廣州市第二中學(xué)(510530) 程漢波 深圳中學(xué)(518000) 朱華偉

數(shù)學(xué)問題解決領(lǐng)域歷來重視總結(jié)反思的重要價(jià)值.如美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在其著作《怎樣解題》中將解題過程分為四個(gè)步驟:弄清題意——擬定計(jì)劃——實(shí)行計(jì)劃——回顧總結(jié).羅增儒在其著作《中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐》中認(rèn)為解題學(xué)習(xí)要經(jīng)歷四個(gè)階段:簡單模仿——變式練習(xí)——自發(fā)領(lǐng)悟——自覺分析.其實(shí),這里的總結(jié)反思是多方面的,既有對(duì)問題解決過程的整體回顧,也有對(duì)解題技巧與數(shù)學(xué)思想的總結(jié),還有對(duì)問題另解、變式、背景與推廣等方面的探究與反思.具體地,當(dāng)一個(gè)有代表性的數(shù)學(xué)問題被解決之后,可盡可能地尋求問題另外的解法,做到一題多解;探索問題有價(jià)值的變式,做到一題多變;溯源問題背景有關(guān)的文獻(xiàn)資料,熟悉問題的淵源;研究問題推廣的形式,加深問題的理解.這也符合最新公布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版,2020年修訂版)中所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的理念:“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題,開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程.具體表現(xiàn)為:發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題,猜測(cè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)論,提出解決問題的思路和方案,通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論.數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng),也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.”下面以1993年第6 屆愛爾蘭數(shù)學(xué)奧林匹克中一道三角不等式試題(以下問題1)為例,從尋求問題的另解、探索問題的變式、溯源問題的背景和研究問題的推廣四個(gè)方面給出筆者的探究過程與結(jié)果,供讀者參考.

問題1(1993年第6 屆愛爾蘭數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)x ∈(0,π),證明:對(duì)任意n ∈N?,有.

1.尋求問題的另解

該三角不等式形式對(duì)稱、結(jié)論簡單、而背景深刻,但其證明卻并不輕松.目前眾多數(shù)學(xué)資料上廣為流傳的證法是這樣的(以下證法1):

證法1由三角函數(shù)積化和差公式知,

2 sinxsin(2k?1)x=cos(2k?2)x?cos 2kx,則

當(dāng)且僅當(dāng)cos 2kx=1(k=1,2,···,n)時(shí),上式等號(hào)成立.但因x ∈(0,π),故cos 2x ?=1,于是有f(x)sinx >0,所以f(x)>0,問題1 得證.

評(píng)注證法1 利用積化和差公式將2 sinxsin(2k?1)x“裂項(xiàng)”為cos(2k?2)x?cos 2kx是關(guān)鍵的一步,雖然在之后的求和過程中不能夠“相消”,但是將所得項(xiàng)重新組合之后稍加放縮便可達(dá)到“裂項(xiàng)相消”的目的,從而得出2f(x)sinx恒為正數(shù).筆者經(jīng)歷一番探索后得到以下兩種不同的證法.

證法2記則f(x)=注意到三角函數(shù)列{bk}可求和,即由積化和差公式可得

評(píng)注證法2 利用阿貝爾變換將中可求和的三角函數(shù)列bk=sin(2k?1)x與單調(diào)遞減數(shù)列區(qū)別開來,各取所長.而且,恒有即f(x)經(jīng)阿貝爾變換后和式中每一項(xiàng)都為正,由此得出f(x)>0 恒成立.

證法3

令f′(x)=0,由x ∈(0,π)得,其中,k=1,2,···,2n?1.且當(dāng)x ∈(0,x1),(x2,x3),···,(x2n?2,x2n?1)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x ∈(x1,x2),(x3,x4),···,(x2n?1,π)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.

注意到f(0)=f(π)=0,于是要證明f(x)>0,只需證明f(x)的所有極小值(k=1,2,···,n?1)即可.又因?yàn)槿菀鬃C得f(x)=f(π?x),即f(x)的圖象關(guān)于對(duì)稱,故只需要證明成立即可.

因?yàn)?/p>

以

評(píng)注從函數(shù)的角度看,要證明f(x)>0 恒成立,只需證明f(x)的最小值大于0,于是利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性后求最值再自然不過,然而,發(fā)現(xiàn)f(x)在(0,π)上的極值點(diǎn)很多,且極值的大小(或正負(fù))判斷起來也十分困難,利用積分法判斷極值的單調(diào)性(加強(qiáng)命題)實(shí)屬無奈之舉.也許有人會(huì)注意到f(x)>0 是與自然數(shù)n相關(guān)的命題,能否嘗試使用數(shù)學(xué)歸納法呢? 筆者也嘗試過,但未獲成功.

2.探索問題的變式

波利亞曾經(jīng)說過:“當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇后,要環(huán)顧四周,因?yàn)樗鼈兛偸浅啥焉L的”.對(duì)問題進(jìn)行變式探究也是一種極有趣的探究活動(dòng),對(duì)教學(xué)也大有裨益.在問題1 的求和式中漏掉了形如的項(xiàng),將其添加進(jìn)求和式中會(huì)得到怎樣的結(jié)果呢? 經(jīng)歷一番探究后得到以下問題2 及其證明.

問題2設(shè)x ∈(0,π),證明:對(duì)任意n ∈N?,有.

證明(1)當(dāng)n=1 時(shí),有f1(x)=sinx>0 在x ∈(0,π)恒成立;

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即fk(x)=sinx+對(duì)x ∈(0,π)恒成立.則當(dāng)n=k+1 時(shí),

注意到fn(0)=fn(π)=0,且由fk+1(x)在區(qū)間(0,π)上的連續(xù)性可知,只需證明fk+1(x)在穩(wěn)定點(diǎn)處的函數(shù)值大于0 即可.利用歸納假設(shè)可知

所以,fk+1(x)>0 對(duì)x ∈(0,π)恒成立.綜合(1)(2)知問題2 得證.

評(píng)注查閱資料發(fā)現(xiàn),該不等式是著名的Fejer-Jackon不等式,1910年被Fejer 提出,1911年被Jackon 首先證明,之后陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了不少證法,但大多數(shù)要用到高等數(shù)學(xué)的知識(shí)與技巧.上面利用導(dǎo)數(shù)求出fn(x)的穩(wěn)定點(diǎn),但用數(shù)學(xué)歸納法避開單調(diào)性與最值的判斷與求解,而且恰巧由n=k到n=k+1 過渡時(shí)添加的“小尾巴”或均為正數(shù),頗為巧妙.值得一提的是,筆者嘗試過與問題1 中證法1、證法2、證法3 類似的方法,但都發(fā)現(xiàn)在某個(gè)地方遇到困難,遭遇失敗,有興趣的讀者可嘗試.

特別地,在問題2 中,令n=3 時(shí),即可得到1949年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克試題:

當(dāng)x ∈(0,π)時(shí),求證:.

其證明除了從一般化的問題2 結(jié)論直接推得以外,還可簡單地利用三角恒等變換證得,過程如下:當(dāng)x ∈(0,π)時(shí),

在問題2 中,若將變量x替換為π?x ∈(0,π),則可得以下問題3:

問題3設(shè)x ∈(0,π),證明:對(duì)任意n ∈N?,有.

值得注意的是,問題3 的證明從問題2 的結(jié)果利用變量代換即可直接推得,無需再用數(shù)學(xué)歸納法重證一次,這也是轉(zhuǎn)化化歸數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.

類似地,在問題1 中,將變量x替換為則可得以下問題4:

問題4設(shè)證明:對(duì)任意n ∈N?,有.

3.溯源問題的背景

波利亞還曾說過:“當(dāng)我們看到一個(gè)數(shù)學(xué)問題之后,要進(jìn)行有效的聯(lián)想,有時(shí)不妨去翻翻歷史,檢索一番,尤其要注意前人的經(jīng)驗(yàn).”從高觀點(diǎn)的視角來看,由傅里葉級(jí)數(shù)的理論可知:幾乎每個(gè)周期函數(shù)g(x)都可以表示成一系列正弦函數(shù)與余弦函數(shù)之和的極限(傅里葉級(jí)數(shù)),即g(x)=.

問題1、2、3、4 都具有正弦函數(shù)與余弦函數(shù)部分和形式,其最小正周期為2π.因此,其極限形式(n →+∞時(shí))應(yīng)為某個(gè)周期為2π的函數(shù)的傅里葉展開形式.

在(?π,0)∪(0,π)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式中,a0=0,an=則

因此,問題1 其實(shí)就是論證g(x)的部分和函數(shù)上恒為正數(shù).如果我們?cè)谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中分別作出n=1,6,11,16 時(shí)f(x)的在(0,π)上的圖象,不難發(fā)現(xiàn),隨著n的增大,f(x)的圖象越來越接近于g(x)在(0,π)上的圖象.因此,由傅里葉收斂定理可知,

類似地,問題2 的背景是論證函數(shù)g(x)=在(?π,0)∪(0,π)上的傅里葉級(jí)數(shù)展開式的部分和函數(shù)f(x)=在(0,π)上恒為正數(shù).問題3 的背景是論證函數(shù)上的傅里葉級(jí)數(shù)展開式的部分和函數(shù)f(x)=上恒為正數(shù).問題4 的背景是論證函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式的部分和函數(shù)上恒為正數(shù).而這些結(jié)果通過傅里葉收斂定理是容易理解的.因此,問題1、2、3、4 的外在形式雖然是初等數(shù)學(xué)問題,但其內(nèi)在背景卻與傅里葉級(jí)數(shù)等高等數(shù)學(xué)知識(shí)緊密聯(lián)系,別有一番趣味.

4.研究問題的推廣

波利亞還曾說過:“沒有一道題可以解決得十全十美,總存在值得我們探究的地方.”而且,他還將把一般化、特殊化和類比并列地稱為“獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉”.能否將問題進(jìn)行推廣呢? 一番探究,得到如下推廣問題5、6.

問題5已知a1≥a2≥···≥an>0,0

證明記bk=sin(2k?1)x,則同問題1 的證法2 得由阿貝爾變換公式得

因?yàn)?0.所以,f(x)>0 恒成立,故問題5 得證.

問題6已知a1≥a2≥···≥an>0,0

證明注意到對(duì)上式兩端

同時(shí)在(x,π)積分,可得

所以,

特別地,在問題6 中,令ak=1,k=1,2,···,n,即可得到問題2.

在過去100 多年來中外各級(jí)各類的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,出現(xiàn)了大量形式優(yōu)美、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、構(gòu)思新穎、解法巧妙、背景深刻且廣為流傳的經(jīng)典賽題.這些試題都是提升數(shù)學(xué)能力的極好素材,對(duì)經(jīng)典問題做一做(解答或證明),變一變(變式訓(xùn)練等),研一研(深入挖掘問題的本質(zhì)),拓一拓(對(duì)問題進(jìn)行改進(jìn)、加強(qiáng)、推廣等)的過程中.問題變得愈加豐滿和清晰,也愈加貼近問題的本質(zhì).這樣,我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)收獲了學(xué)習(xí)知識(shí)的方法、也收獲了愉悅充實(shí)的心情,這對(duì)于專業(yè)的成長是大有裨益的.