摘? 要：居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（CPI）是一個(gè)重要的宏觀經(jīng)濟(jì)變量，反映了國家的通貨膨脹水平、居民的消費(fèi)水平和生活成本，它與國家、社會(huì)和個(gè)人有密切的聯(lián)系?；赟avitzky-Golay平滑濾波去噪后的2002年1月至2021年12月的CPI月度數(shù)據(jù)，構(gòu)建ARIMA-RF組合模型，對(duì)CPI序列進(jìn)行預(yù)測(cè)并與單一的ARIMA和RF模型進(jìn)行比較。結(jié)果表明，ARIMA-RF組合模型的預(yù)測(cè)效果和穩(wěn)定性均優(yōu)于單一模型。

關(guān)鍵詞：CPI；Savitzky-Golay平滑濾波；ARIMA；隨機(jī)森林；ARIMA-RF

中圖分類號(hào)：TP391；TP18? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：2096-4706（2023）13-0013-05

CPI Prediction Based on ARIMA-RF Combined Model

ZENG Lingqi

（School of Mathematical Sciences， South China Normal University， Guangzhou? 510631， China）

Abstract： Consumer price index （CPI） is an important macroeconomic variable， which reflects the inflation level of the country， the consumption level of residents and the cost of living. It is closely related to the country， society and individuals. Based on the monthly CPI data from January 2002 to December 2021 after Savitzky-Golay smooth filtering and denoising， an ARIMA-RF combined model is constructed to predict the CPI sequence and compare it with a single ARIMA and RF model. The results show that the prediction effect and stability of ARIMA-RF combined model are better than that of single model.

Keywords： CPI; Savitzky-Golay smooth filtering; ARIMA; random forest; ARIMA-RF

0? 引? 言

居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（CPI）是一個(gè)衡量消費(fèi)者市場(chǎng)價(jià)格變動(dòng)的定期測(cè)量指數(shù)，它綜合了不同商品和服務(wù)價(jià)格變動(dòng)的平均水平，用于衡量消費(fèi)者物價(jià)水平的變化情況，也在一定程度上反映了當(dāng)前的通貨膨脹水平。由于CPI是基于收集的復(fù)雜金融數(shù)據(jù)而構(gòu)成的，需要一定時(shí)間去收集、加工和處理數(shù)據(jù)，通常會(huì)出現(xiàn)延遲發(fā)布的情況[1]。而延遲發(fā)布會(huì)造成嚴(yán)重的信息流滯后，會(huì)對(duì)如企業(yè)高管、投資者和宏觀經(jīng)濟(jì)政策制定者等需要實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)經(jīng)濟(jì)狀況并及時(shí)根據(jù)有關(guān)信息做出重大決定的人帶了嚴(yán)重的問題，因此在不能夠及時(shí)獲得CPI實(shí)際數(shù)據(jù)的情況下，對(duì)其合理的預(yù)測(cè)就顯得極其重要，所以建立一個(gè)合理、穩(wěn)定、準(zhǔn)確的模型來預(yù)測(cè)CPI，對(duì)于政府財(cái)政政策和貨幣政策的制定、企業(yè)經(jīng)營決策、投資者決策以及居民消費(fèi)決策都具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)CPI預(yù)測(cè)問題做了諸多的研究與探索，目前CPI預(yù)測(cè)方法主要有三類，分別是時(shí)間序列法、機(jī)器學(xué)習(xí)法和組合分析法。對(duì)于時(shí)間序列法，Mohamed和Weng[2，3]分別建立ARIMA（0，1，3）和ARIMA（12，1，12）模型對(duì)CPI進(jìn)行預(yù)測(cè)，模型都通過了顯著性檢驗(yàn)且預(yù)測(cè)效果較好；李紅娟[4]考慮到CPI的季節(jié)性，構(gòu)建SAO-ARIMA-MA模型對(duì)CPI進(jìn)行預(yù)測(cè)，其中使用X-11方法對(duì)季節(jié)進(jìn)行分解，結(jié)果顯示季節(jié)因子序列有明顯的周期性，且利用此模型預(yù)測(cè)的效果優(yōu)于普通的ARIMA模型。對(duì)于機(jī)器學(xué)習(xí)法，Zahara[5]等利用多層感知器和長短期記憶（LSTM）進(jìn)行了基于云計(jì)算的多元CPI預(yù)測(cè)，實(shí)現(xiàn)了神經(jīng)元數(shù)量、時(shí)代和隱藏層的架構(gòu)變化，且模型運(yùn)行速度快，結(jié)果符合實(shí)際；Qin[6]等采用遺傳算法調(diào)整支持向量機(jī)參數(shù)，建立基于遺傳算法-支持向量機(jī)（GA-SVM）的預(yù)測(cè)模型，該方法避免了人工選擇參數(shù)的盲目性，提高了模型的訓(xùn)練速度和預(yù)測(cè)推廣速度，并且大大簡化了CPI的預(yù)測(cè)。對(duì)于組合分析法，吳曉峰[7]等建立了ARIMA-BP組合模型對(duì)北京市CPI進(jìn)行預(yù)測(cè)，ARIMA模型提取序列的線性規(guī)律，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)ARIMA模型產(chǎn)生的殘差進(jìn)行預(yù)測(cè)，以提取序列非線性規(guī)律，得到了精度高且穩(wěn)定的結(jié)果；尹靜等[8]將ARIMA模型和GMDH模型預(yù)測(cè)的CPI作為初始值，重新輸入到GMDH模型中進(jìn)行預(yù)測(cè)，以此構(gòu)建ARIMA-GMDH組合模型，Bonferroni-Dunn檢驗(yàn)結(jié)果顯示該模型的抗干擾性較強(qiáng)。

目前較少學(xué)者使用隨機(jī)森林（RF）回歸算法對(duì)CPI進(jìn)行預(yù)測(cè)，本文基于2002年1月—2021年12月的CPI序列數(shù)據(jù)，分別利用ARIMA模型、RF模型和基于殘差優(yōu)化的ARIMA-RF組合模型預(yù)測(cè)CPI，通過綜合比較三個(gè)模型預(yù)測(cè)的絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、MAE、MAPE、MSE、RMSE，ARIMA-RF組合模型的預(yù)測(cè)效果和穩(wěn)定性優(yōu)于單一模型。

1? 理論基礎(chǔ)

1.1? ARIMA模型

自回歸移動(dòng)平均模型（ARIMA）是Box和Jenkin等人提出的用于時(shí)間序列預(yù)測(cè)的方法，也稱B-J方法。ARIMA模型是ARMA模型和差分運(yùn)算結(jié)合而成的，ARMA模型可以較好地?cái)M合平穩(wěn)序列。若原始序列非平穩(wěn)，則常常對(duì)原始序列進(jìn)行d階差分提取其蘊(yùn)涵的確定性信息，以將其轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列，進(jìn)而對(duì)d階差分后的序列建立ARMA模型擬合。上述過程即為ARIMA模型建立過程，ARIMA（p，d，q）結(jié)構(gòu)如下：

1.2? RF模型

隨機(jī)森林（RF）模型是以決策樹為基學(xué)習(xí)器構(gòu)建的bagging集成機(jī)器學(xué)習(xí)算法，在決策樹的訓(xùn)練過程中引入隨機(jī)選擇，常用于處理分類、回歸等問題[9]，本文使用RF回歸算法對(duì)CPI序列數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。

RF回歸首先使用Bootstrap重抽樣方法在數(shù)據(jù)集進(jìn)行有放回的隨機(jī)抽取n個(gè)樣本，重復(fù)K此這種抽樣方式，進(jìn)而得到K個(gè)訓(xùn)練樣本集合，同時(shí)將K次抽樣中未被抽到的樣本組成K個(gè)袋外數(shù)據(jù)（OBB），以生成K個(gè)測(cè)試樣本集。進(jìn)而可以使用K個(gè)訓(xùn)練樣本集合構(gòu)建回歸樹，以所有回歸樹的預(yù)測(cè)均值作為最終的預(yù)測(cè)值。下面介紹回歸決策樹生成原理[10]。

回歸樹會(huì)遍歷給定樣本數(shù)據(jù)的所有特征，對(duì)每個(gè)特征的取值進(jìn)行劃分，對(duì)劃分后的數(shù)據(jù)計(jì)算損失函數(shù)，直到找到最小損失值的劃分，計(jì)算公式如下：

其中j、s分別為切分變量和切分點(diǎn)，c1、c2為劃分后兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的輸出值，R1、R2為劃分后形成的兩個(gè)區(qū)域。

繼續(xù)對(duì)兩個(gè)子區(qū)域進(jìn)行上述步驟，直到滿足設(shè)置的停止條件，最終輸入空間被分為M個(gè)區(qū)域R1，R2，…，Rm，生成回歸樹：

最終一共生成K棵回歸樹，將這K棵回歸樹進(jìn)行組合就可以構(gòu)造隨機(jī)森林回歸模型，預(yù)測(cè)值可以用如下公式表示：

1.3? ARIMA-RF模型

CPI時(shí)間序列數(shù)據(jù)xt中既存在線性部分Lt和非線性部分Nt，因此可以表示成如下數(shù)學(xué)形式[11]：

單一的ARIMA模型僅能夠充分提取CPI序列數(shù)據(jù)的線性特征，而RF可以充分提取序列的非線性特征，因此將兩者結(jié)合理論上可以提高模型的預(yù)測(cè)效果，ARIMA-RF模型的建模步驟：

1）ARIMA建模。首先使用ARIMA模型對(duì)CPI序列數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，提取出CPI序列的線性部分 ，那么殘差et可表示成如下形式：

2）RF建模。若ARIMA模型通過顯著性檢驗(yàn)，說明CPI序列的線性部分已被充分提取，那么殘差中僅含有CPI序列的非線性部分，利用RF模型對(duì)殘差序列進(jìn)行建模擬合。RF建模前需要將時(shí)間序列數(shù)據(jù)通過滑動(dòng)窗口處理轉(zhuǎn)化為有監(jiān)督學(xué)習(xí)的數(shù)據(jù)，本文將過去5個(gè)月的CPI數(shù)據(jù)作為特征進(jìn)行RF建模，因此殘差序列擬合模型可表示成如下形式：

其中f為非線性部分，εt為隨機(jī)誤差。通過RF模型擬合殘差后，最終預(yù)測(cè)結(jié)果可以表示為：

圖1為ARIMA-RF模型建模流程。

1.4? 評(píng)價(jià)指標(biāo)

本文主要采用四個(gè)指標(biāo)來評(píng)估模型預(yù)測(cè)效果，分別是平均絕對(duì)誤差（MAE）、平均絕對(duì)百分比誤差（MAPE）、均方誤差（MSE）、均方根誤差（RMSE），他們的計(jì)算公式如下：

MAE反映了預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的相似程度，MAPE反映了預(yù)測(cè)值與實(shí)際值相似程度的百分比，MSE和RMSE則反映了預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的總體偏差。這些評(píng)價(jià)指標(biāo)都是數(shù)值越小，模型的預(yù)測(cè)效果越好，預(yù)測(cè)精度越高。

2? CPI預(yù)測(cè)

2.1? 數(shù)據(jù)說明

本文數(shù)據(jù)來源于choice金融終端數(shù)據(jù)庫。由于月度數(shù)據(jù)量大，較年度數(shù)據(jù)可以提供更加準(zhǔn)確詳細(xì)的信息，因此本文選取2002年1月到2021年12月的數(shù)據(jù)，共計(jì)240條數(shù)據(jù)，無缺失值。該時(shí)間段的數(shù)據(jù)走勢(shì)，如圖2所示。

2.2? 數(shù)據(jù)去噪

宏觀經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)復(fù)雜多變，CPI的影響因素眾多，因此CPI數(shù)據(jù)通常會(huì)具有高噪聲的特點(diǎn)。為了清除不真實(shí)的和不重要的信號(hào)，以便準(zhǔn)確地識(shí)別和預(yù)測(cè)CPI的未來趨勢(shì)，本文在建模預(yù)測(cè)之前先對(duì)原始CPI序列進(jìn)行去噪處理，去噪方法選用Savitzky-Golay平滑濾波法，其核心思想是：在小窗口范圍內(nèi)，使用多項(xiàng)式擬合方法來確定一個(gè)更平滑的窗口內(nèi)數(shù)據(jù)曲線，然后用擬合出來的曲線來取代原始窗口內(nèi)數(shù)據(jù)。它有助于去除噪聲并平滑數(shù)據(jù)中的不規(guī)則變化，使得序列趨勢(shì)更加清晰。

本文選取2002年1月到2021年6月的去噪后的CPI序列作為訓(xùn)練集，2021年7月到2021年12月的CPI序列作為測(cè)試集。設(shè)置濾波窗口長度為5，平滑階數(shù)為3，繪制出去除噪聲后的2002年1月到2021年6月的CPI時(shí)間序列，如圖3所示，后文的實(shí)驗(yàn)均基于去噪后的數(shù)據(jù)進(jìn)行。

2.3? ARIMA模型預(yù)測(cè)

2.3.1? 平穩(wěn)性檢驗(yàn)和白噪聲檢驗(yàn)

由圖3可以初步看出，CPI數(shù)據(jù)基本上在102上下波動(dòng)，且無明顯的趨勢(shì)和周期性特征，可以初步判斷其為平穩(wěn)序列。對(duì)2002年1月到2021年6月的CPI時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行ADF單位根檢驗(yàn)，結(jié)果顯示τ統(tǒng)計(jì)量的P值小于0.05，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為CPI序列是平穩(wěn)的。因此不需要對(duì)序列進(jìn)行差分運(yùn)算，直接擬合ARMA模型。接著對(duì)序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，結(jié)果顯示各階數(shù)延遲下LB統(tǒng)計(jì)量的P值均小于0.05，因此拒絕CPI序列為白噪聲的原假設(shè)，認(rèn)為該序列為非白噪聲序列，具有研究的意義。

2.3.2? 模型識(shí)別和參數(shù)估計(jì)

繪制得到的平穩(wěn)非白噪聲CPI序列的自相關(guān)函數(shù)圖（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)圖（PACF），結(jié)果如圖4所示。

由圖4可知CPI的自相關(guān)系數(shù)拖尾，而偏自相關(guān)系數(shù)無法準(zhǔn)確地判斷其是拖尾還是截尾，因此嘗試擬合多個(gè)ARMA模型，結(jié)合AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則找出相對(duì)最優(yōu)的模型。Python的statsmodels.api模塊中的sm.tsa.arma_order_select_ic（）函數(shù)，可以快速找到使得AIC值和BIC值最小的模型，結(jié)果顯示兩個(gè)準(zhǔn)則的最優(yōu)模型均為ARMA（4，4）。進(jìn)而使用極大似然估計(jì)得到ARMA（4，4）的模型口徑為：

xt = 102.135 - 0.287xt-1 + 0.166xt-2 + 0.594xt-3 + 0.336xt-4 + 2.423εt-1 + 3.273εt-2 + 2.277εt-3 + 0.860εt-4 + εt，εt?WN （0， 0.063）

2.3.3? 模型檢驗(yàn)

模型檢驗(yàn)主要是對(duì)殘差進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)和白噪聲檢驗(yàn)，殘差正態(tài)性可由Q-Q圖判斷，殘差分位點(diǎn)基本分布在45度對(duì)角線上，表明殘差序列服從正態(tài)分布。計(jì)算得到延遲6階的LB統(tǒng)計(jì)量的P值大于0.1，因此可以認(rèn)為殘差序列為白噪聲序列，表示擬合的模型顯著。

2.3.4? 預(yù)測(cè)分析

模型通過了檢驗(yàn)后，先利用ARIMA（4，0，4）重新對(duì)2002年1月到2021年6月的CPI序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，擬合效果如圖5所示。

由圖5可知，ARIMA（4，0，4）擬合效果非常好，但是其預(yù)測(cè)能力需要進(jìn)一步探討，下面利用ARIMA（4，0，4）模型對(duì)2021年7月到2021年12月的CPI數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如表1所示。

由表1可知，除了2021年11月以外，其余月份預(yù)測(cè)值與實(shí)際值都非常接近，絕對(duì)誤差的絕對(duì)值都低于0.5，相對(duì)誤差的絕對(duì)值均低于0.5%，特別是2021年7月絕對(duì)誤差僅為0.002 7，相對(duì)誤差僅為0.002 7%，可以看出ARIMA（4，0，4）做一步預(yù)測(cè)的效果非常好，前六步預(yù)測(cè)的效果也較為優(yōu)秀。計(jì)算各評(píng)價(jià)指標(biāo)分別為：MAE為0.388，MAPE為0.459，MSE為0.267，RMSE為0.517。結(jié)合各評(píng)價(jià)指標(biāo)含義可知模型總體預(yù)測(cè)效果較好，但是預(yù)測(cè)值并不穩(wěn)定。

2.4? RF模型預(yù)測(cè)

使用Python的sklearn庫中的RandomForest

Regressor（）函數(shù)直接構(gòu)建隨機(jī)森林回歸模型，對(duì)2002年1月到2021年6月的CPI序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，擬合效果如圖6所示。

由圖6可知，RF擬合效果較好，但是結(jié)合圖5可知其擬合序列的效果比ARIMA（4，0，4）模型更差，下面對(duì)其預(yù)測(cè)能力進(jìn)行探討，利用RF模型對(duì)2021年7月到2021年12月的CPI數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如表2所示。

由表2可知，6個(gè)月份預(yù)測(cè)值與實(shí)際值都比較接近，絕對(duì)誤差的絕對(duì)值都低于1，相對(duì)誤差的絕對(duì)值均低于1%，可以看出RF模型做六步預(yù)測(cè)的效果還不錯(cuò)。計(jì)算各評(píng)價(jià)指標(biāo)分別為：MAE為0.504，MAPE為0.497，MSE為0.342，RMSE為0.585。所有評(píng)價(jià)指標(biāo)都高于ARIMA（4，0，4）模型預(yù)測(cè)的結(jié)果，其中MAE較ARIMA（4，0，4）模型提高了0.116，因此在本文CPI的預(yù)測(cè)中，ARIMA（4，0，4）模型精度優(yōu)于RF模型。

2.5? ARIMA-RF模型預(yù)測(cè)

根據(jù)前文可知，ARIMA（4，0，4）模型已經(jīng)通過顯著性檢驗(yàn)，說明殘差序列為白噪聲，ARIMA（4，0，4）模型已經(jīng)將CPI序列數(shù)據(jù)中的線性相關(guān)性特征充分提取出來，因此殘差序列中僅存在非線性特征，利用RF模型對(duì)殘差序列進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，以充分提取其中的非線性相關(guān)信息。根據(jù)ARIMA（4，0，4）模型和RF模型預(yù)測(cè)殘差的結(jié)果，利用式（1）得到最終預(yù)測(cè)結(jié)果如表3所示。

由表3可知，6個(gè)月份預(yù)測(cè)值與實(shí)際值都非常接近，除了2021年11月以外，其余預(yù)測(cè)結(jié)果絕對(duì)誤差的絕對(duì)值都低于0.5，相對(duì)誤差的絕對(duì)值都低于0.5%，可以看出ARIMA-RF模型做六步預(yù)測(cè)的效果非常好。計(jì)算各評(píng)價(jià)指標(biāo)分別為：MAE為0.372，MAPE為0.366，MSE為0.240，RMSE為0.490。所有評(píng)價(jià)指標(biāo)都低于ARIMA（4，0，4）模型和RF模型預(yù)測(cè)的結(jié)果，尤其是MAPE，較ARIMA（4，0，4）模型降低0.093，較RF模型降低0.131。因此在本文CPI的預(yù)測(cè)中，ARIMA-RF模型精度優(yōu)于ARIMA（4，0，4）模型和RF模型。

3? 結(jié)? 論

CPI會(huì)影響消費(fèi)者價(jià)格水平、金融利率、企業(yè)的投資與經(jīng)營和國家宏觀政策的制定等，與國家、企業(yè)和個(gè)人都有很大的關(guān)聯(lián)。因此，準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)CPI對(duì)國家制定經(jīng)濟(jì)政策、企業(yè)調(diào)整經(jīng)營管理活動(dòng)和居民調(diào)整消費(fèi)等都是十分重要的。本文首先使用Savitzky-Golay平滑濾波法對(duì)CPI序列進(jìn)行處理，使得序列數(shù)據(jù)更加平滑，趨勢(shì)更加清晰，序列預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度更高。進(jìn)而運(yùn)用ARIMA模型和RF模型分別對(duì)CPI預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)效果均較好，且ARIMA模型效果好于RF模型。由于CPI序列數(shù)據(jù)具有線性和非線性兩種特征，傳統(tǒng)ARIMA模型可以充分提取時(shí)間序列數(shù)據(jù)的線性特征，隨機(jī)森林（RF）模型可以提取殘差序列中的非線性特征，將二者結(jié)合可以實(shí)現(xiàn)互補(bǔ)，以此構(gòu)造優(yōu)化殘差的ARIMA-RF組合模型，結(jié)果顯示使用該組合模型預(yù)測(cè)CPI的精度和穩(wěn)定性比單一模型更好。

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作者簡介：曾令麒（2003—），男，漢族，湖南衡陽人，本科在讀，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)。

收稿日期：2023-02-09