安雪, 黃博文, 史冬巖

(1.哈爾濱工程大學(xué) 機電學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001; 2.羅格斯新澤西州立大學(xué) 機械和航天學(xué)院,新澤西州 美國 08854)

不確定性問題存在于工程各個領(lǐng)域[1-3],然而,針對包裝工程中的不確定性問題研究相對較少。本文對包裝工程中緩沖防護結(jié)構(gòu)的不確定性展開研究。

產(chǎn)品在搬運和運輸過程中,由于存在諸多不確定因素,例如緩沖包裝材料加工尺寸、產(chǎn)品儲存溫度和運輸條件等,從而導(dǎo)致大量的包裝產(chǎn)品破損[4-6]。為此,人們提出了許多方法保護產(chǎn)品使其遠離損壞的危險。傳統(tǒng)上,減少產(chǎn)品損壞方法是根據(jù)ASTM[7]提出的緩沖包裝曲線對產(chǎn)品的緩沖防護結(jié)構(gòu)進行設(shè)計。然而這種方法經(jīng)常出現(xiàn)“過度設(shè)計”的情況,造成了材料的經(jīng)濟浪費。另外,緩沖曲線的確定需要進行大量的跌落實驗,進而對實驗數(shù)據(jù)進行擬合,數(shù)據(jù)越多,曲線的擬合精度就約高,浪費了大量的時間成本。這些缺點促使學(xué)者引入一種替代傳統(tǒng)跌落實驗的方法,該方法依賴于緩沖包裝材料動態(tài)的本構(gòu)關(guān)系[8-9],簡化確定緩沖包裝曲線的過程。然而,動態(tài)的本構(gòu)關(guān)系僅對閉孔緩沖包裝材料具有良好的緩沖性能[10],對于開孔的緩沖包裝材料具有一定的局限性。另一種減少產(chǎn)品損壞的方法是對產(chǎn)品的包裝系統(tǒng)進行力學(xué)建模,如線性或非線性單自由度或二自由度系統(tǒng)[11-12],通過對產(chǎn)品在跌落過程進行振動響應(yīng)分析,使產(chǎn)品在跌落時產(chǎn)生的峰值響應(yīng)加速度降低到產(chǎn)品的脆值(產(chǎn)品的固有屬性)以下。

基于可靠度的優(yōu)化設(shè)計(reliability-based design optimization, RBDO)是解決工程中不確定性的主要手段,得到了廣泛地應(yīng)用[13]。RBDO概率模型由最小目標函數(shù)和概率約束條件組成,以尋求最佳的工程設(shè)計,同時降低材料成本[14]。功能度量法(performance measure approach, PMA)[15]和可靠度指標法(reliability-based design optimization,RIA)是求解RBDO概率模型的2大主流方法。RIA方法是求解RBDO概率模型主要技術(shù)手段,但當遇到強非線性函數(shù)時,RIA方法會產(chǎn)生收斂失敗和數(shù)值奇異解的現(xiàn)象[16-17]。

本文通過定義主動集合策略,提出一種改進的RBDO方法,克服了傳統(tǒng)RIA方法的缺點同時解決包裝工程中的不確定性問題。將得到的最優(yōu)解采用蒙塔卡羅法(Monte-Carlo simulation,MCs)進行驗證,并提供了一種方便簡單的緩沖包裝防護設(shè)計方法,實現(xiàn)質(zhì)量和成本之間的平衡。

1 基于可靠度的優(yōu)化設(shè)計

1.1 RBDO的數(shù)學(xué)模型

RBDO的數(shù)學(xué)模型為:

(1)

在可靠度理論中,通常采用統(tǒng)計模型來計算系統(tǒng)的失效概率:

(2)

式中fX(x)是X的聯(lián)合概率密度函數(shù)。式(2)需要求解多維積分得到系統(tǒng)的失效概率。然而,對于大多數(shù)實際工程問題,求解多維積分是非常困難的,甚至是不可能完成的。

可靠度指標克服求解多維積分的困難[18],在標準正態(tài)空間內(nèi)原點到功能函數(shù)曲面的最短距離,可靠度指標βHL為:

(3)

可靠度指標取值均為正,沒有考慮負可靠度指標的情況。因此,可靠度指標的定義是導(dǎo)致RIA方法收斂困難和數(shù)值不穩(wěn)定的主要原因。

1.2 修正的可靠度指標

針對傳統(tǒng)RIA方法不收斂和數(shù)值不穩(wěn)定的現(xiàn)象,本文對傳統(tǒng)可靠度指標的定義進行修正。

本文采用一個邏輯不等式定義一個主動集合策略(active set strategy,ASS)實現(xiàn)對MPP點的過濾和識別,數(shù)學(xué)表達式為:

(4)

圖1 MPP和±6σ之間的關(guān)系Fig.1 The positional relationship between MPP and ±6σ

對于大多數(shù)工程問題,如果設(shè)計變量落在±3σ范圍內(nèi),則認為是可接受的設(shè)計,該設(shè)計稱為3σ設(shè)計。該情況系統(tǒng)的可靠度為99.73%,失效概率為0.27%,如表1所示。然而,由于實際工程系統(tǒng)中存在各種不確定因素的擾動,對于大型復(fù)雜的工程結(jié)構(gòu),3σ設(shè)計則被認為是一種不充分和不可靠的設(shè)計水平。所以,本文選擇6σ水平設(shè)計,其規(guī)定范圍相當于99.999 999 8%的可靠度和0.000 000 2%的失效概率,遠遠優(yōu)于其他設(shè)計水平。

表1 不同的σh對應(yīng)的CIh和失效概率Table 1 CIh and probability of failure for various σh

修改的可靠度指標重新定義為:

(5)

2 基于主動集合策略的可靠性設(shè)計優(yōu)化方法

在式(1)中定義的RBDO問題,在求解過程通常采用雙循環(huán)求解策略,即內(nèi)循環(huán)和外循環(huán),內(nèi)循環(huán)是在獨立的標準正態(tài)隨機空間(U-空間)中進行可靠性分析,外循環(huán)是在原始物理空間(X-空間)中進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化分析。在本節(jié)中,將分別詳細的介紹內(nèi)循環(huán)和外循環(huán),這是本文提出方法的基礎(chǔ)。

2.1 內(nèi)循環(huán)

由于內(nèi)循環(huán)主要是在U-空間執(zhí)行一個次優(yōu)化問題來確定MPP和可靠性指標βsj,因此,首先應(yīng)使用轉(zhuǎn)化公式將所有隨機變量從最開始的空間轉(zhuǎn)換為標準正態(tài)分布空間,如圖2所示。

圖2 X空間轉(zhuǎn)化到U空間Fig.2 The X-space mapping to the U-space

(6)

其次,求解MPP執(zhí)行的是一個次優(yōu)化過程,其優(yōu)化格式表示為:

(7)

式中:gj(u)是第j個有效約束條件的功能函數(shù)。借助于MPP后,將概率約束條件使用Rosenblatt[21]變換公式轉(zhuǎn)化為確定性約束條件:

(8)

式中Φ是標準正態(tài)累積分布函數(shù)(CDF),因此,

(9)

(10)

根據(jù)式(9)和式(10)可以完成約束條件的轉(zhuǎn)換,式(1)重新寫成:

(11)

2.2 外循環(huán)

(12)

(13)

(14)

結(jié)合式(5)、(11)和(14)可得到最終的優(yōu)化迭代格式為:

(15)

在優(yōu)化開始之前,給出初始設(shè)計點d(0)和u(0)。對于每次迭代,首先執(zhí)行式(7)完成內(nèi)循環(huán),以求解MPP點和可靠度指標。其次執(zhí)行式(15)完成外循環(huán),并更新內(nèi)循環(huán)的解,直到程序收斂到最優(yōu)解。迭代收斂標準‖d(k+1)-d(k)‖/d(k+1)≤ε(ε為給定的極小值),否則,當?shù)螖?shù)大于允許次數(shù)時,則迭代停止。

3 緩沖包裝防護結(jié)構(gòu)的不確定性研究

3.1 包裝系統(tǒng)的跌落模型

包裝件通常由產(chǎn)品,緩沖材料和外包裝箱組成,如圖3所示。將產(chǎn)品和緩沖材料被理想化為具有剛度系數(shù)k的無阻尼非線性質(zhì)量彈簧系統(tǒng)[22-23],本文忽略了外瓦楞紙箱,產(chǎn)品的質(zhì)量用m表示。

圖3 包裝產(chǎn)品的示意Fig.3 Graphic of a packaged product

包裝系統(tǒng)的跌落模型如圖4所示,其中h為跌落高度,t為緩沖保護材料的厚度。本文采用具有良好的緩沖性能閉孔泡沫聚苯乙烯(EPS)作為緩沖材料[24]。緩沖包裝材料的非線性本構(gòu)關(guān)系是通過壓縮實驗機獲得壓縮數(shù)據(jù),并將數(shù)據(jù)進行多項式擬合確定,實驗裝置如圖5和6所示。

圖4 模型與地面撞擊過程Fig.4 The process of collision between model and the ground

圖5 壓縮試驗機5566Fig.5 Instron 5566

圖6 緩沖材料和壓盤Fig.6 The cushion material and platen

3.2 跌落過程中的能量分析

在跌落過程中,當包裹與地面碰撞時,緩沖包裝材料被壓縮為動態(tài)非線性變化過程。假設(shè)在動態(tài)沖擊過程中,沖擊產(chǎn)生的能量全部被緩沖材料吸收并使其變形最大不再傳遞到外界(忽略摩擦力的影響)。因此,本文以產(chǎn)品m為研究對象,由能量平衡得:

(16)

圖7 動態(tài)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.7 Dynamic stress-strain curve

進而計算出產(chǎn)品的最大加速度為:

amax=σ(εm)A/m

(17)

3.3 RBDO 數(shù)學(xué)模型

(18)

在本文中,初始設(shè)計點設(shè)置為d(0)=0.05和u(0)=0。優(yōu)化收斂標準為ε=10-6,且給定的最大迭代步數(shù)是200次。

應(yīng)用本文提出的ASS方法對上述數(shù)學(xué)模型進行計算求解。在評估概率約束的過程中需要迭代18次,收斂得到的最優(yōu)解為0.036 0,其迭代過程如圖8所示。此外,應(yīng)用MCs驗證最優(yōu)解,隨機抽取2×106個樣本點對失效概率進行評估,2個約束的失效概率均在允許的失效概率(3%)內(nèi)。因此,ASS解決了緩沖防護結(jié)構(gòu)的厚度不確定性問題,并提供了緩沖包裝防護結(jié)構(gòu)的最佳厚度尺寸是0.036 0 m。

圖8 迭代過程Fig.8 The process of iteration

4 結(jié)論

1)本文提出基于主動集策略的可靠度優(yōu)化方法。通過在內(nèi)循環(huán)中使用一個邏輯的不等式引入了主動集合策略對傳統(tǒng)可靠度指標的定義進行修正,解決了傳統(tǒng)RIA方法收斂困難和數(shù)值奇異性問題。

2)本文提出的ASS方法解決了包裝工程中的不確定性問題。該方法充分考慮了緩沖包裝防護結(jié)構(gòu)厚度幾何尺寸的不確定性因素,基于能量守恒建立了緩沖包裝防護結(jié)構(gòu)動態(tài)非線性的本構(gòu)關(guān)系模型,通過將不確定性進行量化,構(gòu)造了RBDO概率模型,并運用本文提出的方法計算出了全局最優(yōu)解。最后,采用MCs方法對最優(yōu)解進行驗證,結(jié)果表明計算出的最優(yōu)解是正確并且是合理的。

3)本文提出的方法為緩沖包裝防護結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計和可靠性設(shè)計提供了理論支撐。