安曉麗

證明不等式問題比較常見，其命題方式多種多樣，解答這類問題的方法也很多.而對于一些較為復(fù)雜的證明不等式問題，如含有多個單項式、指數(shù)式、對數(shù)式的不等式證明問題，采用常規(guī)方法，很難使問題快速獲解，此時，需以導(dǎo)數(shù)知識為“工具”，才能順利證明不等式．

一、利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系證明不等式

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系是研究函數(shù)問題的重要“工具”，常用于判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與其單調(diào)性之間的關(guān)系為：（1）在某個區(qū)間（a，b） 內(nèi)，如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，則該函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；（2）如果在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒等于零，則該函數(shù)為常數(shù)；（3）在某個區(qū)間（a，b） 內(nèi)，如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于零，則該函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.若不等號兩側(cè)的式子屬于同一函數(shù)模型，可直接對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；若不等號兩側(cè)的式子分屬不同的函數(shù)模型，需將不等式兩側(cè)的式子移項，構(gòu)造輔助函數(shù)F（x） =f （x）-g（x）（其中f （x）、g（x）為不等號兩側(cè)的函數(shù)），再對函數(shù)F（x） 求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，判斷函數(shù)的最值與0的大小關(guān)系，即可證明不等式.

對于簡單的證明不等式問題，可以通過作差法進行證明，對于復(fù)雜的證明不等式問題往往要結(jié)合不等式的特征，構(gòu)造出合適的輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、拉格朗日中值定理、泰勒定理等，來證明不等式.因此，證明同一個不等式可能有多種方法，有時甚至要綜合運用多種方法才能證明.

（作者單位：吉林省磐石市紅光中學(xué)校）