張玉華, 全四龍, 劉樹博

(東華理工大學(xué)機(jī)械與電子工程學(xué)院, 南昌 330013)

在超聲非線性檢測中,當(dāng)激勵超聲波在金屬材料內(nèi)部傳播時,由于材料微觀缺陷或疲勞損傷的存在,超聲波與疲勞損傷發(fā)生非線性相互作用,激勵波形發(fā)生畸變,能量發(fā)生偏移產(chǎn)生高次諧波,相關(guān)研究表明產(chǎn)生的高次諧波能與材料疲勞損傷缺陷密切相關(guān)[1-3]。超聲波在材料內(nèi)部傳播過程中,由于環(huán)境噪聲和實(shí)驗(yàn)設(shè)備的影響,反映材料損傷的微弱高次諧波信號湮沒在強(qiáng)背景噪聲下[4]。有效分析和檢測強(qiáng)背景噪聲下的高次諧波信號對有效評估材料的疲勞損傷是非常關(guān)鍵的。

隨著混沌理論的發(fā)展,利用混沌理論對非線性信號進(jìn)行分析越來越受到關(guān)注[6]。杜芬混沌振子具有對初值條件敏感且對噪聲免疫的特點(diǎn),是一種最常用的微弱周期信號檢測方法[7-8]。杜芬混沌振子對初值條件的敏感依賴性表現(xiàn)為周期驅(qū)動力幅值F0對系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的影響,當(dāng)杜芬振子處于混沌狀態(tài)時,一個較小的擾動信號會使系統(tǒng)狀態(tài)變?yōu)榇蟪叨戎芷跔顟B(tài),通過系統(tǒng)狀態(tài)的變化可以實(shí)現(xiàn)微弱信號的檢測[9]。

利用杜芬振子對微弱待測信號進(jìn)行檢測時,需要非常嚴(yán)苛的條件才會使系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化,如待檢測信號的頻率為1、初始相位為0、待檢測信號與杜芬系統(tǒng)幅值匹配等條件,這嚴(yán)重限制了杜芬混沌振子對實(shí)際工程信號的檢測。如何利用杜芬振子對實(shí)際工程信號進(jìn)行檢測是一個非常復(fù)雜的問題。

為了利用杜芬振子對具有任意幅值、任意頻率和任意相位的實(shí)際工程信號進(jìn)行檢測,現(xiàn)首先利用頻率轉(zhuǎn)換方法,對杜芬振子進(jìn)行改進(jìn),使杜芬振子能夠檢測任意頻率的待測信號;其次,探究待測信號和驅(qū)動力信號初始相位對檢測結(jié)果的影響,提出利用杜芬振子陣列對對信號進(jìn)行檢測;為了匹配待檢測信號和杜芬振子,對待檢測信號進(jìn)行變尺度變化;最后根據(jù)待測信號驅(qū)動力幅值和響應(yīng)信號幅值之間的對應(yīng)關(guān)系,對待測信號幅值進(jìn)行估計(jì)?；谝陨涎芯?提出對實(shí)際工程信號進(jìn)行檢測的杜芬振子檢測模型,對超聲非線性輸出信號中的二次諧波信號進(jìn)行檢測,并分析噪聲對檢測結(jié)果的影響。

1 構(gòu)建杜芬陣列檢測模型

1.1 杜芬振子檢測原理

常規(guī)杜芬方程為

(1)

當(dāng)驅(qū)動力幅值F0由0不斷增加時,杜芬振子相圖具有復(fù)雜的運(yùn)動狀態(tài),如同宿軌道F0=0.382、分叉F0=0.386、混沌F0=0.626、臨界混沌F0=0.826和大尺度周期F0=0.827等狀態(tài)。

當(dāng)利用杜芬振子對微弱信號檢測時,將檢測信號S輸入杜芬振子中,即

(2)

如果S與驅(qū)動力F0cos(w0t)具有相同的角頻率w0,設(shè)定驅(qū)動力幅值F0=0.826,此時杜芬振子為臨界混沌狀態(tài);當(dāng)待檢測信號S輸入杜芬系統(tǒng)后,通過數(shù)值變換,式(1)右側(cè)相當(dāng)于增加杜芬振子的驅(qū)動力幅值F0,如果總驅(qū)動力幅值大于分叉閾值Fc=0.827,杜芬系統(tǒng)的相圖由混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)換為大尺度周期狀態(tài)[10]。因此,待檢測信號S可以根據(jù)杜芬系統(tǒng)相圖的變化進(jìn)行檢測。

利用杜芬振子對實(shí)際信號進(jìn)行檢測時,需要非常嚴(yán)苛的條件才會使系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化,如待檢測信號的頻率為1、初始相位為0等條件,這嚴(yán)重限制了杜芬混沌振子對實(shí)際工程信號的檢測。

1.2 頻率轉(zhuǎn)換

在實(shí)際應(yīng)用中,待檢測的頻率一般不為1,為了使用杜芬振子檢測任意頻率的實(shí)際工程信號,對杜芬振子進(jìn)行頻率轉(zhuǎn)換[11-12]。

設(shè)定t=w0τ,w0為待檢測信號的頻率,引入新的位移變量x*(τ),則

(3)

而式(2)則可以改變?yōu)?/p>

F0cos(w0τ)+S

(4)

(5)

式(5)由式(2)線性轉(zhuǎn)換得到,因此兩組等式的分叉閾值Fc保持不變,即Fc=0.827。

1.3 待測信號相位對檢測結(jié)果影響

利用杜芬振子對微弱信號檢測時,設(shè)驅(qū)動力信號和待檢測信號的初始相位分別為φ和δ,其中-π<φ、δ<π。含有待測信號的杜芬系統(tǒng)為

[acos(t+φ)+n(t)]

(6)

式(6)中:δ為驅(qū)動力信號的初始相位;φ為待檢測信號的相位;a為待檢測信號幅值;n(t)為隨機(jī)噪聲。

令δ=0,引入新的幅值變量A(t),對式(6)右端進(jìn)行簡化得

A(t)=0.826cost+acos(t+φ)

cos(t+θ)

(7)

表1 杜芬振子的初始相位檢測范圍Table 1 Initial phase detection range of Duffing equation

由表1可知,當(dāng)驅(qū)動力信號的初始相位δ分別為0、90°、180°和-90°時,微弱待測信號被檢測出來的初始相位檢測窗口為(-60°,60°)、(30°,150°)、(120°,240°)和(-150°,-30°),這4個窗口覆蓋-180°～180°的整個搜索空間。也就是說,當(dāng)待檢測信號的初始相位φ為任意角度時,只要滿足幅值條件,4個杜芬振子構(gòu)成的杜芬陣列中至少有一個滿足相位檢測條件,使杜芬振子相圖發(fā)生變化,從而實(shí)現(xiàn)任意初始相位的待測信號檢測。因此,可以用驅(qū)動力信號初始相位δ分別為0、90°、180°和-90°時構(gòu)成的杜芬陣列對微弱信號S進(jìn)行檢測。

1.4 待測信號幅值的估計(jì)

當(dāng)杜芬檢測振子在大尺度周期狀態(tài)下,如果系統(tǒng)的總驅(qū)動力越大,杜芬振子的響應(yīng)越明顯,在相軌跡圖中表現(xiàn)為橫坐標(biāo)最大值xmax越大[14-15]。通過仿真分析發(fā)現(xiàn),當(dāng)杜芬振子的總驅(qū)動力由F1增加至F2時,響應(yīng)幅值由E1增加至E2,這說明杜芬振子的輸入總驅(qū)動力幅值與響應(yīng)幅值之間具有一一對應(yīng)關(guān)系。所以,根據(jù)總驅(qū)動力幅值與響應(yīng)幅值之間的對應(yīng)關(guān)系可以估算待測信號的幅值。

基于以上分析,利用杜芬振子對實(shí)際的工程信號S進(jìn)行檢測的杜芬陣列檢測模型為

(8)

式(8)中:S′=ηS;η為變換系數(shù);S′為待測信號S經(jīng)過線性幅度變換后得到的。

當(dāng)實(shí)際的工程信號作為待測信號導(dǎo)入杜芬檢測陣列時,待測信號的幅值要適當(dāng),幅值過大會使相圖軌跡變得雜亂無章,而幅值過小則不會對相圖產(chǎn)生影響。因此,為了使待測信號和杜芬振子相匹配,對待測信號S乘以變換系數(shù)η進(jìn)行線性幅度變換。

當(dāng)使用杜芬陣列對實(shí)際工程信號進(jìn)行檢測時,具體的檢測步驟如下。

(1)對不同疲勞損傷程度的試件進(jìn)行超聲非線性試驗(yàn),得到實(shí)測的超聲非線性輸出信號S。

(2)對實(shí)測的超聲非線性輸出信號進(jìn)行預(yù)處理,將待測信號乘以一個合適的變換系數(shù)η,得到幅值變換后的待測信號S′。

(3)確定杜芬陣列的參數(shù),令c=0.5、α=β=1、F0=0.826,初始值為(0,0),得到超聲非線性輸出信號的杜芬陣列檢測模型,并畫出未加入待測信號S的振子相圖。

(4)輸入待測信號到檢測模型,使用四階龍格-庫塔算法對模型進(jìn)行求解,得到輸入待測信號后的杜芬陣列相圖,并與步驟(3)中的相圖進(jìn)行比較,只要4個相圖中有其中一個由混沌狀態(tài)過渡至大尺度周期狀態(tài),則待測信號S就可以被檢測出來。

(5)利用相圖改變的Duffing振子,分析待測信號幅值和響應(yīng)幅值之間的關(guān)系,建立兩者之間的關(guān)系曲線,利用關(guān)系曲線對微弱待測信號的幅值進(jìn)行估算。

2 金屬試件疲勞損傷狀態(tài)的檢測

2.1 二次諧波信號的檢測

在超聲非線性技術(shù)中,高次諧波技術(shù)常用來研究金屬試件的非線性。由于金屬材料的早期疲勞損傷、微裂紋和材料性能退化等,超聲波在金屬材料內(nèi)部傳播時,波形發(fā)生畸變產(chǎn)生高次諧波,產(chǎn)生的高次諧波與材料的損傷狀態(tài)密切相關(guān),可利用高次諧波對材料的損傷狀態(tài)進(jìn)行表征。接收傳感器接收到的超聲非線性輸出信號包含表征材料非線性狀態(tài)的高次諧波信號,與激勵信號相比,高次諧波信號比較微弱,且湮沒在背景噪聲中。因此,利用杜芬方程的噪聲免疫和對微弱信號敏感的特性,對超聲非線性輸出信號中的二次諧波信號進(jìn)行檢測[16]。

當(dāng)激勵信號頻率為2.4 MHz,對疲勞壽命為40%的標(biāo)準(zhǔn)試件進(jìn)行超聲非線性試驗(yàn),采集接收傳感器的超聲非線性輸出信號,信號時域波形如圖1所示。

圖1 超聲非線性輸出信號的時域波形Fig.1 The time-domain waveform of ultrasonic nonlinear signal

由圖1可知,由于試件已經(jīng)發(fā)生疲勞損傷,頻率為2.4 MHz的超聲波發(fā)生畸變,產(chǎn)生二次諧波,即頻率為4.8 MHz的信號。研究表明4.8 MHz處的二次諧波與試件的疲勞損傷程度密切相關(guān)。當(dāng)使用杜芬方程對二次諧波信號進(jìn)行檢測時,待檢測信號頻率w0=2π×4.8=30.16 rad/μs,杜芬陣列模型為

(9)

當(dāng)待測信號S輸入杜芬陣列模型前,需要對超聲非線性輸出信號進(jìn)行變尺度變換。經(jīng)過仿真分析,變換系數(shù)η=0.2。將超聲非線性接收信號乘以0.2得到待檢測信號S′。將S′輸入杜芬陣列模型,使用四階龍格-庫塔算法求解等式(6),求解過程中設(shè)定計(jì)算步長h=0.004 μs,初始值為(0,0)。則對應(yīng)的杜芬陣列相圖如圖2所示 。

圖2 檢測二次諧波信號的杜芬陣列相圖Fig.2 Duffing array of second harmonic signal

由圖2可知,當(dāng)待檢測信號S′輸入杜芬陣列后,第2個杜芬陣子的相軌跡由混沌狀態(tài)變化為大尺度周期狀態(tài),另外3個均保持在混沌狀態(tài)。杜芬相圖的變化,說明待檢測信號中含有4.8 MHz的微弱信號,即超聲非線性輸出信號中的二次諧波信號能夠被檢測出來。從圖2(b)可知,xmax=1.679 1。

當(dāng)杜芬振子的總驅(qū)動力幅值F由0.830增加至1.025的過程中,得到一系列響應(yīng)幅值E,如圖3所示。

圖3 驅(qū)動力F和響應(yīng)幅值E的關(guān)系Fig.3 The relation between driving force F and response amplitude E

基于圖3的試驗(yàn)數(shù)據(jù),利用最小二乘法對曲線進(jìn)行擬合,得到二階最優(yōu)擬合曲線為

F=3.267A2-10.3A+8.899

(10)

在圖3(b)中,相圖最大橫坐標(biāo)xmax=1.697 1,即響應(yīng)幅值A(chǔ)=1.697 1 V。根據(jù)式(10)可得總驅(qū)動力F=0.828 3 V,而待檢測二次諧波信號的幅值為a=(F-F0)/λ=(0.828 3-0.826)/0.2=0.011 5 V。

2.2 隨機(jī)噪聲對檢測結(jié)果的影響

將待檢測信號加入一定信噪比的噪聲n(t),S′=ηS+n(t),當(dāng)信噪比SNR分別為20、0.5、-9.5和-16.5時,包含噪聲的待測信號輸入至第2個杜芬振子,4種信噪比下杜芬振子相圖如圖4所示。

觀察組總有效率93.10%（54/58），高于對照組的75.86%（44/58）（P＜0.05）。見表1。

圖4 含噪聲待測信號相圖Fig.4 Duffing phase of noisy detected signal

由圖4可知,當(dāng)不同信噪比的待測信號輸入杜芬檢測振子時,4個相圖變?yōu)榇蟪叨戎芷跔顟B(tài),說明超聲非線性輸出信號中含有4.8 MHz的二次諧波信號,即杜芬振子可以將湮沒在隨機(jī)噪聲下的二次諧波信號檢測出來。通過對比4個相圖可以發(fā)現(xiàn),隨著噪聲強(qiáng)度的增加,相圖的軌跡越來越粗糙,相軌跡的穩(wěn)定性變差,這是因?yàn)镈uffing振子系統(tǒng)對噪聲有一定的免疫能力,但是隨機(jī)噪聲的方差會影響相軌跡的粗糙程度。

3 結(jié)論

利用杜芬方程對超聲非線性輸出信號的二次諧波進(jìn)行檢測,得到如下結(jié)論。

(1)對常規(guī)杜芬振子進(jìn)行頻率轉(zhuǎn)換、分析待測信號和驅(qū)動力信號初始相位對檢測結(jié)果的影響、對待檢測信號進(jìn)行變尺度等操作,得到能檢測實(shí)際工程信號的杜芬陣列檢測模型。

(2)利用杜芬陣列對超聲非線性輸出信號的二次諧波信號進(jìn)行檢測,首先對超聲非線性輸出信號進(jìn)行變尺度變換,使杜芬陣列與超聲非線性輸出信號匹配;當(dāng)變尺度的超聲非線性輸出信號輸入杜芬陣列時,第二個杜芬振子相圖軌跡由混沌狀態(tài)過渡至大尺度周期狀態(tài),微弱的待檢測信號能夠被檢測出來。

(3)根據(jù)杜芬振子總驅(qū)動力幅值和響應(yīng)信號幅值之間的對應(yīng)關(guān)系,能夠有效估算出二次諧波信號的幅值。