賴怡冰

（廣東理工學(xué)院 基礎(chǔ)課教學(xué)研究部，廣東 肇慶 526000）

微積分建立在極限理論的基礎(chǔ)上，極限反映了變量的局部性態(tài)與變化趨勢，是實(shí)現(xiàn)無窮運(yùn)算的唯一方法。極限理論主要包括其存在性、相關(guān)性質(zhì)與極限的計算等方面的內(nèi)容，工科數(shù)學(xué)尤以極限的計算為主。

極限思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至物理學(xué)等學(xué)科中，有著廣泛的應(yīng)用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。微積分研究的對象是函數(shù)，研究的工具叫極限，極限的最實(shí)際的作用就是可以進(jìn)行微積分，進(jìn)而進(jìn)行更高層次的研究。極限可以把很多看似不可能的東西合理化，比如無窮、無限逼近等都可以在極限的框架下合理地運(yùn)算和理解，其本質(zhì)就是提出了一種很特殊的運(yùn)算法則。由此可見，極限在高等數(shù)學(xué)教學(xué)、考研數(shù)學(xué)和大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中的重要性[1-2]。

學(xué)好極限的思想，并學(xué)會靈活的應(yīng)用，顯得尤為重要。目前，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽已經(jīng)成功舉辦了14 屆。大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的目的是激勵大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，提升我國高等學(xué)校人才培養(yǎng)質(zhì)量，促進(jìn)高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程建設(shè)，并為青年學(xué)子搭建一個展示數(shù)學(xué)思維能力和學(xué)習(xí)成果的平臺，助力數(shù)學(xué)及復(fù)合型創(chuàng)新本科人才的成長[3-4]。 計算極限有哪些方法，這些方法如何體現(xiàn)在大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中，學(xué)生如何去歸納總結(jié)，發(fā)散思維，創(chuàng)新應(yīng)用值得深入研究。，如果

1 理論

為了更好地理解、掌握與應(yīng)用極限的計算方法與技巧，本文通過歷屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽真題將計算極限常用的20 種方法進(jìn)行歸納總結(jié)，并進(jìn)行介紹[1-6]。方法1：冪指函數(shù)的對數(shù)函數(shù)法

[g( x )]f（x）冪指函數(shù)，即底為函數(shù)，冪也為函數(shù)的函數(shù)。

基于 f（x）= ex（x ∈R）在全體實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的連續(xù)性，函數(shù)的極限等于極限的函數(shù)，即要 求g( x )＞0。

方法2：冪指函數(shù)的第二個重要極限法

如果x*在的某個去心鄰域內(nèi) f（x）＞0，則有，則∞1 極限式為類型，基于重要極限的方法來計算函數(shù)的極限，即

冪指函數(shù)的極限式結(jié)構(gòu)：∞1 未定型的極限的計算思路與步驟可以概括如下幾步：

第一步：判定類型是否為∞1 ；

第二步：改寫結(jié)構(gòu)為∞+ 0)1( ；

第三步：轉(zhuǎn)換極限為∞0?e ；

第四步：轉(zhuǎn)換；∞0 ；

第六步：寫出最終結(jié)果為ae 。

第五步：計算極限 ?→a

對于不符合這種未定型結(jié)構(gòu)的冪指函數(shù)的極限式的極限計算，一般采用對數(shù)函數(shù)法。

方法3：冪指函數(shù)中用等價無窮小求極限

（1）∞1 型，先將冪指函數(shù)取對數(shù)，再用等價無窮小求極限。

（2）0∞或00中無窮小量可以直接做等價無窮小替換。

設(shè)f(x)0，g(x)0 且，f(x)~g(x)，f1(x)~g1(x)則

推導(dǎo)：

方法4：利用洛必達(dá)法則求極限

定理1（1）函數(shù)f(x)，g(x)都趨于0（無窮大）；（2）在x*某去心鄰域內(nèi)，f '(x)，g'(x)都存在，且g'(x)≠0；

注：（1）先有導(dǎo)函數(shù)構(gòu)成的極限式極限存在，才有原來極限的極限存在并且極限值相等；（2）適用于分式類型的極限式；（3）適用于或未定型極限。

洛必達(dá)法則計算極限的步驟：

第三步：分子、分母函數(shù)的可導(dǎo)性及分母函數(shù)及導(dǎo)數(shù)是否為零；

方法5：利用等價無窮小代換求極限

定理2 設(shè)fj(x)( j=1, 2)和gj(x)( j=1, 2)均為過程的無窮小xx*，fj(x), gj(x)( j=1, 2)在相應(yīng)的去心鄰域中不等于0，且有f1(x)~f2(x)(xx*)，g1(x)~g2(x)(x x*)

注：一般適用于相乘的因式函數(shù)用等價無窮小替換簡化極限計算，即等價無窮小的替換只能在商或積的情況下進(jìn)行。

使用等價無窮小簡化極限計算的基本原則：

（1）乘因式替換原則。例如：

（2）和差代替原則。

②不等價的無窮小相加減可以考慮使用等價無窮小化簡計算，例如：。

方法6：四則運(yùn)算法則

設(shè)lim f(x)及l(fā)img(x)都存在（假定x 在同一變化過程中），則有下列運(yùn)算法則：

lim [f(x)±g(x)]=lim f(x)±limg(x)；

lim [f(x)·g(x)]=lim f(x)·limg(x)；(lim g(x) 0)≠ 。

注：極限的四則運(yùn)算法則只有在極限存在，以及有限個的條件下才可以用。

方法7：利用無窮小與函數(shù)極限之間的關(guān)系求極限

lim f(x)=A 的充要條件是f(x)=A ＋a(x)，其中(x)是xx0時的無窮小量。

方法8：泰勒公式法

當(dāng)函數(shù)f(x)在x=0 處具有n 階導(dǎo)數(shù)，那么存在x=0 的一個鄰域，對于該鄰域內(nèi)的任意x，有

（帶皮亞諾型余項的麥克勞林公式）

注：（1）一般適用于自變量的變化過程為趨于0 的變化過程

（2）階數(shù)一般與題目中出現(xiàn)的冪函數(shù)最高次數(shù)相同。

方法9：導(dǎo)數(shù)的定義法

導(dǎo)數(shù)的定義式：

方法10：利用極限存在的2 個原理計算極限

（1）夾逼準(zhǔn)則：設(shè)3 個數(shù)列{xn},{yn},{zn}滿 足xn≤yn≤zn，且，則。

（2）單調(diào)有界原理：單調(diào)增（減）有上（下）界的數(shù)列必定收斂。

方法11：利用拉格朗日中值定理求極限

若函數(shù)f (x)在[a, b]上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，則),∈( ab?ξ ，使得f (a)-f (b)=f '(ξ)(b-a).

方法12：定積分定義法

方法13：積分中值定理

（2）廣義積分中值定理：如果函數(shù)f(x), g(x)都在[a, b]閉區(qū)間上連續(xù)，并且g(x)在[a, b]上不變號，則在閉區(qū)間[a, b]上必有一點(diǎn)ξ，使得

方法14：利用施篤茲（Stolz）定理計算極限

設(shè)數(shù)列{yn} 單調(diào)增加且，如果存在或?yàn)椤蓿瑒t

方法15：基于數(shù)列極限定義與定積分等式的極限證明方法

抽象數(shù)列、函數(shù)極限的驗(yàn)證一般考慮極限定義法。證明遞推數(shù)列極限存在并計算極限值的定義法：

假設(shè)極限存在→利用遞推式計算極限值→驗(yàn)證極限

解題過程中結(jié)合定積分基本計算公式的逆運(yùn)算、函數(shù)的單調(diào)性、定積分的保序性等。

注：（1）用特殊法探索可能的極限值是整個驗(yàn)證過程的關(guān)鍵；（2）積分等式給出了改寫數(shù)學(xué)描述的方向；（3）數(shù)列極限的定義是整個驗(yàn)證過程的理論依據(jù)；（4）轉(zhuǎn)換問題描述是貫穿始終的探索解題思路的基本思想與方法。

方法16：基于常值級數(shù)收斂定義的部分和數(shù)列極限計算方法

前n 項的部分和式極限的計算問題：不含有n，只含有k，級數(shù)的部分和數(shù)列，xn是常值級數(shù)的部分和數(shù)列，f (n)是常值級數(shù)的求和。

方法17：用級數(shù)的斂散性計算極限

級數(shù)的斂散性就是其部分和數(shù)列的極限問題，所以數(shù)列極限與級數(shù)的斂散性很難分割。對某些形式（特別是無窮和形式）的極限借助于級數(shù)的相關(guān)知識來解決會更為方便。

方法18：基于極限定義與子數(shù)列的斂散性驗(yàn)證極限結(jié)論的方法

方法19：特殊法求極限

特殊法的使用有前提條件，要求：（1）所求的極限要存在；（2）極限在參數(shù)的取值范圍內(nèi)，極限值都相等，不需要另外討論參數(shù)的取值范圍可能會有不同極限值的結(jié)果。

方法20：初等變形法

用初等運(yùn)算、變量代換、恒等變形、三角函數(shù)極限式、平方差公式、二倍角公式、遞推法等方法將極限式化簡。

為了更好地說明計算極限的20 種方法在大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用情況，下面列出歷屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中考到極限的屆數(shù)、題號、分值、用到的方法以及計算極限的20 種方法在歷屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中運(yùn)用的次數(shù)情況、分值變化趨勢，具體情況（表1 和圖1）。

表1 計算極限的20 種方法在大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用情況

從表1 和圖1 可以看出，在歷屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中，計算極限的20 種方法里運(yùn)用得最多的是方法5 利用等價無窮小代換求極限，有11 次，方法1 冪指函數(shù)的對數(shù)函數(shù)法、方法4 洛必達(dá)法則和方法10 利用極限存在的2 個原理計算極限，都是7 次。圖2 顯示，從第一屆到第十四屆共14年的數(shù)學(xué)競賽都考到了極限的知識，所占分值比例從原來的下降、上升、下降、上升的變化規(guī)律轉(zhuǎn)變?yōu)橹饾u上升的趨勢，特別是從第十屆開始到第十四屆，從原來的12 分增加到40 分，對于總分100 分的競賽題來說，所占分值較大，可見極限計算在競賽中的重要地位。

圖2 歷屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽極限占的分值情況

2 實(shí)例

為了更好地說明計算極限的20 種方法在歷屆競賽中的應(yīng)用，下面給出幾道典型的歷年大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽真題，從解題過程中可以清晰明了地看出各種方法的應(yīng)用，有助于理解極限的知識，限于篇幅，只給出一部分真題解答過程。

解：冪指函數(shù)的對數(shù)函數(shù)法，洛必達(dá)法則

解：包含了抽象函數(shù)的，由已知極限求未知極限的問題。通常的做法：根據(jù)已知極限，借助無窮小與函數(shù)極限之間的關(guān)系，寫出未知抽象函數(shù)相對具體的表達(dá)式，然后將抽象函數(shù)表達(dá)式代入要求極限的極限式，推導(dǎo)計算得到未知極限。

解：

例4（2016 年，6 分）若f (x) =0，f '(1) 存在，求極限。

解：利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限

例5 （2017 年，7 分） 設(shè)f (x) 有 二 階導(dǎo) 數(shù) 連 續(xù)， 且f (0) = f '(0) = 0，f ''(0) = 6， 則。

解：泰勒公式法（帶皮亞諾型余項）

例7（2020 年，6 分） 設(shè)f (x) ，g (x) 在x=0 的某一鄰域內(nèi)有定義，對任意x ∈U，f (x) ≠g (x) ， 且， 則。

方法一：利用拉格朗日中值定理求極限

解：改寫形式，再用拉格朗日中值定理設(shè)F(t)=tg(x)，則分子改寫為[f (x)]g(x)-[g (x)]g(x)=F[f (x)]-F[fg(x)]

方法二：冪指函數(shù)中用等價無窮小求極限

解：[f (x)]g(x)-[g (x)]g(x)是兩個冪指函數(shù)的差，已知

例8（2021 年，14 分）設(shè)函數(shù)f (x)在閉區(qū)間[a,b]上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，證明：

證明：對區(qū)間[a,b] 作等n 分，a=x0﹤x1﹤…﹤xk﹤…﹤xn=b，則各子區(qū)間[xk-1, xk]的長度都為，，k=0,1,2,…,n

因 為f (x) 在 區(qū) 間[xk-1, xk] 上 連 續(xù)，所 以 存 在 xMk，xmk∈ [xk-1, xk]，由夾逼準(zhǔn)則，得

3 結(jié)論

總結(jié)介紹極限計算的20 種解題方法在歷屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用，不僅有助于學(xué)生更好地掌握極限的解題方法和技巧，也有利于提高學(xué)生分析解決問題的綜合能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和發(fā)散性思維。以表格和折線圖的形式給出考察極限的屆數(shù)、題號、分值、用到的方法以及運(yùn)用的次數(shù)情況、分值變化趨勢等，對指導(dǎo)數(shù)學(xué)競賽的指導(dǎo)教師和參賽學(xué)生把握極限這個內(nèi)容有一定的參考價值。