杜曉霞　王勇

平面向量作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它不僅具有強(qiáng)大的工具性，還具有很強(qiáng)的交匯性.高考命題專家抓住向量的這些特性，將它與平面幾何、三角、函數(shù)、邏輯用語、解析幾何、不等式、立體幾何等重要內(nèi)容交匯，命制了眾多好題，旨在考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).下面以近兩年高考真題為例，探究和品味平面向量的“交匯性”.

1.與平面幾何交匯

例1 （2022年浙江卷第17題）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形A1A2…A8的邊A1A2上，則PA12+PA22+…+PA82的取值范圍是.

解析：如圖1，連接OP，OA2，OA6，則PA22+PA62=（OA2－OP）2+（OA6－OP）2，已知OA2與OA6反向共線，所以PA22+PA62=OA22－2OA2·OP+OP2+OA62－2OA6·OP+OP2=OA22－2OA2·OP+OP2+OA62+2OA2·OP+OP2=2OP2+2，同理得PA12+PA52=2OP2+2，PA42+PA82=2OP2+2，PA32+PA72=2OP2+2，所以PA12+PA22+…+PA82=8OP2+8，在ΔOA1A2中，易知1·cosπ/8≤OP≤1，注意到cosπ/4=2cos2π/8－1，所以cos2π/8=2+2/4，所以12+22≤8OP2+8≤16，所以PA12+PA22+…+PA82的取值范圍為12+22，16.

點(diǎn)評(píng)：本題以單位圓及其內(nèi)接正八邊形為載體，考查正八邊形的性質(zhì)、平面向量的加法運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合思想，體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

點(diǎn)評(píng)：本題是用平面向量“包裝”的立體幾何多選題，對(duì)平面向量和立體幾何的相關(guān)知識(shí)考查充分，對(duì)考生的學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力要求極高，是一道難得的創(chuàng)新題.