宋躒為

（大連交通大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，遼寧 大連 116028）

目前，中國高速列車技術(shù)不斷發(fā)展。相應(yīng)地，對列車的狀態(tài)實(shí)現(xiàn)有效監(jiān)測，及時(shí)跟蹤運(yùn)行軌跡，是高鐵運(yùn)輸行業(yè)的重中之重。目前，對于列車運(yùn)行狀態(tài)的分析，主要采用多質(zhì)點(diǎn)模型[1-2]方式。該模型相較于單質(zhì)點(diǎn)模型[3]，充分考慮了相鄰車廂之間的耦合作用力——車鉤力，因此，能夠更好地對高速列車的縱向運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行描述，并且已有相關(guān)研究應(yīng)用于高速列車的跟蹤控制。

由于高速列車的高速運(yùn)行特性，在較短的時(shí)間范圍內(nèi)，盡管非常小的作用力作用于相鄰車廂，但它們之間的相對位移也有可能發(fā)生較大的變化，從而導(dǎo)致列車發(fā)生脫鉤事故。因此，在限定的時(shí)間內(nèi)研究高速列車的穩(wěn)定性問題更有意義。高速列車在運(yùn)行過程中受到附加阻力和運(yùn)行噪聲等諸多外部擾動(dòng)的影響，因此，在擾動(dòng)條件下，研究高速列車的有限時(shí)間有界性（Finite Time Boundness，F(xiàn)TB）更為重要[4-5]。列車在運(yùn)行過程中會受到陣風(fēng)的干擾，所以陣風(fēng)阻力對于研究高速列車的跟蹤控制往往是不可忽視的重要因素[6-7]。另外，旅客人數(shù)及行李箱的增減、戴維斯系數(shù)變化等不確定性因素對于列車的運(yùn)行有著不可忽視的影響。盡管有學(xué)者通過分析強(qiáng)風(fēng)條件下的空氣阻力變化，將滑?？刂破鱗8]用于消除模型誤差，但是該方法忽略了系統(tǒng)輸入時(shí)滯的影響。

綜上所述，本文考慮輸入時(shí)變時(shí)滯、可建模陣風(fēng)和系統(tǒng)不確定性等因素對于高速列車的影響，提出了一種基于擾動(dòng)觀測器的有限時(shí)間復(fù)合控制器。該控制器包括反饋控制項(xiàng)和擾動(dòng)補(bǔ)償項(xiàng)，其中擾動(dòng)補(bǔ)償項(xiàng)能有效地估計(jì)陣風(fēng)擾動(dòng)，進(jìn)而有效地實(shí)現(xiàn)高速列車的有限時(shí)間跟蹤控制。

1 高速列車動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)建模

首先，車鉤力的運(yùn)動(dòng)可近似為：f（xi）=kxi+，k＞0 是剛性系數(shù)，d是阻尼系數(shù)?？紤]列車的運(yùn)行阻力Ra=c0+cvv+cav2，v為列車速度，c0、cv、ca為戴維斯系數(shù)，則得到高速列車的動(dòng)力學(xué)方程如下：

式中：為i和i+1 節(jié)車間相對位移；、mi和為i車速度、質(zhì)量和相對控制力；為附加阻力，dr（t）∈Rs；g（t）∈Rr，為僅作用于頭車的陣風(fēng)[4]。

式中：各系數(shù)形式詳見文獻(xiàn)[9]；ΔA和ΔB為狀態(tài)和輸入不確定性，ΔA=M1F1（t）N1，ΔB=M2F2（t）N2，F(xiàn)iT（t）Fi（t）≤I。

其中，T為有限時(shí)間窗，ε1＞0、ε2＞0。

陣風(fēng)g（t）可建模為：

在式中，未知擾動(dòng)w（t）∈Rη，L1、L2與擾動(dòng)幅值有關(guān)，W與擾動(dòng)頻率有關(guān)。

2 基于擾動(dòng)觀測器的有限時(shí)間復(fù)合跟蹤控制器

本節(jié)中，首先針對g（t）設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測器：

式中：H為待設(shè)計(jì)的增益矩陣；W1=W+HGL1。

由式（2）—（4）可得：

假設(shè)1：rank（B）=rank（[B G]）。

引理1[10]：若假設(shè)1 成立，則存在矩陣B*，使得下式成立。

基于式（5）和式（6），設(shè)計(jì)如下的控制器：

其中，反饋控制項(xiàng)u1（t）和擾動(dòng)補(bǔ)償項(xiàng)u2（t）的具體形式為：

其中，待設(shè)計(jì)增益矩陣K∈Rn×（n-1）。令l（t）=t－tk，則式（8）中第一個(gè)方程改寫為

將式（5）中第一個(gè)方程和式（7）代入式（2）可得：

定義1[11]：給定正標(biāo)量c1＞0，T＞0，加權(quán)矩陣U＞0，對于系統(tǒng)若有（c1、c2是常數(shù)），則（t）關(guān)于（c1，c2，U，T）是FTB 的。

令y（t）∈Rm=（t），假設(shè)（0）=0，本文設(shè)計(jì)有限時(shí)間復(fù)合跟蹤控制器式（7），使得t∈[0，T]，性能指標(biāo)①和②成立： ①對于任意非零式（9）中的誤差動(dòng)態(tài)（t）關(guān)于（c1，c2，U，T，ε1，ε2，εd）是FTB 的；②

引理2：對于矩陣Z＞0，標(biāo)量τ＞0，均有成立。

引理3：對于任意實(shí)矩陣χ1、χ2及Ω（t），若有ΩT（t）Ω（t）≤I成立，則存在任意正標(biāo)量μ，使下式成立。

定義sym（J）=J+JT，基于引理2 及引理3，給出定理1。

定理1：給定加權(quán)矩陣U，正標(biāo)量c1、μ（ii=1，2）、εi（i=1，2）和εd，若存在對稱正定矩陣、、及R，矩陣Y1=、Y2=RH，正標(biāo)量γ1、γ2、γd、σ和c2，使得下式成立。

則性能指標(biāo)①和②同時(shí)得到滿足。式（11）中，對稱矩陣Θi，j滿足下列關(guān)系：矩陣中其他元素為零。

證明：選擇如式（13）所示的Lyapunov 候選函數(shù)。

對V（t）求導(dǎo)，且由引理2 及可得：

故有：

其中，X11=sym（PA）+Q－q-1Z+κG1TG1，X22=-eαqQ－q-1Z，X55=symR（W+HGL1），*為矩陣中對稱元素。

由V（t）的定義，易知-αV（t）≤-αV1（t）－αV2（t）；另外，考慮υ（t）的定義，則由式（16）和（17）可得：

基于Schur 補(bǔ)引理及引理3，則由式（18）可得：

其中， 對陣矩陣Λ i，j滿足以下關(guān)系：矩陣中其他元素為零。

另一方面，式（11）可重新表示為：

其中，與Ψ的行數(shù)相同，且滿足以下條件。12 中各元素為：

易知≥0，故可進(jìn)一步得到Ψ＜0；基于Schur補(bǔ)引理，則Ψ＜0 等價(jià)于：

其中，對稱矩陣Υ i，j滿足以下關(guān)系：。矩陣中其他元素為零。

對式（18）從0 到T積分，基于Granwall 不等式可得：

由式（13）可知：

式（28）符合定義1，即若有定理1 成立，則有性能指標(biāo)①得到滿足。

類似的，由式（12）可得：

對式（29）從0 到T積分，考慮到V（t）≥0，則由Gronwall 不等式可得：

即，若有定理1 成立，則性能指標(biāo)②得到滿足。

綜上所述，LMI（13）和LMI（14）保證性能指標(biāo)①和②同時(shí)得到滿足，故定理1 證畢。

3 仿真分析

在本節(jié)中，給出6 車模型的高速列車數(shù)值仿真算例，以驗(yàn)證設(shè)計(jì)方案的有效性。與高速列車動(dòng)力學(xué)模型有關(guān)的仿真參數(shù)選取如表1 所示。另外，系統(tǒng)的測量輸出矩陣C選擇為C=I9。

表1 高速列車仿真參數(shù)

令α=0.001，c1=4.33，q=0.2，κ=0.6，μ1=0.1，μ2=0.1，T=550，U=I11，由定理1 得到γ1=0.1、γ2=0.1 和γd=1.450 8，則求解得到控制器增益K和H的值，因K和H的維數(shù)較大，故此處略去。利用設(shè)計(jì)的有限時(shí)間復(fù)合跟蹤控制器進(jìn)行跟蹤控制，得到的陣風(fēng)估計(jì)結(jié)果和狀態(tài)跟蹤結(jié)果如圖1 和圖2 所示。狀態(tài)跟蹤的均方根誤差（Root Mean Square Errors，RMSEs）如表2、表3 所示。

圖1 陣風(fēng)估計(jì)結(jié)果

圖2 相對位移和相對速度的跟蹤結(jié)果

表2 相對位移跟蹤的RMSEs

表3 相對速度跟蹤的RMSEs

由圖1 可知，設(shè)計(jì)的擾動(dòng)觀測器能夠精確地估計(jì)陣風(fēng)的真實(shí)值。由圖2 可知，基于擾動(dòng)觀測器，設(shè)計(jì)的有限時(shí)間復(fù)合控制器能有效地實(shí)現(xiàn)高速列車的跟蹤控制。表2、表3 進(jìn)一步證明了設(shè)計(jì)的有效性。經(jīng)計(jì)算，陣風(fēng)估計(jì)的RMSEs 為0.125 0，表明陣風(fēng)估計(jì)較為精確，從而使相對位移和相對速度跟蹤誤差均相對較小，如表2、表3 所示，相對位移的跟蹤誤差均未超過2×10-3，而相對速度跟蹤誤差均未超過3×10-2。

綜上，本文設(shè)計(jì)的基于擾動(dòng)觀測器的有限時(shí)間復(fù)合控制器，不僅能有效估計(jì)陣風(fēng)擾動(dòng)，而且能保證閉環(huán)誤差系統(tǒng)對于系統(tǒng)不確定性和外部擾動(dòng)的FTB，以及測量輸出對于系統(tǒng)不確定性和外部擾動(dòng)的魯棒性能，從而有效地實(shí)現(xiàn)了對高速列車位移和速度的有限時(shí)間跟蹤控制。

4 結(jié)論

本文考慮系統(tǒng)的不確定性、陣風(fēng)和外部擾動(dòng)的影響，針對高速列車的位移和速度跟蹤控制問題，提出了一種基于擾動(dòng)觀測器的有限時(shí)間復(fù)合控制策略。設(shè)計(jì)的復(fù)合控制器包括采樣反饋控制項(xiàng)及擾動(dòng)補(bǔ)償項(xiàng)，視采樣反饋控制項(xiàng)為輸入時(shí)變時(shí)滯，建立了時(shí)變時(shí)滯誤差系統(tǒng)，并將控制器的設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為LMI問題。給出仿真算例，通過仿真結(jié)果和分析，得出如下結(jié)論：設(shè)計(jì)的擾動(dòng)觀測器能夠有效地估計(jì)陣風(fēng)的真實(shí)值；基于設(shè)計(jì)的擾動(dòng)觀測器，提出的有限時(shí)間復(fù)合控制器保證了誤差動(dòng)態(tài)對外部擾動(dòng)和不確定的FTB；提出的有限時(shí)間復(fù)合控制器保證了測量輸出對于外部擾動(dòng)和不確定的有限時(shí)間魯棒性。