白 洋， 趙華新

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

線性算子半群理論中的逼近定理一直是各類學(xué)者研究的重要內(nèi)容，對(duì)此眾多學(xué)者對(duì)此做了大量的研究.文獻(xiàn)[1 -4]討論了C半群的概率型逼近問題。 文獻(xiàn)[5 -6]分別討論了雙連續(xù)C半群的逼近定理和概率型逼近.文獻(xiàn)[7 -8]分別給出了雙參數(shù)C半群的逼近定理和Yosida 逼近.

文獻(xiàn)[9]討論了雙連續(xù)α次積分C半群的概率型逼近.文獻(xiàn)[10]給出了α次積分C半群的Trotter - Kato逼近.文獻(xiàn)[11]討論了n次積分C半群的概率型逼近. 文獻(xiàn)[12]討論了n階α次積分C半群的次生成元、Cauchy 問題、Laplace 變換.文獻(xiàn)[13 -14]給出了n階α次積分C半群的逼近定理和普映射定理.文獻(xiàn)[15 -16]給出了雙參數(shù)n階α次積分C半群的逼近定理和擾動(dòng)定理.本文通過借助算子半群理論的相關(guān)知識(shí)給出了指數(shù)有界雙參數(shù)的Laplace 變換和逼近定理，豐富了雙參數(shù)n階α次積分C半群的研究內(nèi)容.

在本文中，X為無限維的復(fù)Βanach空間，B(X)是X上的有界線性算子全體所構(gòu)成的Banach代數(shù)；D(A)為線性算子A的定義域，設(shè)n∈N，α≥0

T＝0 當(dāng)且僅當(dāng)存在n≥0，使JnΤ(t，s)＝0 ，t，s≥0 .

1 基本概念

定義1[15]設(shè)n∈N，α≥0，C∈B(X)是單射，有界線性算子族{T(t，s):t，s≥0}?B(X)稱為指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群，若有以下條件成立:

存在閉線性算子A ＝(A1，A2)滿足

{T (t，s):t，s ∈R}?B (X )強(qiáng)連續(xù)，即對(duì)每一個(gè)x ∈X 映射

強(qiáng)連續(xù).

存在M≥0，ω∈R使得?t，s≥0 有

稱A ＝(A1，A2)是{T(t，s):t，s≥0}的次生成元.

把G(M，ω，C，t，s)記為X內(nèi)的所有滿足｜｜T(t，s)｜｜≤｜｜C-1｜｜Meω(t＋s)的指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C

半群構(gòu)成的集合.

定義2指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群的次生成元是線性變換L:R2→L(X)定義為

其中A1，A2分別是指數(shù)有界單參數(shù)n階α次積分C半群{T(t，0)}t≥0和{T(0，s)}s≥0的次生成元，即

定義3 設(shè){T(t，s):t，s≥0}為指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群，A ＝(A1，A2)是其次生成元，若

為定義在Banach空間X上的有界線性算子，則稱λ為A ＝(A1，A2)的正則點(diǎn).為A ＝(A1，A2)的預(yù)解式.

全體正則點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為A ＝(A1，A2)的預(yù)解集，記為

2 主要結(jié)論

引理1[13]:令ω＞0，，設(shè)F(u)滿足Laplace型表達(dá)式:且則

定理1令指數(shù)有界雙參數(shù)n階α次積分C半群{T(t，s)}t，s≥0的次生成元為A ＝(A1，A2)，并且，則對(duì)，有

r ＞λ，對(duì)，有

特別的，當(dāng)(a ＋b)＝1 ，

而且(6)、(7)式的右端積分在關(guān)于t 的有限范圍內(nèi)是一致收斂的.

證明根據(jù)，故｜｜T(at，bt)｜｜≤Meω(t＋s)，設(shè)

顯然a(t)滿足引理1，又有

F(λ)＝

F(λ)滿足引理1，由引理1 知:

a(t)＝

即得(6)式

對(duì)(6)式兩邊同時(shí)作用A，得

在(8)式中對(duì)t求(n -1)次積分，得

由定義得

因?yàn)?/p>

得

令(a ＋b)＝1 ，上式轉(zhuǎn)換為:

定理2設(shè)A ＝(A1，A2)，An ＝(An1，An2)∈G(M，ω，C，t，s)，{T(t，s)}t，s≥0，{Tn(t，s)}t，s≥0分別是由A ＝(A1，A2)，An ＝(An1，An2)次 生 成的 雙 參 數(shù)n階α次 積 分C半 群，若?x∈X，t，s≥0，Tn(t，s)x→T(t，s)x(n→∞)，則

對(duì)

證明設(shè)?x∈X，t，s≥0，Tn(t，s)x→T(t，s)x(n→∞).根據(jù)預(yù)解式的定義，對(duì)Reλ ＞ω有

對(duì)上式兩邊取極限得，

即?x∈X，Reλ ＞ω，有

定理3設(shè)A，An∈G(M，ω，t，s)，{T(t，s)}t，s≥0，{Tn(t，s)}t，s≥0分別是由(A1，A2)，(An1，An2)次生成的雙參數(shù)n階α次積分C半群，若?x∈，(n→∞)，則對(duì)?x∈X，t≥0，有Tn(t，s)x→T(t，s)x(n→∞).

證明?x∈X，在固定區(qū)間t，s∈ [0，T]上有｜｜

其中D1＝｜｜Tn(t，s)

關(guān)于D1，由于｜｜Tn(t，s)｜｜≤Meω(t＋s)≤Meω(T＋S)，?x∈X，Reλ ＞ω，，有

即D1→0 .

關(guān) 于D3， 因 為T(t，s)x關(guān) 于t，s是 連 續(xù) 的 所 以， 所 以T(t，s)x將 緊 集 [0，T] 映 成 緊 集，{T(t，s)x:0 ≤t，s≤T}，又由于?x∈

則對(duì)T(t，s)x∈{T(t，s)x:0 ≤t，s≤T}有

即D3→0 .

關(guān)于D2，由定理2 知

則有

由已知條件知當(dāng)n→∞時(shí)且

從而有

即D2→0 .

從而對(duì)?x∈X，當(dāng)n→∞時(shí)，

?x∈D(A)，可以表示成的形式，

其中z∈X.所以?x∈X，