文|韓夢婷

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》指出：“在教學中要重視對教學內(nèi)容的整體分析，幫助學生建立能體現(xiàn)數(shù)學學科本質(zhì)、對未來學習有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學知識體系。”而單元教學可以聚焦學習困惑，并利用整合的方式，調(diào)整教學序列，將碎片化的知識連點成線、織線成網(wǎng)，讓學生對知識內(nèi)涵能有一個整體認知和深度把握，并發(fā)展學生的學習能力，拓展數(shù)學思維。接下來筆者就以“多邊形的面積”單元為例，闡述一下自己的思考。

一、聚焦困惑，明確單元教學內(nèi)容

學生在學習“多邊形的面積”過程中會有怎樣的困惑呢？教師如何基于學情展開適合的單元整合教學呢？基于以上思考，筆者進行了相關的教學實踐研究。

（一）“多邊形的面積”的單元起始課該從何開啟？

在“多邊形的面積”單元教學時，人教版的教材是按照“平行四邊形的面積——三角形的面積——梯形的面積”的順序進行推導學習的?！捌叫兴倪呅蔚拿娣e”因其教學起點低，轉(zhuǎn)化方便的特點常常作為本單元的起始課。但在長期的教學實踐中我們發(fā)現(xiàn)，平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化用的是剪拼法，而三角形的面積轉(zhuǎn)化用的是倍拼法，這兩種方法切換跨度大，經(jīng)常讓學生難以理解。并且平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化方法單一，反而不利于學生體驗多樣的轉(zhuǎn)化方法，容易造成學生思維上的定勢?；谝陨?，筆者思考“平行四邊形的面積”作為單元起始課是否真的利于學生對于面積的理解呢？

對比不同版本的教材我們發(fā)現(xiàn)，蘇教版和北師大版都不約而同地將“方格圖中的圖形”作為單元起始課，之后再進行其他基本圖形的學習。這樣的呈現(xiàn)給了筆者新的啟發(fā)。方格圖作為面積度量媒介，不僅能讓學生體會面積單位的密鋪，更能從不同圖形中揭示面積的本質(zhì)就是面積單位的累加，實現(xiàn)直觀到抽象的轉(zhuǎn)化。學生可以通過不同圖形的轉(zhuǎn)化，體驗多樣的轉(zhuǎn)化方法，積累不同的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗，讓思維更開放，為后續(xù)的學習奠定基礎。因此，筆者認為將“面積單位的度量”作為單元起始課是可行的。

（二）平面圖形的面積公式需要相互聯(lián)通嗎？

以往的教學實踐中，我們發(fā)現(xiàn)學生對于面積公式的運用總是會有搞錯搞混的現(xiàn)象。當然通過一定程度的記憶和背誦，這樣的現(xiàn)象會逐漸減少，但學生是否真的明白這些面積公式間的聯(lián)系呢？其實面積的教學是有很多共通之處的。從學習本質(zhì)上，所有圖形面積的本質(zhì)都是面積單位的累加。從思想方式上，這三種圖形都運用了轉(zhuǎn)化的思想，可以將未知的圖形轉(zhuǎn)化成已知的圖形。比如，平行四邊形可以轉(zhuǎn)化為長方形，三角形可以轉(zhuǎn)化為長方形、平行四邊形，梯形也可以轉(zhuǎn)化為長方形、平行四邊形。甚至，這三種圖形都可以以長方形為依托進行面積轉(zhuǎn)化。從學習方法上，它們都可以用切割、拼貼的方法進行探究。從教學工具上，都可以選擇方格圖，因為方格圖不僅是學生們熟悉的面積度量工具，更是聯(lián)通不同圖形面積關系的重要媒介。在擁有如此多共同性的情況下，學生如果要準確把握平面圖形的面積本質(zhì)，形成結(jié)構(gòu)化的認知，面積公式間的聯(lián)通非常有必要。有了這樣的思考，筆者將五年級下冊“多邊形的面積”單元進行了結(jié)構(gòu)化整合（如下表）。

整合前整合后教學內(nèi)容調(diào)整后的教學目標平行四邊形的面積面積單位的度量利用方格圖，掌握不同的轉(zhuǎn)化方法，積累轉(zhuǎn)化經(jīng)驗，并通過探索、歸納，深入理解面積的本質(zhì)，培養(yǎng)空間觀念。三角形的面積自主探索平行四邊形、三角形、梯形的面積計算，理解面積公式的含義。體會圖形間的聯(lián)系，進一步發(fā)展推理能力和空間觀念。梯形的面積平行四邊形、三角形、梯形的面積三角形、平行四邊形、梯形的面積練習溝通三角形、平行四邊形、梯形的面積公式間的聯(lián)系，加深理解面積公式，并能靈活運用公式，解決相關的實際問題。

筆者通過重組序列，調(diào)整了教學內(nèi)容，但總課時依然不變。筆者希望能在結(jié)構(gòu)化整合后進一步優(yōu)化學習路徑，提升學生在探索面積公式時的自主性和進階性，讓學生在激活轉(zhuǎn)化、提煉面積公式后溝通平面圖形面積間的聯(lián)系，讓學生能夠深入面積的本質(zhì)，達到學生知識和技能方面的提升，更培養(yǎng)學生的推理能力、探究能力，形成系統(tǒng)性、深刻性、靈活性的多元思維，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。接下來就以“多邊形的面積”為例具體闡述筆者是如何實施單元教學的。

二、調(diào)整序列，定位教學實施策略

（一）激活：探索中積累轉(zhuǎn)化經(jīng)驗

1.等積變形，感悟面積度量本質(zhì)

數(shù)學上常常會用任務驅(qū)動，結(jié)合結(jié)構(gòu)化的學習素材驅(qū)動學生展開想象，使學習能力不同的學生能有不同的學習收獲。以“面積單位的度量”為例，為了達成“深入理解面積本質(zhì)”“掌握不同轉(zhuǎn)化方法”的學習目標，筆者作了如下設計（如下表）。

結(jié)構(gòu)化學習素材目標指向下面圖形的面積哪個最大？哪個最??？請說明你的理由。（每個小方格的面積是1cm2）②①④③⑥⑤⑧⑦⑨①不規(guī)則圖形的面積計算，將不完整方格轉(zhuǎn)化成完整方格，并進行疊加。②割補法，感悟面積是面積單位的累加。③⑥等底同高，可以重看比較。且底和高都為奇數(shù)，體現(xiàn)割補法的局限性，突顯倍拼法。④與③⑥同為等底的直角三角形，但高是偶數(shù)。⑤是圖形比較的基礎。⑦⑧⑨割補法和倍拼法，實現(xiàn)靈活轉(zhuǎn)化。

這些圖形之間既有關聯(lián)又有區(qū)別，有利于學生的對比和分析。通過一個開放性和挑戰(zhàn)性的任務，有些學生會犯難不規(guī)則的圖形面積怎么比；看上去差不多大的面積如何比；怎樣比才最方便；割補完之后發(fā)現(xiàn)面積不準確又怎么辦？在完成任務時，不斷的疑惑驅(qū)動學生主動思考，引發(fā)了學生的求知欲，并在不斷的“問題——解決”中，讓學生感悟到面積的本質(zhì)，優(yōu)化了面積單位的數(shù)法。

2.化零為整，體驗多樣轉(zhuǎn)化方法

學生的生成資源是寶貴的財富，教師只有用好這些學習素材，才能讓學生更易理解、更易接受。就如“面積單位的度量”的任務中，學生的反饋也是有層次的。從觀察法到重疊法，當兩種方法都沒法比的時候，就出現(xiàn)了數(shù)格法。又從一個一個拼這樣零散的數(shù)，到之后學生認為這樣的方法太麻煩，產(chǎn)生了學習沖突，從而優(yōu)化到整塊的割補。再到直角三角形，學生發(fā)現(xiàn)不論零散的拼、割補的拼都不夠精確時，感受到割補法也是有局限的，迫使學生創(chuàng)造出翻倍的拼。這樣的優(yōu)化、創(chuàng)造正是學生在不斷地認知矛盾中，化零為整，逐步完善的過程。而之后的每個圖形，學生通過類比、推理等方式，出現(xiàn)了多樣的轉(zhuǎn)化方法。甚至學生在理解之后發(fā)現(xiàn)等底不同高也能比，出現(xiàn)了更多的比法。這是學生在積累之后的應用，更是學生思路開闊的體現(xiàn)。

3.問題驅(qū)動，領悟面積關鍵要素

“轉(zhuǎn)化之后的圖形與原來的圖形有什么區(qū)別和聯(lián)系嗎？”這一問題驅(qū)動了學生對面積的深入思考，讓學生帶著目的重新去看這些圖形，會給學生不一樣的感受。通過交流思辨，學生發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化方法是不同的，一開始是一個一個拼，又因為“拼起來麻煩”，變成了“整塊割整塊補”，之后發(fā)現(xiàn)整塊割補不夠準確，出現(xiàn)了“倍拼”。但在不同中又有相同，首先轉(zhuǎn)化前后的面積是相同的，并且不論如何轉(zhuǎn)化都是為了將“不完整的格子”變成“完整的格子”，方便數(shù)數(shù)。這里的指向就是面積的本質(zhì)——面積單位的累加。其次學生發(fā)現(xiàn)不論如何轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為長方形是最方便數(shù)的。之后再追問，“變成長方形后，什么沒變？”學生通過一一對比知道，長方形的長就是底，而寬就是高。學生還發(fā)現(xiàn)了直角三角形等底不同高的秘密，有了新的感悟。至此，面積計算的關鍵要素——底和高，也在交流與思辨中被學生領悟。

（二）內(nèi)化：化歸中提煉面積公式

1.選取，基于思辨之后的取舍

方格圖是學生測量面積的重要依托，但是脫離方格圖之后，學生能否選擇合適的度量工具以及合適的數(shù)據(jù)進行面積的計算，這對于學生來講又是一個挑戰(zhàn)。因此，筆者設計了以下學習任務。

面對這樣的任務，學生的第一反應就是量。那么量什么呢？有些學生將每條邊的邊長量了出來，有些學生量了所有的底和高，有些學生只量了一組底和高。對比不同的量法，引導學生針對以下問題進行思考：計算面積需要量出所有的邊嗎？為什么要量出底和高呢？每一組的底和高都要量嗎？學生們的回答令人欣喜，在這樣的思辨當中他們將如何選取數(shù)據(jù)、如何轉(zhuǎn)化、轉(zhuǎn)化前后的關系越辨越明了。選取背后是學生對于面積的理解。通過思辨，明晰了面積轉(zhuǎn)化的過程，加深了底和高對于面積計算的重要性，正確地取舍更是學生在深入理解后產(chǎn)生的自然結(jié)果。

2.規(guī)范，基于分析之后的明晰

面積公式是數(shù)學上的規(guī)定，我們常常需要告知學生這些規(guī)定，但有時規(guī)定是在自然而然中形成的。就像特級教師俞正強曾說：“數(shù)學上有許多規(guī)定，這些規(guī)定似乎是硬邦邦的，需要被重復、被強化。事實上，數(shù)學的許多規(guī)定是有道理的，而且道理是十分有意思的?！蔽覀冎灰o足時間讓學生充分探索、互相交流，明晰其中的道理，規(guī)定自然會出現(xiàn)在學生的心里。

在知道底和高的重要性之后，學生需要的就是根據(jù)圖形的特征和轉(zhuǎn)化的過程進行面積的計算。而三角形和梯形的面積計算中出現(xiàn)了“÷2”，根據(jù)不同的轉(zhuǎn)化方法，學生知道了，有時除以2 是高折半，有時除以2是底折半，有時除以2 是面積折半，但不管是哪種情況造成的結(jié)果都是“底×高÷2”。在如此分析之后，學生對于面積公式的產(chǎn)生有了深刻的感悟，面積公式的規(guī)范就是對數(shù)學內(nèi)涵的明晰。

（三）聯(lián)通：比較中聯(lián)通內(nèi)在聯(lián)系

1.在橫向聯(lián)系中完善認知結(jié)構(gòu)

經(jīng)歷多種圖形的轉(zhuǎn)化后，學生需要利用多個素材的異同對比，激發(fā)深層次的思考。通過幾個面積公式比較，學生發(fā)現(xiàn)“面積都與底和高相關”“面積都可以通過翻倍和割補將原圖形轉(zhuǎn)化成長方形”“三角形和梯形的面積要除以2，而平行四邊形的面積不需要除以2”。其實不管怎么拼，都是為了方便面積單位的“數(shù)”。既然有這么多關聯(lián)，這些面積公式能否用同一個公式來替代呢？學生的選擇是（上底+下底）×高÷2，因為長方形、正方形、平行四邊形的上底和下底是相等的，三角形的上底為0。

教師的對比質(zhì)疑、反思總結(jié)是互聯(lián)的手段，用聯(lián)系的觀點進行分析思考、引領點撥，可以加深學生對面積公式的理解，促進學生主動思考、深入研究，幫助學生找到知識間的關聯(lián)，明晰知識背后的內(nèi)在規(guī)律，建立起結(jié)構(gòu)化的知識體系。

2.在拓展延伸中打破思維定勢

知識間的聯(lián)系不僅在反思總結(jié)中存在，也可以在練習拓展中進行延伸，因此筆者設計了以下練習。

練習拓展：佩奇一家要去采桃子，有下面四塊菜地，怎樣才能最快找出最大的菜地呢？

這個練習的關鍵在于“比”。如何比？以往學生會選擇“算”，因為算最簡單，只需機械重復的應用公式就可以了。但是這里的比是需要學生進行分析與思考的，在理解知識的本質(zhì)與關聯(lián)后才能找到同高的“秘密”，且下底也是相同的，那只要比較上底就好了，而上底最大是6，最小是0，這就是對于面積同一公式的靈活運用。練習的意義在于提升和拓展，學生從“算”到“不算”其實就是打破思維的慣性，明晰內(nèi)在的規(guī)律，學會應用的體現(xiàn)。

綜上所述，單元教學是在充分考慮學生的學習困惑后，利用知識間的關聯(lián)重新整合，調(diào)整教學序列，通過激活學生的原有經(jīng)驗，內(nèi)化學生的度量方法，聯(lián)通知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，使學生形成系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的認知體系，讓數(shù)學變得更有道理！

【本文為“第十五屆全國小學教學特色設計論文大賽”獲獎作品】