閆春愛(ài)，劉明勇，鄧恩喜，韓新光

基于斷齒故障下的斜齒輪副動(dòng)態(tài)性能研究

閆春愛(ài)1，劉明勇*,2，鄧恩喜2，韓新光2

（1.武昌工學(xué)院 智能制造學(xué)院，湖北 武漢 430065； 2.湖北工業(yè)大學(xué) 湖北省農(nóng)機(jī)裝備智能化工程技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430068）

為了探究斷齒故障因素對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，通過(guò)勢(shì)能法，考慮赫茲、彎曲、剪切及軸向壓縮，結(jié)合切片法，研究齒輪時(shí)變嚙合剛度的影響規(guī)律。綜合考慮齒輪時(shí)變嚙合剛度、時(shí)變嚙合阻尼、靜態(tài)傳遞誤差及摩擦激勵(lì)等因素，基于斜齒輪動(dòng)力學(xué)模型，采用Runge-Kutta法求解，研究了故障參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。結(jié)果表明，含斷齒故障的齒輪綜合有效嚙合剛度有較大幅度的減小，系統(tǒng)中的動(dòng)態(tài)傳遞誤差、振動(dòng)速度及振動(dòng)加速度出現(xiàn)周期性沖擊現(xiàn)象，頻域響應(yīng)出現(xiàn)了以嚙合頻率為中心的邊頻信號(hào)，研究結(jié)果可有效實(shí)現(xiàn)斷齒齒輪傳動(dòng)故障的識(shí)別。

斷齒故障；嚙合剛度；動(dòng)力學(xué)模型；周期性

齒輪系統(tǒng)常在高轉(zhuǎn)速、高溫度、承載惡劣等復(fù)雜使役環(huán)境下運(yùn)行。在封閉的齒輪箱中，斷齒故障是齒輪傳動(dòng)中最常見(jiàn)的故障之一，不易被發(fā)現(xiàn)，斷齒故障的發(fā)生會(huì)嚴(yán)重影響機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的可靠運(yùn)行和安全性，造成齒輪的疲勞壽命降低，影響設(shè)備的性能和使用，甚至?xí)斐蓢?yán)重的機(jī)械事故。齒輪副時(shí)變嚙合剛度是進(jìn)行齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析的重要參數(shù)，可較好地反映斷齒故障下齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)特征情況。因此，研究斷齒故障下齒輪動(dòng)態(tài)特性規(guī)律是保障設(shè)備安全的重要手段之一。

時(shí)變嚙合剛度常常作為齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析的輸入條件，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)時(shí)變嚙合剛度開展系列研究。林騰蛟等[1]對(duì)斜齒輪進(jìn)行了研究，使用有限元法分析各種裂紋參數(shù)對(duì)其嚙合的影響，結(jié)果表明，齒輪嚙合剛度隨裂紋的增大而減小；馬銳等[2]建立了單對(duì)齒輪的理論模型，分析其裂紋形成因素和振動(dòng)特性，得到了含裂紋齒輪的動(dòng)力學(xué)特性；朱麗莎等[3]提出了基于切片思想及切片耦合理論的斜齒輪嚙合剛度計(jì)算方法，并分析了斜齒輪時(shí)變嚙合剛度；萬(wàn)國(guó)志等[4]提出一種考慮齒根圓與基圓不重合時(shí)的嚙合剛度修正方法，并采用勢(shì)能法求解齒輪時(shí)變嚙合剛度；Saxena等[5]采用勢(shì)能法求得直齒輪副的嚙合剛度，研究了不同裂紋長(zhǎng)度對(duì)齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)特性頻率響應(yīng)特性的影響；劉文等[6]依據(jù)切片法和積分思想，提出齒輪基圓與齒根圓大小不一致的情況下的齒輪時(shí)變嚙合剛度修正算法；Wang等[7]提出斜齒輪時(shí)變嚙合剛度還應(yīng)考慮齒輪的軸向彎曲剛度、軸向扭轉(zhuǎn)剛度與軸向基體剛度；肖正明[8]針對(duì)含有裂紋的行星齒輪進(jìn)行了分析，建立了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型并進(jìn)行了仿真分析，結(jié)果表明，建立的模型精度較高。王彥剛等[9]分析了不同故障下齒輪的非線性特性，建立了齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型并進(jìn)行分析，可以有效地區(qū)分故障信號(hào)的大小。在齒輪斷齒故障方面，強(qiáng)仕杰等[10]基于ISO剛度計(jì)算準(zhǔn)則對(duì)任意斷齒角度下斜齒輪副嚙合剛度的求解；嚴(yán)作堂等[11]通過(guò)斷齒信號(hào)分析，提取了斷齒故障特征并確定斷齒的嚴(yán)重性和數(shù)量；陳寶慶等[12]分析了嚙合力的幅值隨著斷齒程度的增加而明顯增加。

現(xiàn)有研究對(duì)齒輪的時(shí)變嚙合剛度進(jìn)行了很好的評(píng)價(jià)，但若能在封閉齒輪箱中綜合考慮故障因素對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)規(guī)律，將更有助于斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性研究。因此，本文在建立斜齒輪斷齒三維模型下，研究斷齒故障下齒輪副時(shí)變嚙合剛度規(guī)律，基于Runge- Kutta法求解，分析斷齒故障下不同動(dòng)力學(xué)參數(shù)對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響規(guī)律，對(duì)齒輪副嚙合狀態(tài)的故障預(yù)測(cè)具有重要的工程研究意義。

1 斷齒故障下的斜齒輪建模及嚙合剛度計(jì)算

考慮小齒輪上其中一個(gè)輪齒發(fā)生斷裂，利用SolidWorks軟件的參數(shù)化建模如圖1所示。

圖1 斜齒輪斷齒三維模型

準(zhǔn)確有效的時(shí)變嚙合剛度計(jì)算方法是進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析的關(guān)鍵，考慮計(jì)算時(shí)變嚙合剛度的關(guān)鍵是求出輪齒嚙合時(shí)的彈性變形量。如圖2所示，本文基于r＞r情況，考慮小齒輪其中一個(gè)輪齒斷裂，將輪齒嚙合等效為變截面梁，運(yùn)用勢(shì)能法得到齒輪的有效綜合嚙合剛度。圖2中：x為齒根圓與基圓在齒高方向的距離；為截面的齒曲線上的點(diǎn)與基圓在齒高方向的距離；為嚙合點(diǎn)與基圓在齒高方向的距離；0為基圓與齒根圓接觸齒面上的圓弧半徑；h為截面的齒曲線上的點(diǎn)與齒輪中心線之間的距離；為合點(diǎn)與齒輪中心線之間的距離；0為齒面上齒根圓與基圓之間的夾角；2為壓力角；α為嚙合點(diǎn)在齒根方向的切線與齒輪中心線之間的夾角；為截面的齒曲線上的點(diǎn)在齒根方向上的切點(diǎn)與齒根圓之間的夾角；F為嚙合點(diǎn)中配合齒的剪切力；F為嚙合點(diǎn)中配合齒的彎曲力；為嚙合點(diǎn)中配合齒的作用合力。

圖2 接觸齒對(duì)力學(xué)模型圖

根據(jù)文獻(xiàn)[13]中的彈性勢(shì)能法，考慮齒輪嚙合過(guò)程中的赫茲接觸能、彎曲勢(shì)能、剪切勢(shì)能、軸向壓縮能，計(jì)算斷齒故障的綜合嚙合剛度。

根據(jù)能量法計(jì)算嚙合齒輪儲(chǔ)存的勢(shì)能為：

根據(jù)勢(shì)能與剛度的關(guān)系可以得到：

式中：U為赫茲剛度；U為彎曲勢(shì)能；U為剪切能；U為軸向壓縮能；k為赫茲剛度；k為彎曲剛度；k為剪切剛度；k為軸向剛度；I為有效面積慣性矩；A為有效橫截面面積，；扭矩為F的彎曲效應(yīng)。

得出齒輪的赫茲接觸剛度為：

式中：為楊氏模量；為接觸線長(zhǎng)度；為泊松比。

齒輪的彎曲剛度如式（9）所示，剪切剛度如式（10）所示，壓縮剛度如式（11）所示。

式中：1為嚙合點(diǎn)在齒根方向上的切點(diǎn)與齒根圓之間的夾角。

根據(jù)式（8）～（11）得出綜合嚙合剛度為：

式中：下標(biāo)1、2分別代表小齒輪和大齒輪。

如圖1所示，小齒輪上其中一個(gè)輪齒發(fā)生斷裂。若該輪齒未斷裂，當(dāng)它旋轉(zhuǎn)到嚙合區(qū)域時(shí)，它會(huì)與配合齒輪的大齒輪進(jìn)行嚙合。在雙齒嚙合區(qū)，斷裂齒未發(fā)生接觸，依舊為單齒嚙合。因此，綜合有效嚙合剛度等價(jià)于單齒嚙合剛度，綜合有效嚙合剛度為：

本文采用齒輪的參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪幾何模型基本參數(shù)

2 斷齒對(duì)齒輪時(shí)變嚙合剛度的影響

假設(shè)小齒輪為斷齒故障齒輪，雙齒嚙合區(qū)發(fā)生單齒嚙合，其綜合嚙合剛度如圖3所示，可以得到，參與嚙合的一對(duì)齒輪中其故障齒的嚙合剛度比理想齒輪有較大幅度的降低。

齒輪進(jìn)行周期性連續(xù)傳動(dòng)，采用切片法研究周期性時(shí)變嚙合剛度對(duì)揭示齒輪運(yùn)行規(guī)律有意義。圖4為理想與斷齒故障下的斜齒輪時(shí)變嚙合剛度變化。對(duì)比可知，斷齒故障下齒輪副綜合嚙合剛度在故障接觸區(qū)域中低于相應(yīng)理想下齒輪副綜合嚙合剛度。斷齒故障嚙合區(qū)下的綜合嚙合剛度大幅度降低，但由于斜齒輪交叉嚙合，其斷齒故障綜合嚙合剛度不會(huì)為零。

圖3 斷齒條件下綜合嚙合剛度變化

圖4 斷齒條件下斜齒輪綜合剛度變化

3 斜齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型

以單級(jí)斷齒故障斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，采用集中質(zhì)量法建立了齒輪時(shí)變嚙合剛度、時(shí)變嚙合阻尼、靜態(tài)傳遞誤差及摩擦激勵(lì)的斜齒輪副單自由度動(dòng)力學(xué)模型。模型如圖5所示。

由牛頓第二定律可得扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

式中：Ip、Ig分別為小齒輪和大齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Tp、Tg分別為小齒輪和大齒輪施加恒定扭矩；M1、M2分別為小齒輪和大齒輪上時(shí)變摩擦力矩；θp、θg分別為小齒輪和大齒輪轉(zhuǎn)角；β為分度圓螺旋角；rb1、rb2分別為小齒輪和大齒輪基圓半徑；k (t)為時(shí)變嚙合剛度；cm為嚙合阻尼；e(t)為輪齒綜合誤差。

針對(duì)本文中給出的傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)及模型，運(yùn)用2012版本的fortran仿真軟件，采用變階Runge-Kutta法求解得到斷齒故障斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)。

4 斜齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)動(dòng)力學(xué)特性分析

4.1 轉(zhuǎn)速對(duì)斜齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)動(dòng)力學(xué)特性的影響

圖6～8給出了扭矩50000 N·m、轉(zhuǎn)速分別為3785 r/min和5785 r/min時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性。

圖6 不同轉(zhuǎn)速條件下動(dòng)態(tài)傳遞誤差變化

圖7 不同轉(zhuǎn)速條件下振動(dòng)速度變化

圖8 不同轉(zhuǎn)速條件下振動(dòng)加速度變化

如圖6所示，斷齒故障的輪齒在不同轉(zhuǎn)速下的動(dòng)態(tài)傳遞誤差存在周期性沖擊響應(yīng)間隔、振動(dòng)響應(yīng)強(qiáng)烈，分別為0.016 s和0.01 s，轉(zhuǎn)速小的沖擊間隔是轉(zhuǎn)速大的沖擊間隔的1.6倍。如圖7所示，斷齒故障的輪齒在不同轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)速度存在周期性沖擊響應(yīng)間隔、振動(dòng)響應(yīng)強(qiáng)烈，最大分別為0.194 mm/s和0.2604 mm/s，轉(zhuǎn)速較大時(shí)振動(dòng)速度較平穩(wěn)劇烈。如圖8所示，斷齒故障的輪齒在不同轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)加速度存在周期性沖擊響應(yīng)間隔、振動(dòng)響應(yīng)強(qiáng)烈，最大分別為4009 mm/s2和5017 mm/s2，轉(zhuǎn)速較大時(shí)振動(dòng)加速度較平穩(wěn)劇烈。

4.2 扭矩對(duì)斜齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)動(dòng)力學(xué)特性的影響

圖9～11給出了轉(zhuǎn)速3785 r/min、扭矩分別為500 N·m和50000 N·m時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性。可以看出，含有斷齒故障的小齒輪在不同扭矩條件下呈現(xiàn)明顯的周期性，振動(dòng)響應(yīng)強(qiáng)烈。

圖9 不同扭矩條件下動(dòng)態(tài)傳遞誤差變化

如圖9所示，扭矩為50000 N·m的動(dòng)態(tài)傳遞誤差高于扭矩為500 N·m的動(dòng)態(tài)傳遞誤差。如圖10所示，振動(dòng)速度分別為1.406 mm/s和2.735 mm/s，扭矩較大時(shí)振動(dòng)速度響應(yīng)較平穩(wěn)劇烈。如圖11所示，振動(dòng)加速度最大分別為6716 mm/s2和56500 mm/s2，扭矩較大時(shí)振動(dòng)加速度振動(dòng)響應(yīng)越平穩(wěn)強(qiáng)烈。

4.3 斷齒故障對(duì)斜齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)動(dòng)力學(xué)特性的影響

轉(zhuǎn)速3785 r/min時(shí)輪齒轉(zhuǎn)頻63 Hz、嚙合頻率1198 Hz。圖12～14給出無(wú)故障條件下與扭矩500 N·m、轉(zhuǎn)速3785 r/min時(shí)斷齒故障條件下的動(dòng)力學(xué)時(shí)域響應(yīng)變化與相應(yīng)頻域變化。

圖10 不同扭矩條件下振動(dòng)速度變化

圖11 不同扭矩條件下振動(dòng)加速度變化

圖12 動(dòng)態(tài)傳遞誤差時(shí)域振動(dòng)響應(yīng)變化與相應(yīng)頻域變化圖

圖13 振動(dòng)速度時(shí)域振動(dòng)響應(yīng)變化與相應(yīng)頻域變化圖

如圖12（a）所示，斷齒故障下的動(dòng)態(tài)傳遞誤差時(shí)域響應(yīng)存在周期性沖擊響應(yīng)間隔，高于無(wú)故障下的時(shí)域響應(yīng)。如圖13（a）所示，斷齒故障下的振動(dòng)速度時(shí)域響應(yīng)存在周期性沖擊響應(yīng)間隔，高于無(wú)故障下的時(shí)域響應(yīng)。如圖14（a）所示，斷齒故障下的振動(dòng)加速度時(shí)域響應(yīng)存在周期性沖擊響應(yīng)間隔、最高6748 mm/s2，無(wú)斷齒故障下的時(shí)域響應(yīng)為4124 mm/s2，斷齒故障下的時(shí)域響應(yīng)高于無(wú)故障下的時(shí)域響應(yīng)。

圖14 振動(dòng)加速度時(shí)域振動(dòng)響應(yīng)變化與相應(yīng)頻域變化圖

如圖12（b）、圖13（b）、圖14（b）所示，在無(wú)故障條件下與在扭矩500 N·m、轉(zhuǎn)速3785 r/min時(shí)的斷齒故障條件下的動(dòng)態(tài)傳遞誤差、振動(dòng)速度、振動(dòng)加速度時(shí)域?qū)?yīng)的頻域響應(yīng)譜中出現(xiàn)以嚙合頻率為中心的調(diào)頻邊帶，斷齒故障下的動(dòng)態(tài)傳遞誤差、振動(dòng)速度、振動(dòng)加速度頻域響應(yīng)譜中出現(xiàn)明顯的變頻振動(dòng)效應(yīng)，斷齒故障下輪齒的邊頻效應(yīng)和振動(dòng)幅頻高于無(wú)斷齒故障下的邊頻效應(yīng)和振動(dòng)幅頻、動(dòng)態(tài)傳遞誤差響應(yīng)譜中其中相鄰兩個(gè)邊頻效應(yīng)頻率間隔為64 Hz、嚙合頻率為1198 Hz。振動(dòng)速度響應(yīng)譜中其中相鄰兩個(gè)邊頻效應(yīng)頻率間隔為63 Hz、嚙合頻率為1198 Hz。振動(dòng)加速度響應(yīng)譜中其中相鄰兩個(gè)邊頻效應(yīng)頻率間隔為65 Hz、嚙合頻率為1198 Hz，斷齒故障的存在導(dǎo)致邊頻效應(yīng)的轉(zhuǎn)頻不一致，振動(dòng)加速度響應(yīng)譜中邊頻效應(yīng)高于動(dòng)態(tài)傳遞誤差和振動(dòng)速度邊頻效應(yīng)。輪齒的轉(zhuǎn)頻與嚙合頻率相對(duì)應(yīng)于斷齒故障齒輪的轉(zhuǎn)頻與嚙合頻率。該變化下的動(dòng)力學(xué)特性可用于分析傳動(dòng)系統(tǒng)的斷齒故障的存在。

5 結(jié)論

利用建立的斷齒故障下的三維模型及動(dòng)力學(xué)模型，總結(jié)一對(duì)單級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)斜齒輪斷齒故障因素的時(shí)變嚙合剛度變化及傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性規(guī)律，得出如下結(jié)論：

（1）斷齒故障的存在影響了輪齒的嚙合時(shí)變剛度，進(jìn)而影響了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

（2）斷齒故障對(duì)齒輪副嚙合剛度的影響較大，出現(xiàn)斷齒區(qū)域部分的齒輪，綜合嚙合剛度會(huì)有較大幅度的減小。

（3）建立了含斷齒故障的傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)動(dòng)力學(xué)仿真得出，存在斷齒時(shí)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)傳遞誤差，振動(dòng)速度和振動(dòng)加速度出現(xiàn)了周期性的沖擊響應(yīng)現(xiàn)象，轉(zhuǎn)速越大時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)傳遞誤差振動(dòng)響應(yīng)越快，振動(dòng)速度和振動(dòng)加速度越大，振動(dòng)響應(yīng)越平穩(wěn)強(qiáng)烈。扭矩大的動(dòng)態(tài)傳遞誤差高于扭矩小的動(dòng)態(tài)傳遞誤差，振動(dòng)速度和振動(dòng)加速度越大，振動(dòng)響應(yīng)越平穩(wěn)強(qiáng)烈。系統(tǒng)的相鄰兩個(gè)沖擊間隔時(shí)間為斷齒故障齒輪傳動(dòng)周期，頻域響應(yīng)中出現(xiàn)了以嚙合頻率及其倍頻為中心的調(diào)頻邊帶，邊頻間隔為斷齒故障嚙合齒輪轉(zhuǎn)頻。

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Research on Dynamic Performance of Helical Gear Pair Based on Tooth Breakage

YAN Chun’ai1，LIU Mingyong2，DENG Enxi2，HAN Xinguang2

(1.College of Intelligent Manufacturing, Wuchang Institute of Technology, Wuhan 430065, China; 2.Hubei Province Agricultural Equipment Intelligent Engineering Technology Center, Hubei University of Technology, Wuhan 430068, China )

In order to explore the dynamic characteristics of gear transmission system caused by tooth breakage, considering the factors of Hertz, bending, shearing and axial compression, the time-varying meshing stiffness of the gear is studied through the potential energy method combined with the slicing method. Considering the time-varying meshing stiffness, time-varying meshing damping, static transmission error, friction excitation and other factors, on the basis of the helical gear dynamic model, the Runge-Kutta method is used to study the influence of the fault parameters on the system dynamic characteristics. The results show that the comprehensive and effective meshing stiffness of the gear with tooth breakage is greatly reduced, the periodic shock occurs in the dynamic transmission error, vibration velocity and vibration acceleration in the system, and the side frequency signal centered on the meshing frequency appears in the frequency domain response. The research results can effectively realize the transmission failure identification of the gears with tooth breakage.

tooth breakage；meshing stiffness；dynamic model；periodicity

TH132.41

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2023.07.009

1006-0316 (2023) 07-0058-08

2022-10-18

武昌工學(xué)院校級(jí)科學(xué)研究項(xiàng)目（2022KY03）；現(xiàn)代制造質(zhì)量工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題（KFJJ-2022013）

閆春愛(ài)（1985－），女，河北唐山人，碩士，講師，主要研究方向?yàn)辇X輪設(shè)計(jì)，E-mail：664874648@qq.com。*通訊作者：劉明勇（1985－），男，江西九江人，副教授，博士，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械動(dòng)力學(xué)，E-mail：lmy8508@qq.com。