蘇州大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校(215131) 朱佳煒

蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(215006) 周 超*

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是羅列更多的現(xiàn)象,也不是追求更妙的技巧,而是要從更普遍的、更一般的角度尋求規(guī)律和答案[1]. 反證法就是解決諸多常規(guī)證明方法不易推理的一般推理方式,反證法是通過(guò)證明論題的否定命題的不真實(shí),從而肯定原論題真實(shí)的證明方法. 既是證明數(shù)學(xué)命題(猜想)的常用方法,也是解決數(shù)學(xué)探索性問(wèn)題的通性通法,還具有發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的功能. 反證法不僅具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值,而且具有良好的思維訓(xùn)練價(jià)值,被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器”[2]. 英國(guó)著名數(shù)學(xué)家哈代(G.H.Hardy)對(duì)于這種證明方法做過(guò)一個(gè)很有意思的評(píng)論:“棋手犧牲的是幾個(gè)棋子,而數(shù)學(xué)家可以犧牲的卻是整個(gè)一盤棋.”[3]它應(yīng)成為我們推理證明教學(xué)中的普遍的、一般的、精良的證明方法. 但中小學(xué)教學(xué)中普遍缺乏對(duì)反證法的關(guān)注,且部分初高中教科書對(duì)這一內(nèi)容的處理莫衷一是[4],基于對(duì)蘇科版教科書反證法內(nèi)容的分析,并結(jié)合實(shí)踐中積累的一些做法,對(duì)反證法的教學(xué)提出了一些看法.

1 反證法的教材與教學(xué)現(xiàn)狀: 基于2012 年版蘇科版教科書

1.1 教材內(nèi)容

現(xiàn)行蘇科版初中數(shù)學(xué)教科書中沒(méi)有將反證法單獨(dú)成節(jié),分別在七年級(jí)下冊(cè)第7 章“平面圖形的認(rèn)識(shí)(二)”第16 頁(yè)“讀一讀”中證實(shí)平行線性質(zhì)定理(圖1)、八年級(jí)上冊(cè)第4 章“實(shí)數(shù)”第105 頁(yè)“閱讀”中證明是無(wú)理數(shù)(圖2)時(shí)先使用了,而后才在八年級(jí)下冊(cè)第9 章“中心對(duì)稱圖形——平行四邊形”第69-71 頁(yè)正文中給出了反證法的概念并進(jìn)行了延展閱讀(圖3、圖4)、最后在九年級(jí)上冊(cè)第2 章“對(duì)稱圖形——圓”第66 頁(yè)“思考探索”欄目(圖5)以及九年級(jí)下冊(cè)第6 章“圖形的相似”第64 頁(yè)“讀一讀”欄目(圖6)中再次應(yīng)用.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

反證法是一種非常重要的證明方法,它用其獨(dú)特的推理角度,解決了許多特殊的問(wèn)題. 蘇科版教科書將反證法分散在三個(gè)年級(jí)開(kāi)展教學(xué),解決了初中數(shù)學(xué)推理證明中的諸多難點(diǎn): 平行性質(zhì)、是無(wú)理數(shù)、平行四邊形判定的否命題、三角形內(nèi)角只有一個(gè)鈍角、切線的性質(zhì)、直覺(jué)誤導(dǎo)等,足見(jiàn)其重要性.

七年級(jí)上學(xué)期的教學(xué)任務(wù)是基于生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)與式,一元一次方程、進(jìn)一步認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單圖形并初步感受構(gòu)造一些比較復(fù)雜的圖形,整冊(cè)未涉及證明推理. 而從七年級(jí)下學(xué)期開(kāi)始,伴隨著推理教學(xué)要求的提高,反證法便如影隨形. 但七年級(jí)下學(xué)期時(shí),學(xué)生對(duì)推理證明還很陌生,所以,圖1 中用“證實(shí)”替代“證明”. 這是學(xué)生第一次接觸反證法,感受到用反證法可以對(duì)圖形形成更深入的認(rèn)識(shí).

八年級(jí)下冊(cè)第九章明確提出反證法后,本單元對(duì)七年級(jí)下冊(cè)第7 章“平面圖形的認(rèn)識(shí)(二)”的“讀一讀”再次進(jìn)行了解讀,并通過(guò)趣談“反證法”,對(duì)基本事實(shí)的“同位角相等,兩直線平行”的否命題“同位角不相等,兩直線不平行”“一個(gè)三角形中最多有一個(gè)鈍角”進(jìn)行了證明,這時(shí)應(yīng)該說(shuō)蘇科版對(duì)反證法有了較為系統(tǒng)的闡述. 在本章的小結(jié)與思考中除了總結(jié)章節(jié)知識(shí)及證明的途徑,還對(duì)學(xué)生提出“. . . 你能舉出用反證法證明命題的例子嗎? ”對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)掌握反證法的要求比較高,讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)反證法是證明的一種重要方法.

九年級(jí)上冊(cè)圓切線的性質(zhì)“切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑”盡管理解上簡(jiǎn)單,但常規(guī)的推理方法卻很難說(shuō)清楚,這體現(xiàn)了反證法的必要性. 圖5 將我們的視野重新投射到七年級(jí)下冊(cè)第12 章證明,從反證法、相似證明的角度很好說(shuō)明了“對(duì)于數(shù)學(xué)結(jié)論,完全憑借直覺(jué)判斷是不行的,還需要推理加以證實(shí)”.

1.2 教學(xué)現(xiàn)狀

翻閱近年來(lái)各省市中考試卷, 反證法證明題難覓蹤跡,對(duì)該證明方法的應(yīng)用大有弱化和淡化,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,大多數(shù)教師未能充分認(rèn)識(shí)反證法的教育價(jià)值,采取一帶而過(guò)或直接忽視的現(xiàn)象常有發(fā)生.

通常只在九年級(jí)講解切線的性質(zhì)時(shí)因常規(guī)推理方法很難說(shuō)清楚而“迫不得已”進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹, 且部分老師只講性質(zhì),僅觀察得出結(jié)論,而不進(jìn)行推理. 據(jù)了解,在某縣級(jí)市初中數(shù)學(xué)教師解題能力大賽中,“請(qǐng)證明是無(wú)理數(shù)”這道題難住了不少教師,或反證法的證明過(guò)程不規(guī)范,這也從一個(gè)側(cè)面反映出部分一線教師對(duì)反證法的認(rèn)識(shí)不到位,未能給予足夠重視.

數(shù)學(xué)教材承載著知識(shí)、能力、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和思想方法,蘊(yùn)含了問(wèn)題解決一般策略. 實(shí)踐表明,教材中的例題、習(xí)題、閱讀材料、圖片等是中考命題的“聚寶盆”,并且以教材為藍(lán)本命制中考試題體現(xiàn)了考試評(píng)價(jià)的公平性[6]. 蘇科版教科書用了很大的篇幅,埋設(shè)了一條長(zhǎng)線,通過(guò)讀一讀、閱讀、思考探索、正文等不同欄目由淺入深、層層推進(jìn)地展開(kāi),指引著教師對(duì)反證法形成足夠的重視,圍繞反證法認(rèn)真“挖掘”,用好教材這一寶庫(kù),精心備課,補(bǔ)好教學(xué)短板.

1.3 課標(biāo)要求

新頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》(下稱新課標(biāo))針對(duì)過(guò)去義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程不重視代數(shù)推理的現(xiàn)象,明確提出“增加代數(shù)推理,加強(qiáng)幾何直觀”的主張,這與2017 年版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)保持一致,體現(xiàn)了通過(guò)幾何建立直觀、通過(guò)代數(shù)予以表達(dá)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本特征[5].

新課標(biāo)在附錄1 課程內(nèi)容中的實(shí)例74“感悟反證法”中明確指出反證法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法,平行線性質(zhì)定理的證明是學(xué)生第一次接觸到反證法的證明. 在教學(xué)過(guò)程中,在讓學(xué)生感知反證法作用的同時(shí),還要讓學(xué)生感悟反證法的邏輯和論證流程,感知矛盾律和排中律,形成初步的推理能力[5].

新課標(biāo)提出第四學(xué)段(7-9 年級(jí))能夠知道解決問(wèn)題方法的多樣性,具備一定的應(yīng)用意識(shí)和模型意識(shí),初步會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與交流. 感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值,能夠從問(wèn)題解決的過(guò)程中獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲,增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.[5]證明推理的方法除了由因得果、執(zhí)果索因,還有反證法,這是推理證明問(wèn)題方法的多樣性. 掌握反證法也有利于學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中,學(xué)會(huì)獨(dú)立思考、合作探究,形成批判質(zhì)疑、克服困難、勇于擔(dān)當(dāng)?shù)目茖W(xué)精神,具備一定的創(chuàng)新意識(shí)[5].

2 反證法的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐: 基于新課標(biāo)的微專題復(fù)習(xí)課

為更好開(kāi)展反證法教學(xué),加深對(duì)該證明方法的理解,熟悉反證法的一般步驟,能夠靈活應(yīng)用反證法進(jìn)行推理,本文以中考復(fù)習(xí)微型專題課“反證法的再認(rèn)識(shí)”為例,本節(jié)課僅一課時(shí),本課例將結(jié)合新課標(biāo)理念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),以提升學(xué)生推理能力核心素養(yǎng).

微專題課是教師根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)情況、作業(yè)反饋出來(lái)的突出問(wèn)題而組織進(jìn)行的課堂教學(xué),微專題課通常是用一節(jié)課時(shí)間解決一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)或一類題型. 微專題課以為“微”漸進(jìn),具有很強(qiáng)的針對(duì)性和可操作性,課堂指向知識(shí)點(diǎn)體系生成、數(shù)學(xué)思想方法生成,著力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力[7].

2.1 生動(dòng)情境趣憶反證法

問(wèn)題1請(qǐng)閱讀材料: 中國(guó)古代有一個(gè)叫“路邊苦李”的故事: 王戎7 歲時(shí),與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李樹(shù)上結(jié)滿了果子. 小伙伴們紛紛去摘取果子,只有王戎站在原地不動(dòng). 有人問(wèn)王戎為什么? 王戎回答說(shuō):“樹(shù)在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個(gè)嘗了一下,果然是苦李.

回答問(wèn)題: 王戎是怎樣知道李子是苦的呢? 他運(yùn)用了怎樣的推理方法?

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)貼近生活的、生動(dòng)的、真實(shí)的事例,引入反證法,并總結(jié)反證法的一般步驟,1. 假設(shè): 先假設(shè)命題的結(jié)論不成立(路邊甜李);2. 歸謬: 從這個(gè)假設(shè)出發(fā)(路邊甜李),應(yīng)用正確的推論方法(路邊甜李應(yīng)少子),得出與定義,公理、已證定理或已知條件(路邊的李樹(shù)結(jié)滿了果子)相矛盾的結(jié)果;3. 結(jié)論: 由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論(樹(shù)在道邊而多子,此必苦李)正確.

問(wèn)題1 的設(shè)計(jì)也是為了引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)的思維,建立數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的邏輯聯(lián)系,能夠根據(jù)已知事實(shí)或原理,合乎邏輯地推出結(jié)論.

問(wèn)題2證明一個(gè)圓只有一個(gè)圓心.

設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題2 直接證明是無(wú)從下手的,本問(wèn)題可假設(shè)一個(gè)圓存在兩個(gè)圓心,即除了圓心O外還有圓心Q,聯(lián)接OQ并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)P(圖7),顯然OP ＞QP,這與圓中半徑相等矛盾,所以假設(shè)不成立,即一個(gè)圓只有一個(gè)圓心. 問(wèn)題1 和問(wèn)題2 的設(shè)計(jì)很好回答了“反證法是什么? ”同時(shí),問(wèn)題2 還能有效激發(fā)學(xué)生興趣,規(guī)范反證法的推理格式,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力.

圖7

2.2 舊例重做 感悟反證法

問(wèn)題3用反證法證明等腰三角形的判定定理: 有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.

設(shè)計(jì)意圖新課標(biāo)對(duì)“等腰三角形的概念”從“了解”上升到“理解”, 問(wèn)題3 屬于舊例重做, 它可折疊實(shí)驗(yàn)操作發(fā)現(xiàn)AB=AC; 也可作AD⊥BC(圖8) , 證明ΔADBΔADC得AB=AC. 還可通過(guò)反證法證明,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到反證法是證明的一般方法. 問(wèn)題3 的設(shè)計(jì)也是為了呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的層次性和多樣性.

圖8

圖9

問(wèn)題4一個(gè)三角形中,如果兩個(gè)角不相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等.

設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題4 是問(wèn)題3 的變式,屬于原命題的否命題. 問(wèn)題3 用常規(guī)方法“由因得果”直接證明也可用反證法,但問(wèn)題4“由因得果”直接證明有困難的, 必須使用反證法.假設(shè)這兩個(gè)不相等的角所對(duì)的邊相等,得到與已知條件矛盾,輕松得證. 問(wèn)題4 的設(shè)計(jì)有助于學(xué)生理解“反證法怎么樣? ”即感悟反證法的一般性、特殊性、必要性.

2.3 老題新證 活用反證法

問(wèn)題5證明√是無(wú)理數(shù).

設(shè)計(jì)意圖證明是無(wú)理數(shù)方法大致有8 種,分別是尾數(shù)證明法、奇偶分析法、代數(shù)基本性質(zhì)證明法、連分?jǐn)?shù)法、構(gòu)圖法等,以上諸多方法大多是反證法,其中教科書上的奇偶分析法比較經(jīng)典,本課除了簡(jiǎn)單回顧本法之外,還采用構(gòu)圖法進(jìn)行教學(xué),方法如下:

圖10

2.4 系統(tǒng)構(gòu)建 領(lǐng)悟反證法

本節(jié)專題復(fù)習(xí)課精心挑選例題,其目的不僅在于總結(jié)反證法一般步驟,還在于梳理適合使用反證法的題型,讓學(xué)生知道何時(shí)使用反證法,可以更好、更快地解題.

問(wèn)題5已知a+b+c=0,abc ＞0 求證:a、b、c中有兩個(gè)非零偶數(shù).

問(wèn)題6若關(guān)于x的一元二次方程(a+1)x2+b(x+1)+a+1=0 有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根,試著判斷x=±1 是否為x2+bx+a=0 的解?

問(wèn)題7求證: 對(duì)任意實(shí)數(shù)a,點(diǎn)A(a,-a2)都不在二次函數(shù)y=(x+1)2+2 的圖象上.

設(shè)計(jì)意圖 中考復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)要全面系統(tǒng)幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò),這節(jié)課通過(guò)繪制小而精致的微型思維導(dǎo)圖,讓學(xué)生能夠參與、樂(lè)于參與,把知識(shí)、方法進(jìn)行整合“聚焦”,梳理解題思路,整合知識(shí)結(jié)構(gòu),引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題感悟數(shù)學(xué)思想[7]2.

反證法適用于數(shù)、形的推理,在不等式、一元二次方程、二次函數(shù)中都有應(yīng)用,當(dāng)“由因得果”正向推理有困難時(shí)都可以使用反證法(如圖11).

3 反證法的教學(xué)反思與收獲

3.1 反證法的“散”與“聚”

因反證法在蘇科版教材中“散”性特征,在教學(xué)過(guò)程中通常是得不到重視,建議以中考微專題復(fù)習(xí)課的形式開(kāi)展教學(xué).專題課形式可以將散落在各個(gè)年級(jí)段中的反證法“聚”起來(lái),厘清其教材編寫的邏輯、看清知識(shí)框架、弄清推理特征. 并根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況,合理安排課時(shí),在“新課標(biāo)”視角下認(rèn)真“挖掘”,讓反證法在代數(shù)推理、邏輯推理中占有一席之地.

3.2 反證法的“利”與“力”

反證法學(xué)習(xí)有利于引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度出發(fā)思考問(wèn)題,發(fā)展批判性思維能力,而批判性思維是數(shù)學(xué)精神的精髓,這種精神將利于發(fā)展學(xué)生的探究能力與創(chuàng)新意識(shí);反證法學(xué)習(xí)有利于幫助學(xué)生構(gòu)建高層次規(guī)律的思維方法,它有特殊的思維方式,不同于“由因得果”,類似于“執(zhí)果索因”;反證法學(xué)習(xí)有利發(fā)展學(xué)生解決問(wèn)題的多維思維方向,從另一個(gè)角度切入問(wèn)題,進(jìn)行邏輯推理,從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力、數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)解題能力.

反證法教學(xué)有利于提升教師對(duì)課標(biāo)的理解力,課標(biāo)是教學(xué)的底線,不是天花板,中考有其基礎(chǔ)性和選拔性雙重特征;反證法教學(xué)有利于提升教師對(duì)教材的挖掘力, 教材是寶藏,我相信除了反證法,教材中還有更多的財(cái)富有待挖掘;反證法教學(xué)有利于提升教師對(duì)學(xué)科的駕馭力,從數(shù)學(xué)學(xué)科的整體結(jié)構(gòu)、核心內(nèi)容和重要思想上重新把握和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容;反證法教學(xué)有利于提升教師對(duì)學(xué)生的認(rèn)識(shí)力,學(xué)生對(duì)反證法非常陌生,是學(xué)生學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)中的知識(shí)盲區(qū)和生長(zhǎng)點(diǎn).

反證法教學(xué)必有利于“精準(zhǔn)打擊”學(xué)生的問(wèn)題和困難,促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效益與品質(zhì)的提高,促進(jìn)學(xué)生全面、和諧、可持續(xù)發(fā)展[8].

3.3 反證法的“舍”與“得”

“反證法是數(shù)學(xué)家最有力的一件武器,比起象棋開(kāi)局時(shí)犧牲一子以取得優(yōu)勢(shì)的讓棋法,它還要高明. 象棋對(duì)弈者不外犧牲一卒或頂多一子,數(shù)學(xué)家索性把全局拱手讓予對(duì)方! ”[9]反證法的假設(shè)是充滿數(shù)學(xué)智慧的“舍”,正是這種有“舍”便會(huì)“得”的證明策略,凝聚成反證法的精髓.

數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)、實(shí)施素質(zhì)教育的功能. 反證法的“舍”與“得”與中華人文思想契合,對(duì)學(xué)生形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用,將有助于學(xué)生樹(shù)立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀.