周建新，謝志偉

（華北理工大學電氣工程學院，河北唐山 063210）

1 引言

元啟發(fā)式算法是一種基于所認識的自然現(xiàn)象或過程啟迪而模擬求解優(yōu)化問題的新型智能算法，如蟻群算法（ACO）［1］、人工蜂群算法（ABC）［2］等。狼群算法（WPA）［3］是一種提出的新型群體智能優(yōu)化算法，該算法具有并行性、全局收斂性與魯棒性，但存在收斂慢、易陷局部最優(yōu)等問題。

針對此類問題，眾學者提出各自的改進與應用。文獻［4］提出了基于高斯擾動和混沌初始化的狼群算法。文獻［5］提出將文化基因融入狼群算法并應用于路徑問題。文獻［6］借鑒量子編碼形式提出了量子狼群算法。文獻［7］以自適應步長增強搜索靈活性與萊維飛行策略擴大后期搜索范圍而增強其全局搜索能力。盡管大量研究對WPA的性能有一定改善，但仍存在收斂速度慢、精度不高、易陷局部最優(yōu)以及大多改進算法復雜度過高，運行速度較慢等問題。對于狼群算法在收斂速度、尋優(yōu)精度與易陷局部最優(yōu)方面的缺欠。這里將天牛須搜索算法（BAS）［8］中天牛以單一個體進行搜索改進為以天牛群體進行搜索，并增加自適應變步長與天牛兩須相關聯(lián)，再將改進后的天牛須搜索策略引入WPA的游走行為中。天牛群的每一個體皆具有簡易運算與快速收斂的能力，不僅能夠優(yōu)化WPA的收斂速度與精度，還能減少局部最優(yōu)的情況發(fā)生。

2 狼群算法

狼群算法起源于對狼群的捕食行為與分配獵物方式的研究而開發(fā)形成的新式群體智能算法［3］。WPA主要由游走、召喚、圍攻三種行為與更新機制組成。

2.1 游走行為

探狼感知獵物氣味，并沿各方向趨近于獵物，該行為可視為WPA的全局開發(fā)能力。

式中：xlid—探狼的空間位置；

—游走步長；

L—選取的探索方向個數(shù)；

l—第i匹探狼在第l個方向探索前進。

2.2 召喚行為

頭狼召喚猛狼向當前頭狼位置移動，該行為展現(xiàn)出狼群的信息交互共享機制。

式中：d—猛狼與頭狼間的判定距離；p—第p個待尋優(yōu)變量；ρ—距離判定因子。

2.3 圍攻行為

猛狼聯(lián)合探狼緊密圍捕以求將其獵獲，該行為可視為WPA的局部搜索能力。

式中：r—［?1，1］之間的隨機數(shù)；

—攻擊步長；

—獵物的空間位置。

式中：S—步長因子。

一般來說，S為［n/(2 ×β)，n β］之間的隨機整數(shù)，其中，為群體更新比例因子。

3 基于改進策略的狼群算法

3.1 天牛須搜索算法

天牛須搜索算法是基于天牛依賴其兩須確定搜索方向直至尋得食物的新型智能算法［8］。天牛須搜索算法歸屬單體智能算法，具有運算快、可跳出局部最優(yōu)的優(yōu)點［9］。BAS步驟為：

（1）向量歸一化

式中：k—空間維度；rand（k，1）—隨機產(chǎn)生的k維隨機向量。

（2）左右須及其適應度更新

式中：d（t）—天牛第t次迭代時兩須的距離；

f(?)—兩須的適應度值；r=2。

（3）天牛位置更新

式中：δ—步長因子。

（4）判斷更新后的適應度值是否優(yōu)于前次迭代的適應度值，是則更新天牛位置，否則回轉步驟（2）當?shù)竭_迭代次數(shù)后輸出最優(yōu)值。

3.2 改進狼群算法的結合機制

針對天牛須搜索策略步長因子過小會導致前期搜索速度過慢，過大則導致陷入局部最優(yōu)的困境，可將搜索距離d與步長δ用數(shù)學模型相關聯(lián)，使步長可匹配維數(shù)增長的適應度函數(shù)。

式中：c1、c2—需要調(diào)整的常數(shù)。

以式（11）、式（12）取代式（9），采用搜索距離與步長關聯(lián)的變步長方式更新天牛位置以期望前期具有較快的尋優(yōu)速度同時還可以保證后期能夠擁有更佳的尋優(yōu)精度。

BAS 更注重于過程搜索，而WPA 更關注精細搜索。對于WPA來說，其局部開發(fā)能力在猛狼的圍攻行為中得到展現(xiàn)，其全局搜索能力表現(xiàn)于探狼的游走行為中，但探狼以貪婪式游走策略前進會導致陷入局部最優(yōu)的困境而削減算法的全局搜索能力。針對該上述欠缺，這里在此將賦予BAS種群特性，即多只天牛同時在目標空間中搜索，并以自適應變步長的方式更新天牛位置，將改進的天牛須搜索策略取代WPA的游走行為（即式（6?8、10?12）取代式（1）），以BAS具有提高狼單個體尋優(yōu)的速度和全局尋優(yōu)能力的特點，在保留其運算便捷，擺脫局部最優(yōu)的同時以期在高維也能快速精準尋優(yōu)。依據(jù)BAS與WPA的優(yōu)勢，以期提高算法的全局搜索能力以及收斂速度，更好地發(fā)揮WPA的性能，其算法的主要步驟如下所示：

（1）初始化算法所需的所有參數(shù)。

（2）將探狼等效成天牛，且計算出天牛左右須的位置適應度及天牛位置。

（3）生成天牛位置的更新規(guī)則且得出天牛的個體最優(yōu)值與全局最優(yōu)值，而后式（11）、式（12）進行步長變換。

（4）判斷是否滿足天牛須的迭代終止條件，是則輸出全局最優(yōu)值并執(zhí)行下一步；否則回轉到步驟（2）。

（5）猛狼向獵物奔襲，若，則；若，則猛狼保持奔襲至與頭狼的距離不大于判定距離后執(zhí)行下一步。

（6）執(zhí)行圍攻行為，且以式（4）更新參與圍攻行為的所有人工狼的位置。

（7）以“勝者為王”規(guī)則更新頭狼位置后，再以“強者生存”機制更新狼群群體。

（8）判定優(yōu)化精度或最大迭代次數(shù)是否達到要求，是則輸出頭狼位置，即為最優(yōu)解；否則回轉步驟（2）。

綜上所述，基于天牛須搜索策略的狼群算法的流程圖，如圖1所示。

圖1 BWPA流程圖Fig.1 BWPA Flowchart

4 測試仿真及結果分析

4.1 基準測試函數(shù)

為了評估創(chuàng)新式智能算法的性能，選取benchmark［10］測試函數(shù)的部分函數(shù)進行性能測試。其中，F(xiàn)1?F3為只存在一個全局最優(yōu)值的單模態(tài)函數(shù)，用以評定算法的局部探索能力；F4、F5為存在多個最優(yōu)值的多模態(tài)函數(shù)，用以評定算法的全局開發(fā)能力，并同時與ACO、WPA、BAS等先進算法進行仿真比較分析。F1?F5基準測試函數(shù)詳情，如表1所示。

表1 基準測試函數(shù)表Tab.1 Benchmark Function Table

4.2 多種智能算法的對比分析

將BWPA運算結果與其他智能算法的運算結果進行對比分析。在仿真測試中，應設置相應初始參數(shù)以保證各智能算法的對比有效性，其中，各算法種群大小為45，迭代次數(shù)為700，其他參數(shù)，如表2所示。

表2 參數(shù)設置表Tab.2 Parameter Setting Table

為了增強該實驗的可靠性及信服力，在同一條件下，進行多次重復仿真并記錄數(shù)據(jù)的最值、平均值與標準差值。在處理最小值問題的情況下，平均值越小，其算法性能越優(yōu)越；標準差值越小，其算法越具有穩(wěn)定性，其實驗仿真結果，如表3所示。為了更直觀地表明BWPA在優(yōu)化過程中的性能，繪制出各算法在50維搜索空間中的收斂曲線，如圖2所示。

表3 各智能算法50維度的基準函數(shù)對比Tab.3 Comparison of Benchmark Functions of 50 Dimensions of Each Intelligent Algorithm

圖2 各算法收斂曲線（50維）Fig.2 Convergence Curve of Each Algorithm（50 Dimensions）

據(jù)表3所得數(shù)據(jù)分析得，在5例仿真測試中，BWPA尋優(yōu)精度皆取得最優(yōu)成果。此外，BWPA在所測試的維度中，對于函數(shù)F4取得了理論最優(yōu)值，對于函數(shù)F1、F2、F5所求得的最優(yōu)解標準差值都為0，極近似于理論值。因此，該表證實BAS能改善WPA的局部搜索能力以及狼群的品質，提升算法的全局開發(fā)能力，并且BWPA更具有優(yōu)越的性能及穩(wěn)定性。

蟻群算法（ACO）、傳統(tǒng)WPA和改進BAS和BWPA在50維度的收斂曲線對比圖，如圖2所示。從圖中可以看出BWPA的收斂速度普遍比其他算法快，這是由于引入天牛須搜索策略在迭代前期確定更優(yōu)搜索方式與加入自適應步長使算法具有較快收斂的特性。由圖2所示，式F1~F5的收斂曲線依次，如圖2（a）~圖2（e）所示。BWPA能夠在更少的迭代次數(shù)內(nèi)到達尋優(yōu)精度表明其尋優(yōu)的快速性優(yōu)于原算法。其次，BAS的收斂曲線稍凸，而WPA的收斂曲線更平滑，可表明其能夠能更快速地擺脫局部最優(yōu)的困境。再者，BWPA的收斂曲線始終在WPA的下方，可表明BWPA尋優(yōu)快并且具有更佳的尋優(yōu)精度。最后，圖2（c）明顯地表明了BWPA繼承了BAS擺脫局部最優(yōu)的優(yōu)點，圖2（d）的斷線說明其已經(jīng)尋得理論最優(yōu)值。

因此，綜合表3的數(shù)據(jù)與圖2的收斂曲線可知，在此維度下，種群性的BAS可以強化WPA，有效地增強狼群的適應度與性能，比其他智能算法更具備顯著的競爭優(yōu)勢。

4.3 更高維度的測試仿真

為了考察BWPA不同維度下的普遍適用性，增強該算法的信服力，將函數(shù)F1~F5的維度改變?yōu)?000，其他參數(shù)設置不變，進行多次重復仿真，得到1000維度的數(shù)據(jù)，如表4所示。收斂曲線，如圖3所示。并對所得結果進行分析。

表4 各智能算法1000維度的基準函數(shù)對比Tab.4 Comparison of Benchmark Functions of 1000 Dimensions of Each Intelligent Algorithm

圖3 各算法收斂曲線（1000維）Fig.3 Convergence Curve of Each Algorithm（1000 Dimensions）

據(jù)表4分析得，BWPA 在該維度仍皆取得最優(yōu)成果。此外，BWPA在所測試的兩個維度中，對于函數(shù)F4都取得了理論最優(yōu)值，對于函數(shù)F1、F2、F5所求得的最優(yōu)解標準差值都為0。

極度接近于理論值。另一方面，按照同一測試函數(shù)的不同維度的角度分析，可得知BWPA在較高維度的收斂精度有可能比較低維度更好（如F3），該情況可表明BWPA 在較高維度BWPA 仍具備良好的性能及優(yōu)異的穩(wěn)定性。

據(jù)圖3所示，F(xiàn)1~F5的收斂曲線依次，如圖3（a）~（e）所示。該算法的表現(xiàn)在較高維度與較低維度相似。當求解過程變得更復雜時，BWPA仍能具備最快的收斂速度且避免落入局部最優(yōu)的優(yōu)勢。因此，BWPA在較高維度中仍存在較大的競爭優(yōu)勢。

綜上所述，不管BWPA處于低維度或較高維度，其比傳統(tǒng)的WPA或改進的BAS具有更強的性能與穩(wěn)定性，更佳的尋優(yōu)速度與尋優(yōu)精度，證明自適應變步長種群化的天牛須策略優(yōu)化狼群算法中過于貪婪的游走行為是可行且有效的。

5 結論

WPA是一種較為新穎的群智能算法，在處理復雜函數(shù)優(yōu)化問題時難免具有收斂速度比較慢且極易陷入局部最優(yōu)的特點。經(jīng)具體分析，該缺陷的源點大部分在于狼群算法過于貪婪的游走行為。因此，這里以改進自適應變步長的天牛須搜索策略取代狼群算法的游走行為。由5個基準測試函數(shù)仿真測試結果可證實提出的改進算法在處理復雜函數(shù)優(yōu)化問題上更具備競爭能力。下一步研究內(nèi)容應為將BWPA應用于約束優(yōu)化問題和更復雜的實際工程問題。