田富德

不等式恒成立問題一直是高考、各類省市質(zhì)檢的熱點(diǎn).解決此類問題，最終均轉(zhuǎn)化函數(shù)的最值問題，而函數(shù)導(dǎo)數(shù)是求解函數(shù)最值的重要方法.為了增加試題靈活性和簡潔性，ex與lnx備受命題者的青睞.近幾年，ex與lnx同時出現(xiàn)的題也如雨后春筍，直接構(gòu)造函數(shù)求解往往比較復(fù)雜甚至不可解，利用同構(gòu)策略結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性大大減少了運(yùn)算量，這也讓廣大師生把同構(gòu)研究得更透徹.

1 同構(gòu)思想的含義

導(dǎo)數(shù)問題中經(jīng)常出現(xiàn)含參等式或不等式，很大一部分題是命題者利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出來的，如果我們能找到這個函數(shù)模型，無疑大大加快解決問題的速度．即通過變形，使式子左右兩邊結(jié)構(gòu)形式完全相同，找到不等式兩邊對應(yīng)的同一函數(shù)模型，這就是同構(gòu)法．例如：若F（x）≥0能等價變形為fg（x）≥fh（x），然后利用f（x）的單調(diào)性，如遞增，則轉(zhuǎn)化為g（x）≥h（x），簡化式子，事半功倍．同構(gòu)思想的本質(zhì)是借助于函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)對條件進(jìn)行等價變換.

在例7中，滿足了變量起點(diǎn)處x=0時，內(nèi)層變量相等，即“2x=x”，但利用錯誤性質(zhì)仍不能得到正確結(jié)果.對比例7與前述例題，重大區(qū)別是，在參數(shù)變化中，例7的函數(shù)可能有3個單調(diào)區(qū)間，而例1至例6的函數(shù)均至多兩個單調(diào)區(qū)間，盡管有的函數(shù)求導(dǎo)復(fù)雜，但單調(diào)區(qū)間并不多.在例1至例5中，恒成立區(qū)間起點(diǎn)處內(nèi)層變量相等保證了在起點(diǎn)處附近函數(shù)只能單調(diào)遞增，這樣排除了先減后增的情況，先增后減又顯然違備條件，因此在同構(gòu)時，內(nèi)層函數(shù)至多兩個單調(diào)區(qū)間且區(qū)間起點(diǎn)處內(nèi)層變量相等，錯解可以得到正確的結(jié)果.但當(dāng)內(nèi)層函數(shù)可能3個或更多個區(qū)間時，錯解就幾乎不可能得到正確的結(jié)果了.

解題研究是中學(xué)數(shù)學(xué)一線教師及教研人員必做的功課，只能深刻理解試題背景蘊(yùn)含的本質(zhì)，才能站在至高點(diǎn)上引導(dǎo)學(xué)生解題，函數(shù)題海博大精深，本文旨在拋磚引玉，讓更多的老師把此類問題研究的更加透徹，相互學(xué)習(xí).