-r階非主導模態(tài)可以不考慮。本算法流程，如表1所示。

表1 基于EGDF和應變響應的載荷/參數識別流程Tab.1 The Proposed Algorithm Based on the EGDF and Strain Responses

4 數值算例

為了驗證這里應變與加速度測量數據融合下的模態(tài)EGDF方法的可行性，本節(jié)以平面桁架作為數值仿真對象。如圖1 所示，平面桁架共包含桿單元31個，且每根桿的橫截面尺寸一致，水平桿單元的長度是2m，斜45°桿單元的長度是。所有桿的共性結構參數如下：桿單元的橫截面積是8.95×10-5m2，彈性模量是2 × 107Pa，密度是7.85 × 103kg/m3。本例中的每根桿單元采用集中質量單元，是由兩個節(jié)點組成，每個節(jié)點皆含有橫向/縱向2個自由度，且節(jié)點1和17是固定約束。另外，結構系統阻尼假設為比例型C=αM+βK，阻尼系數分別α=0.1523、β=4.6203×10-4。兩個外載荷分別作用于節(jié)點4和節(jié)點9上，均為豎直方向力（如圖1），載荷u1采用雙正弦激勵形式：

圖1 平面桁架結構、桁架有限元模型和傳感器布置示意圖Fig.1 Plane Truss Structure，Truss Finite Element Model and Sensor Layout Diagram

而載荷u2采用隨機激勵形式。圖1中的黑方格代表加速度傳感器布置的位置。

本例中6個桿單元5、7、10、14、15和17的剛度值是不確定的需要與外載荷進行聯合識別，假設其初始值分別為759.5N/m、633.0N/m、1342.5N/m、1163.5N/m、759.5N/m、633.0N/m。通常而言，模態(tài)縮減法在滿足工程精度的同時，能夠有效地減小整個計算量有利于整個計算量。本算例采用前7階主導模態(tài)來進行結構的載荷/狀態(tài)/參數識別。首先，選取7個加速度測量信號來參與識別計算，分別為節(jié)點3、4、5、7、9、10的豎直加速度響應信號以及節(jié)點9的水平加速度響應信號。5%的環(huán)境噪聲加在了所有測量響應中。兩個外載荷的識別結果，如圖2、圖3所示?？梢钥闯鲚d荷識別值都出現了明顯的低頻漂移現象，特別是載荷u1的相對誤差已達到29.3%。此外，這里方法也識別出所有節(jié)點的狀態(tài)值，即位移及速度響應。如圖4展示的是節(jié)點8的豎直位移及速度的理論值與識別值對比圖，圖中可以明顯看出速度識別值的結果很好，相對誤差較小，但是位移識別值明顯跟隨載荷識別值，也同樣出現了虛假的低頻漂移現象。為了解決上述虛假低頻漂移問題，應用這里的應變響應和加速度響應數據融合策略，測量個別單元的應變響應，與上述加速度測量信號一并來聯合識別結構未知載荷、狀態(tài)及不確定性參數，此時新增的兩個測量信號分別是單元6、17的豎直應變響應。分別為外載荷、位移和速度的實際值與識別值對比圖，如圖5～圖7所示。

圖2 載荷u1的準確值和估計值Fig.2 The Actual and Identified Values of Force u1

圖3 載荷u2的準確值和估計值、a圖的局部放大圖（1～1.1）s示意圖Fig.3 Exact Value and Estimated Value of Load u2 and Schematic Diagram of Local Enlarged View（1～1.1）s of Fig.a

圖4 節(jié)點8豎直位移、直速度的理論值及識別值Fig.4 Theoretical Values and Identification Values of Node 8 Vertical Displacement and Straight Velocity

圖5 采用應變-加速度數據融合下的載荷u1的準確值和估計值Fig.5 The Actual and Identified Values of Force u1 by Data Fusion of Strain and Acceleration Responses

圖6 采用應變-加速度數據融合下的載荷u2的準確值和估計值、a圖的局部放大圖（19～19.1）s示意圖Fig.6 Exact Value and Estimated Value of Load u2 under Strain-Acceleration Data Fusion，and Schematic Diagram of Local Enlarged View（19～19.1）s of Fig.a

圖7 采用應變-加速度數據融合的節(jié)點8豎直位移的理論值及識別值、節(jié)點8豎直速度的理論值及識別值示意圖Fig.7 Schematic Diagram of Theoretical Value and Identification Value of Vertical Displacement of Node 8 and Theoretical Value and Identification Value of Vertical Velocity of Node 8 with Strain-Acceleration Data Fusion

識別結果的圖線與實際值圖線基本重合，可以看出這里的數據融合方法可以較大程度緩解載荷及位移識別的虛假低頻漂移問題，其中載荷u1識別值的相對誤差已降低到4.75%。另外，平面桁架的6 個不確定剛度的識別值，可以看出其識別值十分準確，誤差極小，如表2 所示。

表2 桁架剛度識別值Tab.2 Comparisons of Identified Element Stiffness Parameters of the Truss

上述兩種識別方法下的識別結果相對誤差對比柱狀圖，如圖8 所示。明顯看出，這里的方法識別的載荷及位移相對誤差大大降低。綜上所述，這里的應變與加速度信號融合對于解決結構的載荷、狀態(tài)以及參數識別問題具有很強的適用性，很好地解決了此前Kalman 類算法（最小二乘法）的低頻飄移現象。

圖8 兩種方法的識別結果相對誤差對比圖Fig.8 The Comparison Figure of the REs Obtained From the Two Algorithms

5 結論

這里采用多種傳感器信息融合的策略，基于應變測量與加速度測量信號的數據融合，改進了原始EGDF算法來進行線性結構狀態(tài)、未知載荷及不確定性參數的三者聯合識別，且在識別過程中僅需要工程中常用的加速度及應變傳感器，同時極大地緩解了位移及載荷識別結果出現虛假低頻漂移的不穩(wěn)定現象。模態(tài)縮減法的應用使得本算法更能適應大規(guī)模的工程實際案例。數值算例驗證了這里方法的有效性。