杜若飛 王健 李楠 費(fèi)明哲 鄧歡 王云靖

（1.山東交通學(xué)院，濟(jì)南 250357；2.寧波市鄞州德來(lái)特技術(shù)有限公司，寧波 315100）

1 前言

汽車主動(dòng)安全系統(tǒng)起到預(yù)防車輛發(fā)生事故、保護(hù)車內(nèi)乘員免受傷害的作用[1]。路面附著系數(shù)是主動(dòng)安全系統(tǒng)的一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)[2]，直接反映輪胎與路面間的附著情況，因此，準(zhǔn)確估計(jì)路面附著系數(shù)對(duì)提升汽車行駛安全性具有重要意義。

路面附著系數(shù)的估計(jì)方法包括基于結(jié)果的（Effect-based）方法和基于原因的（Cause-based）方法[3]?；诮Y(jié)果的方法通過(guò)分析由路面變化引起的車輛動(dòng)力學(xué)響應(yīng)來(lái)計(jì)算路面附著系數(shù)，優(yōu)勢(shì)在于不需要額外的傳感器，可有效降低成本[4]?；谠虻姆椒ㄍㄟ^(guò)測(cè)量對(duì)路面附著系數(shù)影響較大的因素，并依靠經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ凸烙?jì)路面附著系數(shù)，雖然該方法實(shí)時(shí)性較好，但需要加裝額外的傳感器，且傳感器成本較高，限制了其商業(yè)使用[5]，且該方法依賴大量精確的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)于未知的路面很難精確估計(jì)[6]?；诮Y(jié)果的方法主要分為2 種，即基于輪胎響應(yīng)的方法[7-8]和基于車輛動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的方法[9-12]。前者能夠保證檢測(cè)的實(shí)時(shí)性，但受外界影響較大；后者可以直接利用車輛自身傳感器，成本較低，但易受模型準(zhǔn)確度的影響。武鐘財(cái)[13]利用擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）算法對(duì)車輛狀態(tài)參數(shù)和路面附著系數(shù)進(jìn)行估計(jì)，取得了較好的估計(jì)效果。王少帥[14]等利用無(wú)跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）算法實(shí)現(xiàn)了路面附著系數(shù)的有效估計(jì)。李剛[15]等利用容積卡爾曼濾波（Cubature Kalman Filter，CKF）算法對(duì)車輛狀態(tài)參數(shù)和路面附著系數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并利用駕駛模擬器在環(huán)試驗(yàn)對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證。EKF 算法通過(guò)泰勒展開(kāi)將非線性系統(tǒng)進(jìn)行局部線性化后轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性系統(tǒng)，從而實(shí)現(xiàn)良好的估計(jì)效果，但會(huì)產(chǎn)生較大的截?cái)嗾`差；UKF 算法通過(guò)無(wú)跡變換產(chǎn)生Sigma 點(diǎn)逼近狀態(tài)分布，避免了EKF 算法的高階截?cái)嗾`差；CKF 算法估計(jì)精度較EKF 和UKF 算法高，其通過(guò)三階球面-徑向容積準(zhǔn)則選擇容積（Cubature）點(diǎn)，但無(wú)法保證協(xié)方差矩陣的正定性及觀測(cè)器的穩(wěn)定性。

綜上，本文針對(duì)容積卡爾曼濾波算法在路面附著系數(shù)估計(jì)中的缺陷，提出平方根容積卡爾曼濾波（Square root Cubature Kalman Filter，SCKF）算法，該方法借助正交三角分解避免CKF 中由協(xié)方差矩陣開(kāi)方造成的矩陣非負(fù)定及觀測(cè)器不穩(wěn)定問(wèn)題，可提高估計(jì)精度和魯棒性?；谏鲜鎏匦?，本文在MATLAB/Simulink 中建立三自由度車輛動(dòng)力學(xué)模型與Dugoff 輪胎模型，在CarSim 中建立車輛運(yùn)行環(huán)境，通過(guò)SCKF算法估計(jì)路面附著系數(shù)，利用CarSim/Simulink聯(lián)合仿真驗(yàn)證算法的有效性。

2 車輛與輪胎建模

2.1 整車模型

車輛動(dòng)力學(xué)模型表示車輛運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，是設(shè)計(jì)估計(jì)算法的基礎(chǔ)，考慮到估計(jì)算法的實(shí)時(shí)性和車輛縱向、側(cè)向及橫擺3 個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)，本文采用三自由度車輛動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示，并進(jìn)行如下假設(shè)：車輛坐標(biāo)系的原點(diǎn)與車輛的質(zhì)心重合；忽略車輛行駛過(guò)程中受到的空氣阻力與滾動(dòng)阻力；4 個(gè)輪胎力學(xué)特性一致；忽略懸架的作用，車身與底盤剛性連接；忽略車輛的側(cè)傾與橫擺運(yùn)動(dòng)。

圖1 三自由度車輛動(dòng)力學(xué)模型

車輛的縱向運(yùn)動(dòng)方程為：

式中，m為整車質(zhì)量；ax為車輛縱向加速度；δ為前輪轉(zhuǎn)角；Fxfl、Fxfr、Fxrl、Fxrr分別為左前輪、右前輪、左后輪、右后輪的縱向力；Fyfl、Fyfr分別為左前輪、右前輪的側(cè)向力。

車輛的側(cè)向運(yùn)動(dòng)方程為：

式中，ay為車輛側(cè)向加速度；Fyrl、Fyrr分別為左后輪、右后輪的側(cè)向力。

車輛繞z軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：

式中，J為車輛繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ω為橫擺角速度；Mz為回正力矩：

式中，Lf、Lr分別為質(zhì)心與前軸、后軸的距離；Bf、Br分別為前、后輪距。

2.2 輪胎模型

目前應(yīng)用較多的輪胎模型有魔術(shù)公式（Magic Formula，MF）輪胎模型和Dugoff 輪胎模型，與魔術(shù)公式輪胎模型相比，Dugoff 輪胎模型具有參數(shù)少和計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)，考慮到算法的實(shí)時(shí)性要求，本文采用Dugoff輪胎模型[16-17]計(jì)算輪胎受力情況，輪胎受力分析如圖2所示。

圖2 Dugoff輪胎模型

輪胎的縱向力與側(cè)向力表達(dá)式分別為：

其中：

式中，i=f,r 分別表示前、后輪；j=l,r 分別表示左、右輪；μij為各車輪的路面附著系數(shù)；Cxij、Cyij分別為各車輪輪胎縱向剛度、側(cè)偏剛度；sij為各車輪輪胎滑移率；αij為各車輪輪胎側(cè)偏角；ε為速度影響因子；vx為車輛縱向速度；Fzij為各車輪輪胎的垂向載荷；分別為各車輪歸一化后的輪胎力，忽略了路面附著系數(shù)的影響，有利于算法編程；f(L)為模型修正系數(shù)；L為輪胎滑移特性參數(shù)。

滑移率的計(jì)算公式為：

式中，vij為各車輪的縱向速度；ωij為各車輪的角速度；R為車輪有效滾動(dòng)半徑。

車輪中心速度的計(jì)算公式為：

式中，vcfl、vcfr、vcrl、vcrr分別為左前輪、右前輪、左后輪、右后輪中心處的速度；ωfl、ωfr、ωrl、ωrr分別為左前輪、右前輪、左后輪、右后輪的角速度；vy為車輛側(cè)向速度。

輪胎側(cè)偏角的計(jì)算公式為：

車輪垂向載荷的計(jì)算公式為：

式中，La=Lf+Lr為軸距；hg為質(zhì)心高度。

3 基于平方根容積卡爾曼濾波的路面附著系數(shù)估計(jì)算法

3.1 平方根容積卡爾曼濾波算法

根據(jù)車輛動(dòng)力學(xué)方程式（1）～式（4）確定系統(tǒng)的參數(shù)變量為x=[μfl,μfr,μrl,μrr]T，定義系統(tǒng)的觀測(cè)量為y=[ax,ay,ω]T、系統(tǒng)的輸入量為u=[δ,F0xij,F0yij]T，具體估計(jì)過(guò)程為：

a.對(duì)于一般的非線性系統(tǒng)，其狀態(tài)空間方程可以寫成：

式中，f(x(t),u(t))、h(x(t),u(t))分別為估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和量測(cè)方程；w(t)為過(guò)程噪聲；v(t)為量測(cè)噪聲。

估計(jì)器的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程可以表示為：

b.采用奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）方法對(duì)狀態(tài)量誤差協(xié)方差矩陣進(jìn)行分解：

式中，Gk-1|k-1為狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣；Pk-1|k-1為(k-1)時(shí)刻狀態(tài)量誤差協(xié)方差矩陣；svd()為矩陣分解函數(shù)。

c.計(jì)算容積點(diǎn)：

式中，；xk-1為(k-1)時(shí)刻狀態(tài)量的預(yù)測(cè)值；n為狀態(tài)量的維度為容積點(diǎn)權(quán)重矩陣；B=[In×n-In×n]。

d. 計(jì)算經(jīng)過(guò)狀態(tài)方程迭代后的容積點(diǎn)及預(yù)測(cè)的狀態(tài)量：

其中：

式中，xk|k-1為k時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)測(cè)值。

e. 計(jì)算狀態(tài)量預(yù)測(cè)值的誤差協(xié)方差矩陣的平方根：

f.計(jì)算更新容積點(diǎn)：

g.將容積點(diǎn)代入量測(cè)方程進(jìn)行傳播：

式中，yk|k-1為k時(shí)刻觀測(cè)量估計(jì)值。

h. 計(jì)算觀測(cè)量預(yù)測(cè)值的誤差協(xié)方差矩陣的平方根：

i.計(jì)算互協(xié)方差矩陣：

k. 更新?tīng)顟B(tài)量得到路面附著系數(shù)最優(yōu)估計(jì)值：

l.更新誤差協(xié)方差矩陣的平方根因子：

3.2 路面附著系數(shù)估計(jì)模型

為驗(yàn)證本文提出算法的有效性，利用CarSim 與Simulink 聯(lián)合仿真平臺(tái)進(jìn)行驗(yàn)證。首先，在CarSim中搭建整車運(yùn)行仿真工況，設(shè)定輸入、輸出參數(shù)；然后，在Simulink 中搭建三自由度車輛動(dòng)力學(xué)模型、Dugoff 輪胎模型和算法模塊；最后，進(jìn)行CarSim 與Simulink 聯(lián)合仿真，通過(guò)設(shè)置不同的路面仿真工況，對(duì)SCKF 和CKF 算法在路面附著系數(shù)估計(jì)方面的準(zhǔn)確性和魯棒性進(jìn)行對(duì)比分析，模型整體框圖如圖3所示。

圖3 路面附著系數(shù)估計(jì)框架

4 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證SCKF 觀測(cè)器的有效性和魯棒性，設(shè)計(jì)了制動(dòng)工況下的低附著系數(shù)路面、高附著系數(shù)路面及對(duì)接路面工況進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，并對(duì)CKF 算法和SCKF 算法進(jìn)行對(duì)比分析，仿真模型選用CarSim 中自帶的車輛模型，相關(guān)參數(shù)如表1所示。

4.1 低附著系數(shù)路面仿真驗(yàn)證

在CarSim中設(shè)置車輛初始速度為80 km/h、節(jié)氣門開(kāi)度為0、擋位為空擋、輪缸壓力為0.45 MPa，路面附著系數(shù)設(shè)置為μ=0.4，仿真時(shí)間為10 s，仿真結(jié)果如圖4所示。對(duì)比仿真曲線可知，CKF算法和SCKF算法均有向標(biāo)準(zhǔn)值收斂的趨勢(shì)，相較于CKF算法，SCKF算法收斂精度更高。這是由于SCKF算法利用正交三角分解法保證了協(xié)方差矩陣的正定性，而CKF算法利用平方根分解導(dǎo)致了協(xié)方差矩陣負(fù)定。在車輛前輪路面附著系數(shù)估計(jì)中，CKF的估計(jì)誤差在10%以內(nèi)，SCKF的估計(jì)誤差在3%以內(nèi)；在車輛后輪路面附著系數(shù)估計(jì)中，2種算法的估計(jì)誤差稍大，但SCKF算法的估計(jì)誤差仍低于CKF算法的估計(jì)誤差。

圖4 低附路面下附著系數(shù)估計(jì)結(jié)果對(duì)比

4.2 高附著系數(shù)路面仿真驗(yàn)證

保持CarSim 中其他參數(shù)不變，只改變路面附著系數(shù)，設(shè)置路面附著系數(shù)μ=0.85，繼續(xù)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。驗(yàn)證結(jié)果如圖5 所示，與低附著系數(shù)路面情況大致相同，CKF算法的最大估計(jì)誤差為12.8%，SCKF算法的最大估計(jì)誤差為3.62%。

圖5 高附路面下附著系數(shù)估計(jì)結(jié)果對(duì)比

4.3 對(duì)接路面仿真驗(yàn)證

設(shè)計(jì)對(duì)接路面工況，在CarSim 中設(shè)置路面附著系數(shù)在100 m 處（約第4.9 s）從0.85 突變到0.20，其他參數(shù)保持不變，仿真結(jié)果如圖6 所示。在路面附著系數(shù)發(fā)生突變時(shí)，SCKF 算法可以快速響應(yīng)路面附著系數(shù)的變化，誤差曲線抖動(dòng)較小，最大誤差僅為0.041 9，而CKF 算法不能快速響應(yīng)路面的變化，最大誤差為0.728 6，這是由于在路面附著系數(shù)發(fā)生突變時(shí)，SCKF 算法利用正交三角分解法保證了協(xié)方差矩陣的正定性，而CKF 算法使用的平方根分解法計(jì)算量較大且容易造成協(xié)方差矩陣負(fù)定，導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果與真實(shí)值偏差較大。

圖6 對(duì)接路面下附著系數(shù)估計(jì)結(jié)果對(duì)比

5 結(jié)束語(yǔ)

本文在傳統(tǒng)的容積卡爾曼濾波算法基礎(chǔ)上針對(duì)協(xié)方差矩陣不對(duì)稱或非負(fù)定導(dǎo)致的濾波發(fā)散及觀測(cè)值不穩(wěn)定的問(wèn)題進(jìn)行改進(jìn)，提出了平方根容積卡爾曼濾波算法。利用CarSim 與Simulink 進(jìn)行聯(lián)合仿真，驗(yàn)證了改進(jìn)算法的有效性。得到以下結(jié)論：

a.以三自由度車輛動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)，可通過(guò)平方根容積卡爾曼濾波算法估計(jì)路面附著系數(shù)；

b. 采用正交三角分解法可以克服傳統(tǒng)容積卡爾曼濾波算法中協(xié)方差矩陣不對(duì)稱或非負(fù)定導(dǎo)致的濾波發(fā)散及觀測(cè)值不穩(wěn)定的問(wèn)題；

c.平方根容積卡爾曼濾波算法魯棒性強(qiáng)，可在多種路面附著條件下進(jìn)行路面附著系數(shù)估算。

本文僅在不同路面附著系數(shù)條件下開(kāi)展了仿真驗(yàn)證，未開(kāi)展驅(qū)動(dòng)、轉(zhuǎn)向等工況下的仿真驗(yàn)證，未來(lái)將繼續(xù)使用平方根容積卡爾曼濾波算法在驅(qū)動(dòng)、轉(zhuǎn)向以及制動(dòng)等聯(lián)合工況下開(kāi)展關(guān)于路面附著系數(shù)估計(jì)的研究，為車輛主動(dòng)安全系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供參考。