蔣飛翔

（南京鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 運(yùn)輸管理學(xué)院，江蘇 南京 210031）

衡量專任教師的教學(xué)效果的優(yōu)與劣通常做法是以學(xué)生的期末考試成績(jī)作為評(píng)價(jià)教師教學(xué)效果的依據(jù)。顯然，用這樣的標(biāo)準(zhǔn)去評(píng)價(jià)教師的教學(xué)效果是片面的，也缺乏相應(yīng)的公平性。實(shí)際上，高等院校各個(gè)專業(yè)學(xué)生的入學(xué)成績(jī)相差比較大，如果單以某學(xué)科的期末考試成績(jī)來(lái)考量該學(xué)科教師的教學(xué)水平顯然是不合理的?？紤]到高考的入學(xué)成績(jī)與所考察成績(jī)的相關(guān)性，既應(yīng)看到學(xué)生現(xiàn)在的成績(jī)又要注意到以前的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，著眼于現(xiàn)在，期望于未來(lái)，即：衡量教師的教學(xué)效果要以全體學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)步程度作為基準(zhǔn)。

近年來(lái)，關(guān)于教學(xué)效果評(píng)價(jià)的學(xué)者頗多。宋曉麗等構(gòu)建了基于學(xué)生滿意度的高校線上教學(xué)模式評(píng)價(jià)體系[1]，傅麗容等從培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐技能、科學(xué)思維和創(chuàng)新能力等方面構(gòu)建了“三平臺(tái)、三階段、三層次”的實(shí)驗(yàn)教學(xué)評(píng)價(jià)體系[2]，任源等提供了環(huán)境工程微生物學(xué)全英課程的教改探索及評(píng)價(jià)體系[3]，白曉東提供了評(píng)價(jià)模型的理論依據(jù)[4]，郭智蓮等給出了應(yīng)用馬爾科夫鏈評(píng)價(jià)教學(xué)質(zhì)量的基本方法[5]，楊玉華提出了“進(jìn)步度”的概念，在此基礎(chǔ)上采用一步轉(zhuǎn)移概率矩陣給出了一種有效的評(píng)價(jià)方法[6]，裴鈺鑫等提出了“懲罰因子”的概念[7]，明確了轉(zhuǎn)移概率矩陣中的區(qū)分度，提升了評(píng)價(jià)教學(xué)效果的科學(xué)性。

考慮到高等院校學(xué)生的每一次課程都是一次知識(shí)的積累，每一次課程都視為一次狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，這一現(xiàn)狀符合馬爾科夫鏈的極限狀態(tài)要求，因此可利用馬爾科夫模型來(lái)確定學(xué)生的最終學(xué)習(xí)效果，結(jié)合教學(xué)效率期望及加權(quán)教學(xué)效率期望，科學(xué)地構(gòu)建教學(xué)效果評(píng)價(jià)體系以便評(píng)價(jià)專任教師教學(xué)效果的優(yōu)與劣。

1 馬爾科夫過(guò)程的原理

1.1 馬爾科夫鏈的定義

過(guò)去只影響現(xiàn)在，過(guò)去不會(huì)影響將來(lái)，這種隨機(jī)過(guò)程稱為馬爾科夫過(guò)程。狀態(tài)離散的馬爾科夫過(guò)程被稱為馬爾科夫鏈[8]。

定義1 設(shè){Xn,n≥0}是定義在概率空間上的隨機(jī)過(guò)程，狀態(tài)空間為S,若對(duì)于任意的n≥1及任意的整數(shù)0 ≤t1

則稱{Xn,n≥0}為馬爾科夫鏈，簡(jiǎn)稱馬氏鏈。顯然，馬氏鏈具有無(wú)后效性。

定理1 隨機(jī)過(guò)程{Xn,n≥0}是馬爾科夫鏈的充要條件，是對(duì)任意的n≥1及任意的i1,i2,…,in,j∈S,有

1.2 轉(zhuǎn)移概率

定義2 設(shè){Xn,n≥0}是狀態(tài)空間S的馬爾科夫鏈，稱

為系統(tǒng)在時(shí)刻m處于狀態(tài)i的條件下經(jīng)n步轉(zhuǎn)移到j(luò)的n步轉(zhuǎn)移概率，顯然，對(duì)于轉(zhuǎn)移概率(m)具有：

定理2 設(shè)是馬爾科夫鏈{Xn,n≥0}的n步轉(zhuǎn)移概率，則任意的i,j∈S,m,n≥0,有

定理3 馬爾科夫鏈{Xn,n≥0}的一步轉(zhuǎn)移概率pij可以確定所有的n步轉(zhuǎn)移概率p(n)ij。

定理4 設(shè){Xn,n≥0}是馬爾科夫鏈，則其任意有限維概率分布完全由初始分布和一步轉(zhuǎn)移概率決定[9]。

2 馬爾科夫模型

2.1 建立合理的指標(biāo)體系

選取考察樣本，將樣本按照一定的規(guī)則排序后分為n個(gè)等級(jí)，算出所有等級(jí)在所選樣本中的比例，得到初始狀態(tài)向量，即

2.2 構(gòu)造轉(zhuǎn)移概率矩陣

2.3 求出穩(wěn)態(tài)概率向量

經(jīng)過(guò)若干次的狀態(tài)轉(zhuǎn)移之后，每一等級(jí)的總數(shù)量在樣本中的比例趨于穩(wěn)定[10]。設(shè)穩(wěn)態(tài)概率向量為，則有，即

3 馬爾科夫模型教學(xué)效果評(píng)價(jià)體系構(gòu)建

3.1 懲罰因子

學(xué)生期末考試成績(jī)的變化，涉及到“進(jìn)步”與“退步”兩種作相反的結(jié)果。學(xué)生成績(jī)進(jìn)步一個(gè)等級(jí)與學(xué)生成績(jī)進(jìn)步兩個(gè)等級(jí)所產(chǎn)生的效果有顯著不同。為區(qū)分這些結(jié)果，本文將原有轉(zhuǎn)移概率矩陣p轉(zhuǎn)加以修正：將每一元素都乘以“2(i-j)”作為懲罰因子[11]。令

顯然，當(dāng)i

3.2 教學(xué)效果期望值

由本文的2.3部分求出穩(wěn)態(tài)概率向量后，引入教學(xué)效果期望概念。

定義3 設(shè)，則

稱為教學(xué)效果期望值[12]。其中，Xi為第i等級(jí)學(xué)生的平均成績(jī)。之后，比較不同班級(jí)的E(π穩(wěn))的大小，當(dāng)E(π穩(wěn))較大時(shí)，表明該班教師的教學(xué)效果較好。

3.3 關(guān)于馬爾科夫模型教學(xué)效果評(píng)價(jià)體系的說(shuō)明

（1）模型評(píng)價(jià)體系的條件

該模型評(píng)價(jià)體系是以學(xué)生的期末考試成績(jī)作為指標(biāo)向量，則模型中的最初成績(jī)及最終成績(jī)均應(yīng)服從正態(tài)分布[13]。

（2）模型評(píng)價(jià)體系的優(yōu)點(diǎn)及缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)：排除了因?qū)W生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)差異而對(duì)教學(xué)效果評(píng)價(jià)造成的不公正影響，也排除了因試卷難度的差異而對(duì)教學(xué)效果評(píng)價(jià)造成的不公正影響，較為客觀地反映出教師的教學(xué)效果。

缺點(diǎn)：影響學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)的因素比較多且錯(cuò)綜復(fù)雜，但該模型評(píng)價(jià)體系只考察了教師的教學(xué)效果這一因素對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)的影響，具有一定的局限性。

4 實(shí)例分析

為了較為清晰地闡釋馬爾科夫模型教學(xué)效果評(píng)價(jià)體系的應(yīng)用，引例如下：

2021年9月，南京市某高校運(yùn)輸管理學(xué)院開(kāi)設(shè)8個(gè)班的城市軌道交通運(yùn)營(yíng)管理專業(yè)，共計(jì)368名學(xué)生。我們選取城軌交通2101班（記為甲班，共計(jì)46名學(xué)生）、城軌交通2102班（記為乙班，共計(jì)38名學(xué)生）、城軌交通2103班（記為丙班，共計(jì)40名學(xué)生）和城軌交通2104班（記為丁班，共計(jì)42名學(xué)生）這4個(gè)班級(jí)的學(xué)生群體在2021～2022學(xué)年度《高等數(shù)學(xué)》課程的考試成績(jī)作為研究對(duì)象來(lái)考察這4個(gè)班級(jí)的高等數(shù)學(xué)任課教師的教學(xué)效果（表1、表2）。

表1 第一學(xué)期末《高等數(shù)學(xué)》考試成績(jī)各等級(jí)人數(shù)Table 1 Number of students in each level of Higher Mathematics examination at the end of the first semester

表2 第二學(xué)期末《高等數(shù)學(xué)》考試成績(jī)各等級(jí)人數(shù)Table 2 Number of students in each level of Higher Mathematics examination at the end of the second semester

為排除因試卷難度的差異而對(duì)教學(xué)效果評(píng)價(jià)造成不公正影響，現(xiàn)處理如下：（1）成績(jī)排序 將城市軌道交通運(yùn)營(yíng)管理專業(yè)全體8個(gè)班級(jí)學(xué)生第一學(xué)期末的《高等數(shù)學(xué)》考試成績(jī)按照由高到底的順序排列；（2）確定成績(jī)等級(jí) 將城市軌道交通運(yùn)營(yíng)管理專業(yè)全體368名學(xué)生第一學(xué)期末的《高等數(shù)學(xué)》考試成績(jī)排名前10%（含10%）視為等級(jí)1，排名前10%（不含10%）至排名前32%（含32%）視為等級(jí)2，排名前32%（不含32%）至排名前68%（含68%）視為等級(jí)3，排名前68%（不含68%）至排名前90%（含90%）視為等級(jí)4，排名前90%（不含90%）至排名前100%（含100%）視為等級(jí)5，此時(shí)各個(gè)成績(jī)的等級(jí)人數(shù)完全服從狀態(tài)分布；（3）確定第一學(xué)期末各班的各等級(jí)人數(shù) 將第一學(xué)期末甲班、乙班、丙班和丁班《高等數(shù)學(xué)》考試成績(jī)按照步驟（2）的要求來(lái)確定各班的等級(jí)1～等級(jí)5的具體人數(shù)（詳見(jiàn)表1）；（4）確定第二學(xué)期末各班的各等級(jí)人數(shù) 依照步驟（1）至（3）的順序，確定第二學(xué)期末各班的等級(jí)1～等級(jí)5的具體人數(shù)（詳見(jiàn)表2）；（5）確定轉(zhuǎn)移概率矩陣 依據(jù)步驟（3）和（4），確定甲班、乙班、丙班和丁班《高等數(shù)學(xué)》考試成績(jī)的各個(gè)等級(jí)的轉(zhuǎn)移概率矩陣，具體如下：

設(shè)最終甲班的穩(wěn)態(tài)概率向量為π穩(wěn)(甲班) =,由本文的2.3 部分知：π穩(wěn)(甲班)*P轉(zhuǎn)(甲班) =π穩(wěn)(甲班)，即：

同理可得

4.1 基于穩(wěn)態(tài)概率向量的教學(xué)效果期望

將等級(jí)1至等級(jí)5的成績(jī)分別取各自等級(jí)的中位數(shù)（在全體368名學(xué)生中），即：95.21,84.14,78.02,63.22,53.23，參照穩(wěn)態(tài)概率向量，這4個(gè)班級(jí)的教學(xué)效果期望分別為

顯然，丙班的教學(xué)效果最好，乙班的教學(xué)效果次之，丁班的教學(xué)效果再次，甲班的教學(xué)效果最差。

4.2 基于懲罰因子的教學(xué)效果期望

將原有轉(zhuǎn)移概率矩陣p轉(zhuǎn)的每一元素都乘以懲罰因子“2(i-j)”，則

顯然，丙班的教學(xué)效果最好，乙班的教學(xué)效果次之，丁班的教學(xué)效果再次，甲班的教學(xué)效果最差。由上述分析可知，基于穩(wěn)態(tài)概率向量的教學(xué)效果期望與基于懲罰因子的教學(xué)效果期望的評(píng)定結(jié)果相同。

5 結(jié)語(yǔ)

基于馬爾科夫模型的教學(xué)效果評(píng)價(jià)體系是一種立足于動(dòng)態(tài)的評(píng)價(jià)體系，更加注重不同成績(jī)等級(jí)的學(xué)生在各個(gè)成績(jī)等級(jí)之間的轉(zhuǎn)移情況，排除了不同學(xué)生因?qū)W習(xí)基礎(chǔ)的差異以及因試卷難度的差異而對(duì)教學(xué)效果評(píng)價(jià)造成的不公正影響。該評(píng)價(jià)體系比慣常的以學(xué)生考試分?jǐn)?shù)平均分及考試合格率為標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)評(píng)價(jià)模式具有更高的科學(xué)性和實(shí)用性。