王遠征
(廣東省深圳市高級中學南校區(qū))
數(shù)與形是數(shù)學研究對象的兩個方面,高校強基測試題和數(shù)學競賽題十分重視對數(shù)形結合思想方法在解題中靈活運用能力的考查.求函數(shù)的最值(或值域)問題是強基??荚囶}和數(shù)學競賽試題中的熱點,這類試題設計新穎別致、巧妙靈活,其解題方法豐富多彩、靈活多變,富有挑戰(zhàn)性.對解題者的觀察能力、聯(lián)想能力、化歸意識、靈活運用數(shù)學思想解決問題能力的考查十分到位.本文結合例題介紹數(shù)形結合思想在解答求函數(shù)最值問題中的應用,以期讀者體會數(shù)形結合思想在解題中發(fā)揮的化難為易、化繁為簡、化抽象為具體的作用.
當待求目標式中出現(xiàn)了|ax+by+c|的形式時,我們可以構造點P(x,y)到直線l:ax+by+c=0的距離公式來求最值.
將已知條件和待求式適當?shù)睾愕茸冃?根據直線與圓有公共點時,圓心到直線的距離不大于圓的半徑來列不等式求最值.
它表示以a,b為變量的直線方程,以a,b為變量可以構造圓a2+b2=r2.當圓與直線有公共點時,由直線與圓的位置關系得
數(shù)形結合思想是常用的解題技巧,本文中的例題主要介紹了化“數(shù)”為“形”的解題策略和方法,解題時要求解題者善于觀察式子的結構特征,進而產生聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)和揭示隱含在式子背后的幾何意義,再借助幾何圖形的直觀性解題,但解題過程中仍然需要利用代數(shù)知識進行嚴格論證和計算.值得注意的是,在解題中數(shù)形結合思想是探究解題思路時使用的,不可以利用圖形的直觀性代替計算和推理論證,畫函數(shù)圖像時,應該注意函數(shù)自變量的取值范圍.
(完)