鄒勇泉　袁小強(qiáng)

數(shù)學(xué)概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中處于核心地位，概念學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)探究的過(guò)程.近期筆者有幸參加了江蘇省第十七屆“藍(lán)天杯”課堂教學(xué)展評(píng)課，展示了一節(jié)“平均變化率”教學(xué)課，授課對(duì)象是普通高中高二學(xué)生，本文結(jié)合蘇教版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》選修（2-2）第一章“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”第一課時(shí)“平均變化率”的教學(xué)設(shè)計(jì)談?wù)勱P(guān)注知識(shí)生成，滲透數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生構(gòu)建探究一般數(shù)學(xué)概念的方法.

本課時(shí)的內(nèi)容是平均變化率，變化率包括平均變化率和瞬時(shí)變化率，平均變化率是研究瞬時(shí)變化率和導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)，經(jīng)歷位移的變化、速度的變化、曲線的上升與下降等具體想象，抽象出研究函數(shù)的改變量和變化率等數(shù)學(xué)理論.通過(guò)實(shí)際背景和應(yīng)用實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，從而認(rèn)識(shí)和理解導(dǎo)數(shù)的概念和本質(zhì).

一、課堂教學(xué)實(shí)錄

1.創(chuàng)設(shè)情境，問(wèn)題導(dǎo)入

世界充滿著變化，有些變化幾乎不被人們所察覺(jué)，而有些變化卻讓人們發(fā)出感嘆與驚呼.

情境1 播放歌曲《可可托海的牧羊人》，《Mojito》.感受這兩首春晚熱門歌曲旋律節(jié)奏有何不同？

（初步感受節(jié)奏變化不一樣，第一首節(jié)奏變化慢，第二首節(jié)奏變化快）

情境2 某市4月20日最高氣溫為33.4℃，而4月19日和4月18日的最高氣溫分別為24.4℃和18.6℃，短短兩天時(shí)間，氣溫陡增14.8℃，悶熱中的人們無(wú)不感嘆：“天氣熱得太快了！”

該市3月18日到4月18日的日最高氣溫變化曲線，如圖1：

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)圖片、音樂(lè)、文字、表格、圖象展示，讓學(xué)生感受到生活中存在大量“變化快慢的量”，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的美育價(jià)值.

2.新課探究，學(xué)生活動(dòng)

問(wèn)題1 你能說(shuō)出圖1中A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)所表示意義嗎？

問(wèn)題2 你可以分別計(jì)算AB、BC段溫差嗎？可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言解釋一下“天氣熱得太快了”嗎？（從數(shù)與形兩方面）

小結(jié)：氣溫差不能反映氣溫變化的快慢程度.

問(wèn)題3 如何“量化”（數(shù)學(xué)化）曲線AB、BC的陡峭程度呢？（小組合作討論）

生：不好直接研究曲線AB、BC的陡峭程度，只能“大致”研究.

追問(wèn)：怎么“大致”研究呢？

生：只能研究線段AB、BC的陡峭程度.

追問(wèn)：如圖2，如何研究線段AB、BC的陡峭程度呢？我們前面研究過(guò)如何刻畫線段或者直線的陡峭程度嗎？

生：斜率.連結(jié)AB兩點(diǎn)的直線斜率為kAB=18.6－3.5/32－1=151/310；連結(jié)BC兩點(diǎn)的直線斜率為kBC=33.4－18.6/34－32=7.4.

小結(jié)：33.4－18.6/34－32=7.4就表示時(shí)間在“第1天到第32天”這段時(shí)間內(nèi)氣溫的平均變化率.

問(wèn)題4 你能用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)一下：曲線上升的陡峭程度嗎？（從數(shù)與形兩方面）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題串的設(shè)置，在自主探究、小組合作、師生互動(dòng)中， 抓住學(xué)生有價(jià)值的知識(shí)生成，展開(kāi)教學(xué). 通過(guò)問(wèn)題2引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，通過(guò)討論，讓學(xué)生得到結(jié)論：氣溫差不能反映氣溫變化的快慢程度. 通過(guò)問(wèn)題3的討論，找出研究“陡峭程度”的數(shù)學(xué)方法，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)世界，為得出函數(shù)平均變化率概念提供了案例基礎(chǔ).

3.數(shù)學(xué)建構(gòu)，形成概念

我們通過(guò)分析氣溫的變化的圖象，研究了氣溫的變化情況，思考：

問(wèn)題5 已知函數(shù)y=f（x），從x1到x2的平均變化率如何計(jì)算？由此，你能總結(jié)出求函數(shù)平均變化率的一般步驟嗎？

一般地，函數(shù)f（x）在區(qū)間［x1，x2］上的平均變化率為f（x2）－f（x1）/x2－x1.

問(wèn)題6 函數(shù)平均變化率的幾何意義是什么？

如圖3，平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線的陡峭程度是平均變化率的“視覺(jué)化”. 用平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”，但應(yīng)注意當(dāng)x2－x1很小時(shí)，這種量化便由“粗糙”逼近“精確”.

設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)例探究抽象出一般性函數(shù)問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)題5抽象概括出函數(shù)平均變化率的一般定義，問(wèn)題6通過(guò)分析函數(shù)和圖象兩個(gè)角度理解平均變化率的意義.

4.數(shù)學(xué)運(yùn)用，深化概念

課堂練習(xí)1：某嬰兒從出生到第12個(gè)月的體重變化如圖5所示，試分別計(jì)算從出生到第3個(gè)月與第6個(gè)月到第12個(gè)月該嬰兒體重的平均變化率，由此你能得到什么結(jié)論？

例1 如圖6，水經(jīng)過(guò)虹吸管從容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的體積V（t）=5e－0.1t（單位：cm3），試計(jì)算第一個(gè)10s內(nèi)V的平均變化率.

課堂練習(xí)2：已知函數(shù)f（x）=x2，分別計(jì)算函數(shù)f（x）在區(qū)間［1，3］，［1，2］，［1，1.1］，［1，1.001］上的平均變化率.

例2 已知函數(shù)f（x）=2x+1，g（x）=－2x，分別計(jì)算函數(shù)f（x）及g（x）在區(qū)間［－3，－1］，［0，5］上的平均變化率.

思考：從上例中，你能發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)y=kx+b在區(qū)間［m，n］上的平均變化率有什么特點(diǎn)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)1和練習(xí)2是函數(shù)平均變化率的簡(jiǎn)單應(yīng)用，檢驗(yàn)學(xué)生在不同情境中對(duì)平均變化率的理解，例1通過(guò)在新情境下，幫助學(xué)生理解平均變化率的實(shí)際意義，例2和思考，通過(guò)由特殊到一般的數(shù)學(xué)歸納的思想方法，從而進(jìn)一步幫助學(xué)生理解平均變化率的幾何意義.

5.課堂小結(jié)，總結(jié)提升

本節(jié)課你學(xué)到了什么？你可以從基本知識(shí)，基本技能，基本數(shù)學(xué)思想方法等不同的角度談?wù)?

設(shè)計(jì)意圖： 關(guān)注學(xué)生在課堂中的學(xué)習(xí)體驗(yàn)中學(xué)到了哪些，讓學(xué)生從基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)過(guò)程中有所收獲，有所得，可以從基本知識(shí)，基本技能，基本數(shù)學(xué)思想方法等不同的角度談?wù)勛约旱氖斋@.

二、教學(xué)思考

1.問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，促進(jìn)概念生成

數(shù)學(xué)是各類科學(xué)中最抽象的科學(xué)，張奠宙教授提出：知識(shí)的基本形態(tài)分為知識(shí)的科學(xué)形態(tài)和知識(shí)的教育形態(tài)，也就是知識(shí)的發(fā)生形式和知識(shí)的呈現(xiàn)形式. 問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，因此教學(xué)中需要把知識(shí)發(fā)生形式的過(guò)程轉(zhuǎn)化為一系列帶有探究性的問(wèn)題，使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，使概念學(xué)習(xí)變?yōu)閷W(xué)生內(nèi)在需求. 同時(shí)問(wèn)題的設(shè)計(jì)要充分了解學(xué)生的認(rèn)知水平和心理發(fā)展特點(diǎn)，注意選擇新穎有趣的活動(dòng)作為刺激模式，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)觀察、思考、歸納、總結(jié)，積極開(kāi)展探究活動(dòng). 通過(guò)情境1兩首不同的歌曲刺激學(xué)生思考它們的不同屬性，情境2通過(guò)“溫度變化曲線圖”感受氣溫變化的快慢，教師適時(shí)提出一系列的探究問(wèn)題，讓學(xué)生借助這些“腳手架”討論如何研究變量變化的快慢，再結(jié)合前面所學(xué)的直線斜率相關(guān)知識(shí)形成“平均變化率”的概念.

2.五育并舉，自然融入課堂

良好的審美素養(yǎng)影響人對(duì)社會(huì)、對(duì)他人、對(duì)事物積極的人生態(tài)度，同時(shí)良好的審美素養(yǎng)對(duì)培養(yǎng)人的創(chuàng)造能力也十分重要. 開(kāi)頭過(guò)山車的圖片，情境1的音樂(lè)設(shè)置，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光度欣賞美，讓學(xué)生開(kāi)闊視野，感悟?qū)嶋H中的美，數(shù)學(xué)中的美，激發(fā)學(xué)生培養(yǎng)藝術(shù)素養(yǎng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，從而讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光欣賞世界的美，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界的美，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界的美.

3.數(shù)形結(jié)合，滲透數(shù)學(xué)思想

認(rèn)知心理學(xué)家羅斯認(rèn)為，記憶中的概念是以這些概念的具體實(shí)例來(lái)表示的，而不是以某種抽象的規(guī)律或一系列相關(guān)特征來(lái)表示的. 本課的實(shí)例“氣溫變化曲線圖”在學(xué)生的知識(shí)形成過(guò)程中起著重要的作用，“氣溫變化曲線圖”也就是學(xué)生 “平均變化率”的意象表征或心理表征，于是學(xué)生在生成“平均變化率”概念過(guò)程中，自然滲透了數(shù)學(xué)結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等重要的數(shù)學(xué)思想，以形解數(shù)，以數(shù)助數(shù)，形成研究數(shù)學(xué)問(wèn)題可以從數(shù)形兩個(gè)角度尋求兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，使得兩者在認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中共存，以后在適當(dāng)時(shí)機(jī)發(fā)揮重要的作用，在概念形成過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］教育部考試中心.以評(píng)價(jià)體系引領(lǐng)內(nèi)容改革 以科學(xué)情境考查關(guān)鍵能力［J］.中國(guó)考試，2020（8）.

［3］涂榮豹，王光明，寧連華.新編數(shù)學(xué)教學(xué)論［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2006.