戈敏

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是指在理解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生帶著自己的想法，圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，積極主動參與，并將它們?nèi)谌朐姓J(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)而將已有的知識遷移到新的情境中，做出決策和解決問題的學(xué)習(xí).它是觸及數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，探究數(shù)學(xué)知識間相互關(guān)聯(lián)，在理解的基礎(chǔ)上更多關(guān)注分析、評價與創(chuàng)造層面的高階思維的學(xué)習(xí)［1］.筆者以在全市研討活動中開設(shè)的公開課“二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用”為例，闡述基于促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)實(shí)踐與思考.

1 教材解讀

“二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用”是蘇教版《高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊》第7章第4節(jié)第二課時的內(nèi)容.本課時內(nèi)容蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)規(guī)律，對本課時內(nèi)容的深度學(xué)習(xí)有利于增強(qiáng)學(xué)生的愛國情感和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心；四條性質(zhì)的歸納過程可以促進(jìn)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括及分析解決問題能力的發(fā)展；其中性質(zhì)（3）和性質(zhì)（4）的證明因需要扎實(shí)的學(xué)識基礎(chǔ)和敏捷的思辨能力故為本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)，同時這也是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的良好素材.

2 教學(xué)目標(biāo)

（1）經(jīng)歷從特殊到一般，歸納猜想、合情推理得到二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)符號語言的簡潔美，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

（2）通過對二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的嚴(yán)格求證，培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力、合作能力、創(chuàng)新意識和理性精神，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

3 教學(xué)過程

3.1 問題驅(qū)動，激發(fā)興趣

問題1 如何探究二項(xiàng)式系數(shù)C0n，C1n，C2n，…，Cnn具有的性質(zhì)？

生1：由特殊到一般.

設(shè)計(jì)意圖：在對數(shù)學(xué)新知的探究過程中，若直接得到“通性通法”較困難，便可從特例出發(fā)，觀察出具體規(guī)律，進(jìn)而歸納得到一般性的結(jié)論.從特殊到一般，由具體到抽象，既是重要的數(shù)學(xué)思想與核心素養(yǎng)，也是學(xué)生獲得四基、提升四能的基本途徑之一.

3.2 深度探究，提出猜想

問題2 請進(jìn)行特殊化取值，觀察二項(xiàng)式系數(shù)的特點(diǎn)，你能得出哪些一般性結(jié)論？

生2：當(dāng)n依次取0，1，2，3，4，5，6時，得到一系列特殊的二項(xiàng)式系數(shù)，計(jì)算出具體數(shù)值，觀察發(fā)現(xiàn)每一行的二項(xiàng)式系數(shù)都是對稱的.

生3：每一行的二項(xiàng)式系數(shù)都是兩端向中間逐漸增大，中間的是最大值.

生4：當(dāng)n為偶數(shù)時，二項(xiàng)展開式有奇數(shù)項(xiàng)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為Cn/2n；當(dāng)n為奇數(shù)時，二項(xiàng)展開式有偶數(shù)項(xiàng)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為Cn-1/2n＝Cn+1/2n.

師生互動：大家橫向觀察的非常全面，還有其他觀察角度嗎？還能得出哪些結(jié)論？

生5：縱向觀察，有1，2，3，4，5，6，…是等差數(shù)列.

生6：為了便于縱向觀察，可以對數(shù)據(jù)做“居中處理”，得到了“楊輝三角”.觀察發(fā)現(xiàn)除了兩端的1以外，每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和.

設(shè)計(jì)意圖：在上一節(jié)課“二項(xiàng)式定理”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷過從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，此處，應(yīng)充分挖掘?qū)W生的智慧潛能，鼓勵學(xué)生深度參與、深度探究，暢所欲言.依據(jù)學(xué)情，學(xué)生對數(shù)據(jù)的處理通常采用“左對齊”和橫向觀察法，在此基礎(chǔ)上，通過深度思考和合作探究，實(shí)現(xiàn)向?qū)?shù)據(jù)做“居中處理”和縱向觀察法的最近發(fā)展區(qū)邁進(jìn)，有利于強(qiáng)化學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會思考的思維品質(zhì)的發(fā)展.通過插入視頻介紹“楊輝三角”相關(guān)數(shù)學(xué)文化發(fā)展史，使學(xué)生增強(qiáng)愛國情感和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

問題3 你能把得出的結(jié)論用數(shù)學(xué)符號語言簡潔的表達(dá)出來嗎？

生7：Cmn＝Cn-mn.

生8：Cm-1n＋Cmn＝Cmn+1.

生9：當(dāng)rCrn；當(dāng)r>n-1/2時，有Cr+1n

生10：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)符號語言是數(shù)學(xué)思維的外顯形式，它反映了數(shù)學(xué)思維的特征，簡化了數(shù)學(xué)思維的過程，是數(shù)學(xué)思維的載體［2］.它相較于文字語言更具形式化、公理化、抽象化、簡約化的特征.把數(shù)學(xué)敘述語言翻譯成數(shù)學(xué)符號語言的過程，既是對知識的生成深入理解、深度思維并深度加工概括的過程，也是把握事物本質(zhì)、發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的過程，有利于學(xué)生積累從具體到抽象的實(shí)踐活動經(jīng)驗(yàn)，同時也為下一步對所獲猜想正確性進(jìn)行論證做好鋪墊.

3.3 科學(xué)求證，建構(gòu)新知

問題4 由“結(jié)論”上升到“性質(zhì)”，需要給出科學(xué)的論證過程.上面的結(jié)論1和結(jié)論2在組合數(shù)的性質(zhì)學(xué)習(xí)過程中已經(jīng)實(shí)現(xiàn)證明，你能證明結(jié)論3和結(jié)論4嗎？

生11：探究單調(diào)性，常用定義法和導(dǎo)數(shù)法.因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)為C0n，C1n，C2n，…，Crn，…，Cnn，其中r＝0，1，2，…，n不是連續(xù)區(qū)間，所以應(yīng)該用定義法去求單調(diào)性.

生12：因?yàn)镃r+1n－Crn＝n！/（r+1）?。╪-r-1）！－n！/r?。╪-r）！＝n?。╪-r）-n?。╮+1）/（r+1）?。╪-r）?。絥?。╪-2r-1）/（r+1）?。╪-r）！，所以當(dāng)rCrn；當(dāng)r>n-1/2時，有Cr+1n

生13：可以構(gòu)造函數(shù)f（r）＝Crn，r＝0，1，2，…，n來解決問題，函數(shù)單調(diào)性的推證過程與上面一致.

師：想得出和的性質(zhì)，需去尋找源頭，源頭為二項(xiàng)式定理：C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Cn-2na2bn－2＋Cn-1nabn－1＋Cnnbn＝（a＋b）n；想把上式變?yōu)镃0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n，需消除掉其中的a，b，如何消除？

生14：賦值，令a=b=1.

設(shè)計(jì)意圖：性質(zhì)的證明是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，難點(diǎn)的突破需要學(xué)生扎實(shí)的知識儲備、良好的心理素質(zhì)和善于合作的協(xié)作能力，難點(diǎn)的突破過程有利于學(xué)生關(guān)鍵能力的培養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升，有利于學(xué)生理性思維品質(zhì)的發(fā)展和嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神的生長.在不久前結(jié)束的數(shù)列專題中“數(shù)列的單調(diào)性研究”帶來的正向遷移作用下，學(xué)生對于二項(xiàng)式系數(shù)的單調(diào)性研究能夠獨(dú)立突破.和性質(zhì)的探究可借助多媒體技術(shù)，利用動畫技術(shù)實(shí)現(xiàn)二項(xiàng)式定理中參數(shù)向具體數(shù)值的變化，助力學(xué)生提煉出“賦值法”.

3.4 深度體驗(yàn)，提升素養(yǎng)

例題 證明：在（a＋b）n的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.

練習(xí) 已知在（a＋b）n的展開式中：

（1）第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則n=__________；

（2）只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n=__________.

設(shè)計(jì)意圖：通過有針對性的習(xí)題訓(xùn)練，促使學(xué)生對于剛剛突破的重難點(diǎn)知識再度進(jìn)行梳理鞏固，促使四基落地生根，四能持續(xù)發(fā)展.通過練習(xí)，也促使學(xué)生形成規(guī)范化、嚴(yán)謹(jǐn)化的答題習(xí)慣，體悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)用價值，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

4 教學(xué)思考

4.1 身臨其境——深度學(xué)習(xí)是以學(xué)生親歷知識為導(dǎo)入

著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生在他的《張奠宙數(shù)學(xué)教育隨想錄》中說道：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，經(jīng)過由薄到厚和由厚到薄的過程，對所學(xué)的東西做到懂，徹底懂，經(jīng)過消化的懂，我們的基礎(chǔ)就算是真正打好了”.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的第一步，是張先生所言的“懂”，是在親歷知識的發(fā)現(xiàn)、發(fā)生、發(fā)展過程中形成的對知識導(dǎo)入的必要性的深入理解，同時這也是學(xué)生思辨能力和創(chuàng)造能力培養(yǎng)的有效途徑.二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的探究過程，既是分析處理多組數(shù)據(jù)、多角度歸納得出結(jié)論、把結(jié)論轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言的過程，也是發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)、培養(yǎng)學(xué)生的合作能力的過程.

4.2 漸入佳境——深度學(xué)習(xí)是以學(xué)生深度參與為主體

深度學(xué)習(xí)是學(xué)生感知覺、思維、情感、意志、價值觀全面參與的、全身心投入的活動.［3］在本課時的課堂教學(xué)中，學(xué)生帶著自己的想法，圍繞性質(zhì)證明這一具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，積極主動參與，深入思考，嘗試用定義法和賦值法解決問題，最終用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言給出科學(xué)論證，從而將感性認(rèn)識上升到了理性思維.性質(zhì)證明解決之后能夠?qū)⑺鼈內(nèi)谌朐姓J(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)而將新學(xué)的知識與方法遷移到新的問題情境之中，解決新問題.這樣的深度學(xué)習(xí)過程既能助力學(xué)生的四基四能真正落地生根，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)信心.

4.3 永無止境——深度學(xué)習(xí)是以學(xué)生終身發(fā)展為目標(biāo)

深度學(xué)習(xí)既要“深”下去，也要“遠(yuǎn)”開來.具體地說，學(xué)生通過深度學(xué)習(xí)獲得的求真的品質(zhì)、求實(shí)的態(tài)度、充盈的精神文化和擅于思考與合作的習(xí)慣比知識本身更能促進(jìn)學(xué)生全面地可持續(xù)地發(fā)展，這些高級素養(yǎng)應(yīng)是教與學(xué)的核心，它會在學(xué)生走出校園之后引導(dǎo)學(xué)生終身學(xué)習(xí)，促使學(xué)生成為能夠創(chuàng)造未來美好生活的社會人.也如史寧中先生所言：數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是，一個人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之后，即便這個人未來從事的工作和數(shù)學(xué)無關(guān)，也應(yīng)當(dāng)會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)思維思考世界、會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.

參考文獻(xiàn)

［1］陳學(xué)軍，金鵬.基于深度學(xué)習(xí)的深度教學(xué)——以“橢圓的幾何性質(zhì)”為例［J］.中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2018（4）：27-31.

［2］周宇劍.促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展的有效途徑：數(shù)學(xué)符號語言教學(xué)［J］.湖南師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)報(bào)，2008（5）：99.

［3］劉月霞，郭華.深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2018：31.