劉克強(qiáng)

(青海高等職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共教學(xué)部,青海 海東 810799)

非正交斜齒輪的齒廓通常以點(diǎn)接觸嚙合,傳遞著交叉軸齒輪的傳動(dòng)動(dòng)力,具有較優(yōu)的傳動(dòng)性能和分扭效果,使得非正交斜齒輪普遍使用在汽車差動(dòng)機(jī)構(gòu)、直升機(jī)減速機(jī)、機(jī)器人結(jié)構(gòu)、輸送機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)等領(lǐng)域[1-2]。

國內(nèi)外學(xué)者對斜齒輪副的接觸特性開展了研究。Liu等[3]建立了精確的齒輪副嚙合模型,研究了工件夾持裝置誤差對端面滾齒準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合特性和齒面幾何形狀的影響。楊主希等[1]基于曲面嚙合傳動(dòng)特性,建立了非正交斜齒輪修形齒面模型,推導(dǎo)了接觸應(yīng)力解析方程,通過有限元軟件分析了斜齒輪接觸應(yīng)力,結(jié)果表明有限元仿真結(jié)果與所推導(dǎo)的接觸應(yīng)力結(jié)果具有較高的吻合性。李仕軒等[4]通過共軛齒面接觸軌跡建立了漸開線斜齒輪副的動(dòng)力學(xué)模型,利用數(shù)值分析法進(jìn)行了仿真模擬,研究了各參數(shù)對接觸特性的影響關(guān)系。馬登秋等[5]設(shè)計(jì)開發(fā)了圓弧齒線圓柱齒輪的結(jié)構(gòu),通過有限元比較分析了該結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)齒輪的傳動(dòng)特性,研究表明所設(shè)計(jì)的圓弧齒輪具有較優(yōu)的傳動(dòng)性能。朱冬文等[6]建立了軸線偏差的斜齒輪嚙合數(shù)學(xué)模型,該模型考慮了多齒接觸對的嚙合影響,分析了不同軸線偏差角度對齒輪接觸特性的影響規(guī)律。陳燕等[7]研究了不同載荷下變齒厚漸開線齒輪齒面接觸特性,結(jié)果表明軸交角和軸向偏移是影響傳動(dòng)副接觸狀態(tài)的重要因素,該結(jié)論為漸開線齒輪傳動(dòng)接觸分析提供了參考依據(jù)。

基于以上研究成果,本文提出了一種基于曲線接觸元件的齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)新理論,提出該設(shè)計(jì)理論的目的是提高交軸斜齒輪傳動(dòng)的承載能力和傳動(dòng)特性,通過建模和仿真的形式研究非正交齒輪副的接觸特性,為非正交齒輪副的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供理論支撐。

1 非正交斜齒輪的數(shù)學(xué)模型

本文建立的非正交斜齒輪模型如圖1所示,固定坐標(biāo)系為S(O-x,y,z)、Sp(Op-xp,yp,zp),活動(dòng)坐標(biāo)系為S1(O1-x1,y1,z1)、S2(O2-x2,y2,z2),變量ω(1)和ω(2)為角速度,φ1和φ2分別為小齒輪1和齒輪2的旋轉(zhuǎn)角度,Σ為兩軸的夾角,a為中心距,P為接觸點(diǎn)。

圖1 非正交斜齒輪空間模型

假設(shè)空間曲線Γ1:r1=x1(t)i1+y1(t)j1+z1(t)k1位于坐標(biāo)系S1,其中r1為坐標(biāo)系S1中接觸點(diǎn)的極坐標(biāo)矢量,由圖2中建立的齒輪副之間的關(guān)系,可以得出接觸點(diǎn)P處的相對速度為[8]:

圖2 齒輪副之間的空間關(guān)系

ai21sinφ1cosΣ]i1+[x1(1+i21cosΣ)+

z1i21sinφ1sinΣ-ai21cosφ1cosΣ]j1+i21sinΣ(x1cosφ1-

y1sinφ1-a)k1

(1)

從圖3可以看出,接觸點(diǎn)M處的法向量可以表示[9]為nn=unβ+vnγ,變量nβ和nγ分別表示主法向量和副法向量。

圖3 曲線三面體示意圖

空間曲線Γ2∶r2=x2(t)i2+y2(t)j2+z2(t)k2,其與空間曲線Γ1共軛,空間曲線Γ2的坐標(biāo)值可以用式(2)計(jì)算:

(2)

式中:x2、y2、z2分別為坐標(biāo)系S2中的x、y、z方向坐標(biāo)值,nnx1、nny1、nnz1分別為x、y、z方向的法矢量。

圖4 作用面的生成示意圖

(3)

由此可以將球體表面表示為rsi(ρicosφcosα,ρicosφsinα,ρisinφ),其中φ∈[-0.5π,0.5π],α∈[0,2π]。

同時(shí)根據(jù)齒輪頂面和齒根面設(shè)計(jì)了凸-凹型的齒廓,齒廓的嚙合模型如圖5所示。

圖5 凹凸齒廓的嚙合模型

2 非正交斜齒輪副齒廓方程

圓柱螺旋曲線位于小齒輪1上,表述為:

(4)

式中:x1、y1、z1為坐標(biāo)系S1中的x、y、z方向坐標(biāo)值,R為節(jié)圓半徑,θ為空間曲線參數(shù),p為螺旋參數(shù)。

式(5)為小齒輪的齒廓方程,式(6)為齒輪的齒廓方程:

(5)

(6)

根據(jù)表1中的設(shè)計(jì)參數(shù),利用MATLAB軟件計(jì)算出數(shù)據(jù)點(diǎn)結(jié)果。圖6所示為圓柱螺旋共軛曲線和15°角齒面嚙合的簡化模型。對齒廓嚙合運(yùn)動(dòng)進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬,齒輪副的嚙合過程如圖7所示。結(jié)果表明,齒輪副以固定傳動(dòng)比連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)。對于軸向,齒廓以點(diǎn)接觸嚙合,在齒輪副嚙合期間沒有嚙合干涉。

表1 非正交斜齒輪副基本參數(shù)

圖6 簡化的嚙合模型

圖7 嚙合過程的計(jì)算機(jī)模擬

3 非正交斜齒輪齒廓特性分析

3.1 根切條件

齒廓的根切現(xiàn)象一般是由于奇點(diǎn)的出現(xiàn)而發(fā)生的[11],對于小角度非正交斜齒輪副,由于齒數(shù)少,小齒輪容易發(fā)生根切。為此本文在研究根切條件后,假設(shè)接觸區(qū)域方程為:

(7)

(8)

式中:s為弧長參數(shù);Φ(t,φ,α)為包絡(luò)條件,Φ(t,φ,α)≡(rt,rφ,rα) = 0?？梢源_定曲面Σ1上的直線在曲面Σ2上產(chǎn)生奇點(diǎn),得到:

(9)

(10)

則式(10)存在一個(gè)確定的解,從而可以寫成:

(11)

從而得到管狀齒面的根切條件為:Δ1=0,Δ2=0,Δ3=0。

3.2 滑移率

假設(shè)具有原始曲線Γ1的主動(dòng)齒輪將運(yùn)動(dòng)傳遞給具有共軛曲線Γ2的從動(dòng)齒輪,它們在點(diǎn)K處接觸,如圖8所示。

圖8 齒廓的滑移示意圖

ΔS1和ΔS2分別表示Δt時(shí)刻共軛曲線Γ1和Γ2的滑移弧,在嚙合過程中趨于零。假設(shè)存在相對滑移,弧長MM1與弧長MM2不相等,ΔS1和ΔS2之間的差異稱為滑移弧。滑移系數(shù)為滑動(dòng)弧長度與嚙合區(qū)域內(nèi)對應(yīng)弧長度的比值[12]。因此,小軸角非正交斜齒輪副滑移率U1、U2的計(jì)算公式為:

(12)

其中:

(13)

根據(jù)表1中給定的設(shè)計(jì)參數(shù),在此基礎(chǔ)上計(jì)算新齒輪副的滑移比,結(jié)果如圖9(a)所示。齒輪副的滑移率僅在節(jié)點(diǎn)通過零后其正負(fù)號發(fā)生變化,當(dāng)兩側(cè)附近的接觸點(diǎn)開始嚙合時(shí),其正負(fù)號因滑移速度的方向不同而改變,最大絕對值出現(xiàn)在輪齒嚙合的齒根處。同時(shí)還計(jì)算了相應(yīng)的橫軸漸開線齒輪傳動(dòng)的滑移率,如圖9(b)所示。顯然,新型非正交齒輪副的滑移率小于漸開線齒輪傳動(dòng),這有助于提高傳動(dòng)性能。嚙合過程可以達(dá)到極限位置,理論上可以實(shí)現(xiàn)近似純滾動(dòng)接觸。

圖9 滑移率的計(jì)算

3.3 應(yīng)力分析

對齒廓的應(yīng)力分析可以反映新型齒輪傳動(dòng)的力學(xué)性能,共軛齒輪副有限元模型如圖10所示,利用ANSYS Workbench軟件對模型進(jìn)行分析。結(jié)合實(shí)際嚙合條件,采用Solid 185六面體單元離散齒輪副。將小齒輪和齒輪的齒廓分別定義為接觸面和目標(biāo)面,分別對應(yīng)于CONTA 173接觸單元和TARGE170單元。

圖10 非正交齒輪副的有限元模型

在接觸應(yīng)力分析過程采用赫茲模型[13],利用擴(kuò)展拉格朗日算法進(jìn)行求解,整個(gè)過程采用MPC184約束單元。模擬選用的材料為20CrMnTi鋼,泊松比為0.25,楊氏模量為205 GPa。對小齒輪施加200 N·m的轉(zhuǎn)矩值,新型齒輪副的分析結(jié)果如圖11所示,最大接觸應(yīng)力為1 266.5 MPa,發(fā)生在齒廓中部的接觸點(diǎn),應(yīng)力沿齒寬方向呈規(guī)則橢圓分布,分布區(qū)域有向齒根方向擴(kuò)展的趨勢。隨著接觸面積的增大,接觸應(yīng)力逐漸減小,小齒輪的最大Von-Mises應(yīng)力為793.69 MPa。

圖11 新型齒輪副的應(yīng)力分析結(jié)果

在相同設(shè)置下,以漸開線齒輪副為對比對象,其接觸狀態(tài)及有限元分析結(jié)果如圖12所示。最大接觸應(yīng)力為1 639 MPa,發(fā)生在嚙合位置,應(yīng)力沿接觸線分布。小齒輪的最大Von-Mises應(yīng)力為1 233.8 MPa?？梢钥闯鲂滦妄X輪副的接觸應(yīng)力明顯小于非正交漸開線齒輪傳動(dòng)的接觸應(yīng)力,表明新齒輪副具有良好的接觸特性。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

由于齒廓形狀的特殊性,本文采用銑削齒輪的方法來加工齒輪副。根據(jù)所建立的實(shí)體模型,可以實(shí)現(xiàn)球頭銑刀機(jī)床的運(yùn)動(dòng)過程仿真,實(shí)驗(yàn)過程中的五軸加工中心如圖13所示。根據(jù)球頭銑刀的快速移動(dòng)和進(jìn)給功能,工作軸和工作臺的旋轉(zhuǎn)功能,可以對齒輪副的曲面進(jìn)行調(diào)整,加工出的小齒輪和齒輪如圖14所示。

圖13 五軸加工中心

圖14 小齒輪和齒輪實(shí)物圖

對齒輪樣機(jī)進(jìn)行性能實(shí)驗(yàn),輸入和輸出轉(zhuǎn)矩由轉(zhuǎn)矩傳感器測量,轉(zhuǎn)速由變速電機(jī)控制,齒輪副由加載電機(jī)加載。在實(shí)驗(yàn)過程中,通過公式η=noTo/(niTi),可以得到齒輪樣機(jī)的傳動(dòng)效率,其中Ti和ni分別為輸入轉(zhuǎn)矩和輸入軸轉(zhuǎn)速,To和no分別為輸出轉(zhuǎn)矩和輸出軸轉(zhuǎn)速。設(shè)置速度分別為200、400、600、800和1 000 r/min,施加在齒廓上的載荷分別為200、300、400、500和600 N·m。

給定工況下傳動(dòng)效率如圖15所示。由圖3可知,提高轉(zhuǎn)速和保持轉(zhuǎn)矩恒定能夠提高傳動(dòng)效率。同樣地,增加扭矩和保持轉(zhuǎn)速恒定也能提高傳動(dòng)效率。在負(fù)載為600 N·m時(shí),最高效率可達(dá)95.9%,齒輪樣機(jī)整體效率為91.2% ～ 95.9%。

圖15 不同轉(zhuǎn)速下新型齒輪副的傳動(dòng)效率對比

5 結(jié)束語

本文提出了一種基于曲線接觸元件的齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)新理論,通過給定的空間共軛曲線建立了齒輪傳動(dòng)的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)成形齒廓的奇異條件以及根切問題,推導(dǎo)出成形齒廓的一般方程。根據(jù)所得到的共軛曲線,給出了齒廓滑移率的計(jì)算方法。在給定的參數(shù)下,新型齒輪副的滑動(dòng)比,小于交軸漸開線齒輪傳動(dòng)的滑動(dòng)比,有助于提高傳動(dòng)性能。新型齒輪副的接觸應(yīng)力小于交軸漸開線齒輪傳動(dòng),表明其具有良好的接觸能力和強(qiáng)度,驗(yàn)證了所提非正交斜齒輪副模型的合理性。