沈超敏，鄧 剛，劉斯宏，嚴(yán) 俊，毛航宇，王柳江

(1.河海大學(xué) 水利水電學(xué)院，江蘇 南京 210098；2.中國(guó)水利水電科學(xué)研究院 水利部水工程建設(shè)與安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100048)

1 研究背景

堆石料是由不同粒徑的巖石顆粒相互填充形成的顆粒材料，因?yàn)槠鋬?yōu)良的工程特性，在土石壩、堤防、基礎(chǔ)等工程中廣泛應(yīng)用。與砂土、粉土等材料定義了明確的粒徑區(qū)間不同，堆石料的粒徑跨度較大，屬于典型的寬粒徑顆粒材料。以土石壩工程為例，筑壩堆石料的最大粒徑可達(dá)1000 mm，而粒徑較小的顆?？梢缘陀?.075 mm[1-4]。對(duì)于粒徑跨度大的顆粒集合體，存在以下兩個(gè)問(wèn)題值得探討：(1)堆石料爆破過(guò)程的不確定性和施工填筑過(guò)程對(duì)粒徑的離析作用難免造成堆石料在實(shí)際工程中級(jí)配的變異性。有研究表明，級(jí)配的變化會(huì)影響堆石料的變形模量、峰值強(qiáng)度和剪脹特性等[5-7]，對(duì)工程的變形與穩(wěn)定造成不確定性隱患。隨著我國(guó)在不良地質(zhì)條件下筑壩、軟巖筑壩等工程的增多，堆石料級(jí)配的變異性問(wèn)題進(jìn)一步凸顯。(2)堆石料的縮尺效應(yīng)。由于工程現(xiàn)場(chǎng)的堆石料最大粒徑往遠(yuǎn)超出室內(nèi)土力學(xué)試驗(yàn)允許的范疇，因此需要將堆石料的級(jí)配進(jìn)行縮尺后開(kāi)展相關(guān)試驗(yàn)。如何建立縮尺后與原型級(jí)配堆石料之間工程特性的聯(lián)系是廣泛討論的難題[8-10]。

堆石料的級(jí)配變異性與縮尺效應(yīng)從本質(zhì)上屬于同一個(gè)問(wèn)題，即如何建立堆石料級(jí)配(包括粒徑)與其物理力學(xué)性質(zhì)的定量聯(lián)系。目前已有一些研究針對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了一些重要的嘗試，且普遍認(rèn)為顆粒材料的壓實(shí)密度(最大干密度)是級(jí)配與物理力學(xué)性質(zhì)(臨界狀態(tài)位置[11]、壓縮模量[12-13]等)的橋梁，因此，有必要在此之前建立級(jí)配與堆石料最大干密度之間的定量聯(lián)系。

目前，已經(jīng)有部分研究通過(guò)室內(nèi)振動(dòng)壓實(shí)和現(xiàn)場(chǎng)大型密度坑試驗(yàn)研究了初始級(jí)配對(duì)堆石料最大干密度的影響規(guī)律，并基于試驗(yàn)結(jié)果提出了最大干密度的經(jīng)驗(yàn)預(yù)測(cè)方法。例如，朱俊高等[14]通過(guò)室內(nèi)干密度試驗(yàn)研究了堆石料的級(jí)配對(duì)密度的影響，提出最大干密度與土料級(jí)配參數(shù)以及縮尺比例間的關(guān)系；吳二魯?shù)萚15]采用上述連續(xù)級(jí)配函數(shù)，建立了級(jí)配函數(shù)參數(shù)與最大干密度的統(tǒng)一關(guān)系；朱晟等[10]通過(guò)大型現(xiàn)場(chǎng)密度試驗(yàn)，研究了不同的初始級(jí)配和縮尺方法對(duì)堆石料干密度的影響，并評(píng)估了縮尺效應(yīng)對(duì)模量的高估程度。對(duì)于級(jí)配不連續(xù)的堆石料也有部分學(xué)者開(kāi)展了研究，如于際都等[16]通過(guò)試驗(yàn)研究了間斷級(jí)配堆石料的壓實(shí)特性，并基于試驗(yàn)結(jié)果建立了間斷級(jí)配堆石料壓實(shí)干密度的預(yù)測(cè)模型；文喜南等[17]在已有顆粒堆積模型的基礎(chǔ)上假定了單一粒徑的粗粒土顆粒的最優(yōu)孔隙比與粒徑呈冪函數(shù)關(guān)系，并采用參數(shù)優(yōu)化算法反演模型參數(shù)，預(yù)測(cè)了不同工程粗粒土的最小孔隙比。盡管這些試驗(yàn)結(jié)果均具有重要的啟示意義，但這些經(jīng)驗(yàn)公式一般僅適用于某種特定的級(jí)配函數(shù)，研究結(jié)果的可拓展性有待進(jìn)一步明確。

本文將提出一種可以快速預(yù)測(cè)給定級(jí)配堆石料密度的計(jì)算方法，并通過(guò)連續(xù)、間斷級(jí)配的堆石料試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證該算法的合理性。最后，基于該預(yù)測(cè)算法討論堆石料的粒徑截?cái)嘈?yīng)以及縮尺對(duì)堆石料最大干密度的影響。

2 顆粒最大干密度快速預(yù)測(cè)方法

2.1 顆粒材料降維映射概念顆粒堆積的問(wèn)題一直是數(shù)學(xué)和理論物理學(xué)界關(guān)心的問(wèn)題。近年來(lái)，顆粒物理領(lǐng)域提出了降維映射理論[18]，用于解決球體的密實(shí)堆積問(wèn)題。由于降維映射理論本身并非局限于球形顆粒，因此在水利土木工程中也可以將這個(gè)概念拓展到預(yù)測(cè)一般形態(tài)顆粒的最密實(shí)堆積。顆粒材料降維的概念的核心是指將符合某一分布P3D(d)的三維顆粒堆積映射成一維的線(xiàn)段。此處，三維的粒徑分布P3D(d)的定義是指粒徑位于d到d+dd的顆粒數(shù)目概率。為了方便理解，圖1以球形顆粒為例給出了三維顆粒堆積示意圖，假設(shè)有一條直線(xiàn)穿越該顆粒堆積體，則該直線(xiàn)被這些顆粒的外表面分割成若干條線(xiàn)段。其中位于各個(gè)顆粒內(nèi)部的線(xiàn)段長(zhǎng)度記為L(zhǎng)，這些線(xiàn)段的長(zhǎng)度分布函數(shù)P1D(L)可以與P3D(d)建立如下定量關(guān)系[18]：

圖1 三維顆粒與一維線(xiàn)段的映射關(guān)系

(1)

式中dM為最大的顆粒粒徑。

顆粒材料的降維概念建立了三維顆粒與一維線(xiàn)段之間的定量聯(lián)系，因此，三維顆粒堆積形態(tài)的差異均能通過(guò)一維線(xiàn)段的排列來(lái)表征。如兩個(gè)顆粒的距離改變對(duì)應(yīng)著這兩個(gè)顆粒“切割”的線(xiàn)段之間距離的改變。

然而，若要僅從一維的線(xiàn)段排列反映三維顆粒的堆積形態(tài)則需要給定這些一維線(xiàn)段間的間隙，換言之，需要給定這些線(xiàn)段之間的勢(shì)函數(shù)。需要說(shuō)明的是，堆積模擬只要得出堆積的結(jié)果，并不需要完全重現(xiàn)顆粒堆積的動(dòng)力學(xué)過(guò)程。為此，勢(shì)函數(shù)的具體形式只需要保證顆粒之間不發(fā)生重疊，且超過(guò)一定間距之后顆粒之間不再具有相互作用即可。為此，本文采用以下最簡(jiǎn)單的形式：

(2)

式中：V為兩條線(xiàn)段間的勢(shì)能，由于三維的顆粒是硬球，因此V取值僅為零或者無(wú)窮大；h為任意兩個(gè)線(xiàn)段Li和Lj的鄰近端的距離；f為顆粒的自由體積參數(shù)。式(2)的勢(shì)函數(shù)中可以通過(guò)參數(shù)f的取值確定一維線(xiàn)段之間的最小間距，當(dāng)三維顆粒的形狀從理想的球形變?yōu)椴灰?guī)則形狀時(shí)，對(duì)應(yīng)的一維線(xiàn)段之間的最小間距增大。Shen等[19]進(jìn)一步通過(guò)模擬發(fā)現(xiàn)通過(guò)改變參數(shù)f的取值，可以反映不同形狀系數(shù)的顆粒材料堆積。表1給出了一些文獻(xiàn)中出現(xiàn)的典型顆粒材料對(duì)應(yīng)的f取值[20]，針對(duì)堆石料的參數(shù)f取

表1 文獻(xiàn)中典型顆粒材料的參數(shù)f取值

值還有待進(jìn)一步明確。式(2)定義的顆粒之間的勢(shì)函數(shù)規(guī)定了線(xiàn)段之間的最小間距僅與線(xiàn)段的長(zhǎng)度和顆粒的形狀有關(guān)，并沒(méi)有考慮不同方向上的顆粒最小間距的差異。對(duì)于特殊的顆粒(如片狀顆粒、非凸顆粒)的堆積，由于堆積體會(huì)存在顯著的各向異性，因此式(2)的勢(shì)函數(shù)需要改進(jìn)后才能考慮各向異性顯著的堆積體。

2.2 顆粒材料堆積算法圖2給出了計(jì)算顆粒材料最小孔隙比emin的算法流程，可以分為三個(gè)步驟，每個(gè)步驟可以用一層映射表示。

圖2 堆石料最大干密度預(yù)測(cè)算法流程

第一層映射F1將顆粒的級(jí)配曲線(xiàn)的函數(shù)M(d)映射成顆粒數(shù)目概率分布函數(shù)P3D(d)。不難根據(jù)級(jí)配的定義建立兩者的聯(lián)系[21]

(3)

式中：V(d)為粒徑為d的顆粒體積；dm和dM分別為試樣的最小和最大粒徑。

第二層映射F2通過(guò)式(1)將粒徑數(shù)目的概率分布函數(shù)P3D(d)映射為一維線(xiàn)段的長(zhǎng)度分布函數(shù)P1D(L)。并根據(jù)概率分布函數(shù)P1D(L)生成符合該分布的線(xiàn)段集合L1，L2，…，Ln。本文生成符合概率密度P1D(L)的一維線(xiàn)段集合時(shí)采用了舍選算法，其優(yōu)勢(shì)是可以數(shù)值上生成符合任意概率密度分布的隨機(jī)變量。為了使生成的線(xiàn)段數(shù)量足夠具有代表性，已生成的線(xiàn)段集合L1，L2，…，Ln的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)與目標(biāo)分布P1D(L)對(duì)比，直到每個(gè)長(zhǎng)度區(qū)間內(nèi)的差異小于1%，則停止生成新的線(xiàn)段。

第三層映射F3將符合P1D(L)分布的線(xiàn)段進(jìn)行最優(yōu)排列，線(xiàn)段的間距由式(2)的勢(shì)函數(shù)確定。當(dāng)線(xiàn)段集生成后，本文運(yùn)用較高效的“貪婪算法”將P1D(L)映射到最小孔隙比emin空間。算法的主要優(yōu)點(diǎn)是將線(xiàn)段按照長(zhǎng)度逆序插入，從而避免計(jì)算新插入的線(xiàn)段與所有已存在線(xiàn)段的勢(shì)能。該算法可以總結(jié)為：

(1)將線(xiàn)段按照逆序標(biāo)記為L(zhǎng)1≥L2≥L3≥…≥Ln，并將線(xiàn)段將從長(zhǎng)到短依此插入線(xiàn)段集；(2)設(shè)定線(xiàn)段間的間隙集{gi}，間隙數(shù)量與線(xiàn)段的數(shù)目相同。隨著第一條線(xiàn)段L1的插入，第一個(gè)間隙的長(zhǎng)度為g1=fL1。為了插入線(xiàn)段Lj，首先找到并刪除已有的線(xiàn)段集中線(xiàn)段間的最大間隙gmax，則新插入的線(xiàn)段會(huì)帶來(lái)兩段孔隙，即fLi和max[gmax-(1+f)Lj，fLj]。

按照上述的最小孔隙比算法，最終顆粒體系的最小孔隙比可以按照以下公式計(jì)算：

(4)

相應(yīng)的堆石料最大干密度則可以根據(jù)最小孔隙比建立聯(lián)系

(5)

式中Gs為堆石料的顆粒比重。

3 堆積算法的驗(yàn)證與應(yīng)用

為了驗(yàn)證該堆積算法在預(yù)測(cè)不同級(jí)配堆石料最大干密度的合理性，本文選用了兩組文獻(xiàn)中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。

第一組用于驗(yàn)證的數(shù)據(jù)來(lái)自文獻(xiàn)[16]的間斷級(jí)配堆石料最大干密度試驗(yàn)，試驗(yàn)的級(jí)配通過(guò)在連續(xù)的基準(zhǔn)級(jí)配基礎(chǔ)上剔除某一粒徑組的顆粒制備，其中連續(xù)的基準(zhǔn)級(jí)配曲線(xiàn)由分形分布函數(shù)描述[22]

P=(d/dM)3-D

(6)

式中D為級(jí)配的分形維數(shù)，試驗(yàn)中分別考慮了D=1.9，2.1，2.3和2.5四種不同的基準(zhǔn)級(jí)配，且針對(duì)每個(gè)基準(zhǔn)級(jí)配分別考慮了5～<20 mm，2～<5 mm，0.5～<2 mm，0.25～<0.5 mm以及0.075～<0.25 mm粒徑組缺失情況下的最大干密度。

模型預(yù)測(cè)前，采用某一級(jí)配的堆石料最大干密度試驗(yàn)數(shù)據(jù)標(biāo)定參數(shù)f，本次標(biāo)定選取的試樣為D=2.3，缺失粒徑組為0.075～<0.25 mm的試樣，標(biāo)定確定的參數(shù)f取值為1.13。標(biāo)定完成后，該材料的其余試樣均采用該參數(shù)進(jìn)行計(jì)算預(yù)測(cè)。計(jì)算過(guò)程采用了常規(guī)的處理器i9-12900H，預(yù)測(cè)一個(gè)試樣最大干密度的計(jì)算機(jī)耗時(shí)平均為0.76 s。相較于一些文獻(xiàn)中的數(shù)值模擬方法計(jì)算堆積密度(如離散元等)，計(jì)算效率提升非常顯著。

圖3比較了上述間斷級(jí)配堆石料最大干密度的試驗(yàn)數(shù)據(jù)與模型預(yù)測(cè)結(jié)果。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，即使在堆石料的級(jí)配曲線(xiàn)存在間斷的情況下，本文提出的算法依然能夠較好地預(yù)測(cè)給定級(jí)配堆石料的最大干密度。值得注意的是，在密度較低的區(qū)間內(nèi)，圖3中的預(yù)測(cè)和實(shí)測(cè)密度的偏差不可忽視?？赡艿脑蚴俏墨I(xiàn)中的試驗(yàn)并未給出小于0.075 mm的粒徑分布，因此在模型預(yù)測(cè)過(guò)程中并未考慮小于0.075 mm的顆粒影響。

圖3 間斷級(jí)配堆石料最大干密度試驗(yàn)和模型預(yù)測(cè)值對(duì)比

圖4進(jìn)一步分析了基礎(chǔ)級(jí)配的分形維數(shù)以及間斷位置對(duì)堆石料的最大干密度的影響。從圖4(a)的試驗(yàn)結(jié)果看，無(wú)論是連續(xù)的級(jí)配還是缺失某粒徑組的間斷級(jí)配堆石料，堆石料的最大干密度隨著分形維數(shù)D的增加而增大。圖4(b)的模型預(yù)測(cè)結(jié)果中除了5～<20 mm間斷級(jí)配中略有差異外，基本較好地預(yù)測(cè)了這一規(guī)律。此外，試驗(yàn)結(jié)果表明，對(duì)于不同基準(zhǔn)級(jí)配的堆石料，粒徑間斷的位置對(duì)堆石料影響并沒(méi)有一致性的規(guī)律，而圖4(b)的模型預(yù)測(cè)卻能夠較好地重現(xiàn)上述試驗(yàn)結(jié)果，表明本文提出的堆石料最大干密度計(jì)算方法在預(yù)測(cè)間斷級(jí)配堆石料堆積特性方面效果顯著。

圖4 級(jí)配分形和間斷位置對(duì)堆石料最大干密度的影響

第二組驗(yàn)證試樣采用了吳二魯?shù)萚15]測(cè)試的連續(xù)級(jí)配砂礫石料進(jìn)行密度預(yù)測(cè)研究。這些級(jí)配曲線(xiàn)統(tǒng)一由以下級(jí)配函數(shù)描述

(7)

式中：dM為最大粒徑，分別為60、40和20 mm；b和m為函數(shù)中的參數(shù)，通過(guò)對(duì)b和m分別取不同的值可以得到不同的級(jí)配曲線(xiàn)：當(dāng)dM=60 mm時(shí)，通過(guò)改變b和m的值，得到了16組級(jí)配曲線(xiàn)，可以研究級(jí)配曲線(xiàn)的形態(tài)對(duì)最大干密度的影響；當(dāng)b和m取值一定時(shí)，改變dM的值，得到了8組級(jí)配曲線(xiàn)，可以研究縮尺效應(yīng)對(duì)最大干密度的影響。

圖5中對(duì)比了采用本文提出的預(yù)測(cè)方法得到的上述24組連續(xù)級(jí)配堆石料的最大干密度與文獻(xiàn)中的實(shí)測(cè)結(jié)果。計(jì)算中參數(shù)f取值經(jīng)標(biāo)定為0.933。從圖中可以看出，本文提出的最大干密度預(yù)測(cè)方法可以快速預(yù)測(cè)不同連續(xù)級(jí)配的堆石料最大干密度，且在預(yù)測(cè)縮尺試樣的最大干密度方面同樣效果較好。

圖5 連續(xù)級(jí)配堆石料最大干密度試驗(yàn)和模型預(yù)測(cè)值對(duì)比

在驗(yàn)證了提出的預(yù)測(cè)方法適用于文獻(xiàn)[15]中的砂礫石料后，本文進(jìn)一步探索該算法在土石料級(jí)配優(yōu)化方面的應(yīng)用前景。圖6為實(shí)測(cè)和基于本文算法預(yù)測(cè)得到的參數(shù)b和m對(duì)砂礫石料最大干密度的影響規(guī)律。圖中的離散點(diǎn)為實(shí)測(cè)或預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置。從圖6(a)的試驗(yàn)結(jié)果可以看出，堆石料的最大干密度在b≈0.1，m≈0.6時(shí)出現(xiàn)極大值，且最大干密度的極值區(qū)域在圖中呈“馬鞍狀”分布；遠(yuǎn)離該區(qū)域的最大干密度出現(xiàn)不同程度的減小。需要說(shuō)明的是，云圖中除了實(shí)測(cè)點(diǎn)之外的結(jié)果均是插值得到的，由于圖6(a)中參數(shù)b在-1～0區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)較少，因此圖中插值得到的結(jié)果可信度并不高。為了更準(zhǔn)確地了解級(jí)配的變異性對(duì)該砂礫石料最大干密度的影響規(guī)律，圖6(b)采用堆積算法進(jìn)行了更加精細(xì)的預(yù)測(cè)，數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量相較于實(shí)測(cè)點(diǎn)的16個(gè)增加至36個(gè)。從預(yù)測(cè)的結(jié)果看，參數(shù)m和b對(duì)最大干密度的影響規(guī)律基本與實(shí)測(cè)結(jié)果一致，但在m∈(0.4，0.6)，b∈(-1，-0.2)區(qū)間內(nèi)得到了實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)缺失部分的密度分布規(guī)律：在b趨向于-0.6，m趨向于0.4值附近，密度存在極大值。

圖6 參數(shù)b和m對(duì)連續(xù)級(jí)配砂礫石料最大干密度的影響

4 關(guān)于細(xì)料截?cái)嘁约翱s尺效應(yīng)的討論

4.1 截?cái)嗾`差的影響本文提出的堆積算法是基于已知的級(jí)配曲線(xiàn)預(yù)測(cè)堆石料的最小孔隙比，并換算成最大干密度。然而，實(shí)際的堆石料級(jí)配信息往往并不完整，小于篩分試驗(yàn)中最小篩徑的顆粒粒徑分布屬于未知信息。這種粒徑截?cái)啾厝辉斐赡Ｐ驮陬A(yù)測(cè)過(guò)程中存在誤差。顯然小于最小篩徑的細(xì)料占比越多，模型的預(yù)測(cè)的誤差的可能性也會(huì)越大。此外，堆石料由原型級(jí)配到室內(nèi)級(jí)配的縮尺的過(guò)程也伴隨著改變截?cái)嗔桨俜直鹊膯?wèn)題，有必要研究粒徑截?cái)嘣诙咽厦芏鹊目s尺過(guò)程中扮演的角色。

文獻(xiàn)[15]中最小的篩分粒徑均為0.5 mm，小于0.5 mm的顆粒粒徑分布并未試驗(yàn)獲得。因此采用本文提出的預(yù)測(cè)模型僅能考慮粗料(粒徑大于等于0.5 mm)形成的最密實(shí)堆積，細(xì)料的影響并未考慮。因?yàn)槲墨I(xiàn)[15]中的不同的試樣來(lái)源于同一料源，且這部分細(xì)料沒(méi)有進(jìn)一步篩分，因此可以假定各試樣中小于0.5 mm的顆粒粒徑分布相同。

假定某堆石料密實(shí)試樣，剔除了細(xì)料后粗料(試樣Ⅰ)先進(jìn)行最大干密度試驗(yàn)，得到的最小孔隙比為

(8)

式中Va1和Vs1分別為粗料密堆積體中孔隙與固相的體積。作為對(duì)比，不剔除細(xì)料的堆石料(試樣Ⅱ)也進(jìn)行了最大干密度試驗(yàn)。試樣Ⅱ相比于試樣Ⅰ，增加的細(xì)料含量造成的影響包含兩個(gè)方面：一是對(duì)孔隙體積的影響，另一個(gè)是對(duì)固相體積的影響。試樣Ⅱ的孔隙比寫(xiě)作

(9)

式中Va2和Vs2分別為試樣Ⅱ相較于試樣Ⅰ，增加細(xì)料造成的孔隙和固相的體積增量。

固相部分的體積Vs1和Vs2是固定不變的，可以根據(jù)級(jí)配曲線(xiàn)中截?cái)嗔綄?duì)應(yīng)的百分比得知；對(duì)于孔隙部分的體積，Va1可以根據(jù)本文提出的堆積算法得到，而Va2的值并不固定，由于堆積的模式不同，當(dāng)細(xì)料填充粗料的孔隙時(shí)，Va2的取值甚至可能為負(fù)值。

假定增加細(xì)料會(huì)同時(shí)改變孔隙和固相的體積，但不同試樣中細(xì)料的孔隙與固相的體積比值為一恒定值，即

Va2/Vs2=e2=const

(10)

該假定的主要依據(jù)是試驗(yàn)中的砂礫石料來(lái)源于同一料源，且寬級(jí)配的堆石料試樣中，細(xì)料部分的堆積與粗骨料的堆積獨(dú)立性較高，因此小于最小篩徑的顆粒級(jí)配雖然未知，卻基本相同。

結(jié)合式(8)—(10)，不難建立emin與粗料最小孔隙比e′min之間的關(guān)系

emin-e′min=θe2

(11)

式中θ為截?cái)嗔綄?duì)應(yīng)的細(xì)料含量百分比。

式(11)表明，若剔除材料中的細(xì)料進(jìn)行密度預(yù)測(cè)，則預(yù)測(cè)密度的誤差與材料中實(shí)際的細(xì)料含量成正比。圖7給出了砂礫石料的最大干密度預(yù)測(cè)的誤差與材料細(xì)料含量占比的關(guān)系?？梢詮膱D中看出，預(yù)測(cè)密度的誤差與細(xì)料含量θ基本成正比，結(jié)果符合式(11)的預(yù)測(cè)結(jié)果。且可以根據(jù)圖7中擬合直線(xiàn)的斜率確定e2的值，為e2=0.4042。

圖7 細(xì)料含量與最小孔隙比預(yù)測(cè)誤差的關(guān)系

將上述e2的取值代入式(11)，可以修正砂礫石料最大干密度(見(jiàn)圖8)?？梢钥闯?，相較于不考慮細(xì)料含量的影響，修正后的預(yù)測(cè)結(jié)果整體上更合理。值得注意的是，圖5中未修正的預(yù)測(cè)結(jié)果和修正之后的雖然有差異，但兩者都能較好地預(yù)測(cè)不同級(jí)配砂礫石料的最大干密度。未修正的預(yù)測(cè)模型基本能夠預(yù)測(cè)最大干密度的原因主要是：盡管試驗(yàn)中試樣的細(xì)料含量有所差異，但總體上仍以粗料為主；其次，本試驗(yàn)中的細(xì)料源自天然的砂礫石土，具有一定的自相似性。然而，若細(xì)料含量較高的非連續(xù)級(jí)配試樣，則細(xì)料的截?cái)嗾`差不可忽視。

圖8 砂礫石料最大干密度試驗(yàn)和修正后模型預(yù)測(cè)值對(duì)比

4.2 密度尺寸效應(yīng)堆石料制樣密度的縮尺效應(yīng)研究是研究堆石料力學(xué)行為無(wú)法回避的基本問(wèn)題之一。堆石料的縮尺方法分為剔除法、等量替代法、相似法和混合法四種，每種縮尺方法均有特定的工程使用范疇[23]。因?yàn)椴煌こ痰亩咽霞?jí)配曲線(xiàn)的差異和選用縮尺方法的不同，很難從堆石料制樣密度的縮尺效應(yīng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)中得出統(tǒng)一結(jié)論[24]。堆石料密度出現(xiàn)細(xì)料截?cái)嗟牡湫蛨?chǎng)景之一是堆石料縮尺后制樣[25]。以圖9中的相似級(jí)配法為例，在室內(nèi)制備堆石料的縮尺試樣時(shí)，小于篩分粒徑的顆粒不再進(jìn)一步篩分。因此，縮尺前后的試樣中，小于篩徑的細(xì)料并未進(jìn)行縮尺。

圖9 縮尺制樣過(guò)程中的粒徑截?cái)?/p>

顯然，若試樣中的細(xì)料部分級(jí)配未知，堆石料最大干密度的縮尺將無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。針對(duì)文獻(xiàn)[15]中的縮尺試樣，圖10給出了試驗(yàn)與模型預(yù)測(cè)的砂礫石料最大干密度的縮尺效應(yīng)。其中，圖10(b)的模型預(yù)測(cè)中采用式(10)的修正方法考慮了細(xì)料截?cái)嗟挠绊?。考慮到原型和縮尺后的堆石料級(jí)配曲線(xiàn)存在差異，但是兩者的堆石料顆粒是一致的，因此在模型預(yù)測(cè)時(shí)，保持室內(nèi)和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)時(shí)參數(shù)f的取值一致，僅通過(guò)改變輸入的級(jí)配曲線(xiàn)得到原型和縮尺后的最大干密度。從圖中可見(jiàn)，堆石料的最大干密度均隨著縮尺比例(原型尺寸/縮尺后尺寸)的增大而減小，且在明確細(xì)料截?cái)嘤绊懙那疤嵯?，模型能夠較好地預(yù)測(cè)給定級(jí)配堆石料的縮尺效應(yīng)。

圖10 試驗(yàn)與模型預(yù)測(cè)的砂礫石料最大干密度縮尺效應(yīng)對(duì)比

然而，式(10)中參數(shù)e2在實(shí)際情況下是未知量。為了進(jìn)一步明確細(xì)料、粗料的粒徑分布在堆石料密度的縮尺效應(yīng)中扮演的角色，本文采用堆積算法進(jìn)行了堆石料密度縮尺效應(yīng)的敏感性分析。首先采用了b=-0.2，m=0.4的粗料級(jí)配曲線(xiàn)，細(xì)料部分采用了0.49～0.5 mm之間的均勻分布細(xì)料(記為L(zhǎng)0.49-0.5)、0.1～0.11 mm之間的均勻分布細(xì)料(記為L(zhǎng)0.1-0.11)以及0.075～0.5 mm之間的寬級(jí)配均勻分布細(xì)料(記為L(zhǎng)0.075-0.5)。從圖11(a)可以看出，無(wú)論細(xì)料部分的級(jí)配如何變化，砂礫石料的最大干密度總是隨著縮尺比例的增大而減小。從顆粒的堆積角度看，堆石料的縮尺造成了兩個(gè)影響：一是粗骨架孔隙尺寸的降低，二是細(xì)料的含量增加。隨著縮尺比例的增加，降低粗料的孔隙尺寸后，總體上不利于填充細(xì)料，導(dǎo)致縮尺后的試樣密度降低；而增加細(xì)料含量對(duì)密度的影響卻存在一定的不確定性。例如，對(duì)于粗料中L0.49-0.5的細(xì)料，最大粒徑為40 mm的試樣和60 mm的試樣最大干密度就不存在顯著差異。

圖11 砂礫石料最大干密度縮尺效應(yīng)的敏感性分析

同時(shí)，假定細(xì)料級(jí)配為L(zhǎng)0.49-0.5，粗料分別采用b=0.3、m=1，b=0.6、m=0.8，b=-1、m=0.6，b=-0.2、m=0.4四種不同的級(jí)配。圖11(b)給出了上述四種堆積條件下的粗粒料縮尺規(guī)律，可以看出，不同粗料級(jí)配下的砂礫石料縮尺規(guī)律各不相同。對(duì)于b=-1、m=0.6和b=0.3、m=1的粗料級(jí)配，縮尺后的試樣最大干密度并無(wú)顯著變化，而b=0.6、m=0.8和b=-0.2、m=0.4的試樣則其密度隨著堆石料粒徑的增大呈增大趨勢(shì)。

從圖11的模擬結(jié)果可以看出，堆石料最大干密度的縮尺與粗料和細(xì)料部分的級(jí)配均有關(guān)?？s尺以后的砂礫石料最大干密度以降低為主，但并沒(méi)有統(tǒng)一的規(guī)律。這一模擬結(jié)果也印證了不同文獻(xiàn)中關(guān)于堆石料密度的縮尺規(guī)律不一致的試驗(yàn)結(jié)果。因此，為了更好地預(yù)測(cè)原型尺寸堆石料的最大干密度，一個(gè)可行的方法是在篩分細(xì)料部分的粒徑分布，并采用顆粒堆積算法預(yù)測(cè)原型尺寸的堆石料最大干密度。

5 結(jié)論

堆石料的最大干密度是反映其工程力學(xué)特性的重要指標(biāo)。本文基于顆粒材料的降維映射原理，提出了能夠?qū)崿F(xiàn)給定級(jí)配堆石料最大干密度的快速預(yù)測(cè)算法。進(jìn)一步將該算法運(yùn)用于堆石料最大干密度的變異性研究，并探討了細(xì)料截?cái)嘁约翱s尺效應(yīng)對(duì)堆石料最大干密度的影響。得到的主要結(jié)論有：

(1)本文提出的顆粒堆積算法僅包含一個(gè)計(jì)算參數(shù)f，通過(guò)一個(gè)堆石料試樣標(biāo)定完參數(shù)后，即可以實(shí)時(shí)計(jì)算預(yù)測(cè)該堆石料在其他給定級(jí)配情況下的最大干密度。與文獻(xiàn)中連續(xù)和間斷級(jí)配堆石料的試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)，顆粒堆積算法不僅具有較好的預(yù)測(cè)精度，也可以進(jìn)行比試驗(yàn)更高效的級(jí)配優(yōu)化分析。

(2)由于堆石料細(xì)料部分級(jí)配屬于未知信息，預(yù)測(cè)堆石料最大干密度會(huì)造成不可避免的截?cái)嗾`差，誤差的絕對(duì)值與該堆石料的細(xì)料含量呈正比。對(duì)粗料和細(xì)料的堆積特性進(jìn)行分析進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，由于堆石料形成過(guò)程造成的自相似性，不同級(jí)配的堆石料細(xì)料部分的密堆積孔隙比基本一致。

(3)堆積算法可以較好地根據(jù)縮尺后試樣的最大干密度預(yù)測(cè)原型級(jí)配試樣的最大干密度。且可以從堆積角度給出最大干密度縮尺效應(yīng)的內(nèi)涵：從顆粒堆積角度看，堆石料的縮尺事實(shí)上是粗料部分的縮尺，細(xì)料部分僅發(fā)生含量的變化。粗料部分縮尺后骨架的孔隙尺寸降低，不利于細(xì)料填充，進(jìn)而導(dǎo)致縮尺后的試樣密度降低；而增加細(xì)料含量對(duì)密度的影響卻存在一定的不確定性。采用堆積算法開(kāi)展的敏感性分析也表明，堆石料最大干密度的縮尺效應(yīng)并沒(méi)有統(tǒng)一的規(guī)律，與粗料和細(xì)料具體的粒徑分布都密切相關(guān)。

本文提出的堆石料密實(shí)堆積算法在預(yù)測(cè)堆石料的最大干密度中呈現(xiàn)出較好的效果和廣泛的應(yīng)用前景，該模型后續(xù)有望用于預(yù)測(cè)現(xiàn)場(chǎng)堆石料的壓實(shí)程度、分析堆石料密度的縮尺效應(yīng)以及開(kāi)展堆石料級(jí)配的優(yōu)化設(shè)計(jì)。不過(guò)在運(yùn)用該模型時(shí)需要明確該模型的使用范疇：(1)本模型對(duì)最大干密度的預(yù)測(cè)是基于當(dāng)前級(jí)配預(yù)測(cè)當(dāng)前級(jí)配下的最大干密度，并不考慮堆積過(guò)程中的顆粒破碎影響；(2)模型主要針對(duì)總體呈現(xiàn)各向同性的顆粒堆積，不能適用于片狀、針狀等特殊的形態(tài)顆粒的堆積。作為一個(gè)尚處于初期的計(jì)算模型，在以下方面還有完善的空間：(1)本計(jì)算模型是基于堆石料的當(dāng)前級(jí)配預(yù)測(cè)堆石料在當(dāng)前級(jí)配下能達(dá)到的最密實(shí)堆積，對(duì)于軟巖等破碎顯著的堆石料，后續(xù)研究中有必要將顆粒破碎演化方程與堆積算法統(tǒng)一，提出考慮顆粒破碎的堆石料最大干密度預(yù)測(cè)算法；(2)堆積算法中的參數(shù)f與顆粒的總體形狀有關(guān)，后續(xù)研究中有必要進(jìn)一步建立f與顆粒形態(tài)參數(shù)之間的定量關(guān)系。