陳大光,劉昱鑫,劉興德,錢 程

(1.吉林化工學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院,吉林 吉林 132022;2.中國石油吉林石化公司,吉林 吉林 132021;3.吉林化工學(xué)院 機電工程學(xué)院,吉林 吉林 132022)

21世紀以來,社會發(fā)展越來越智能化、信息化,勞動力成本提高,市場需求對生產(chǎn)效率與精度要求逐漸提升,用工業(yè)機器人替代人工操作的方式成為發(fā)展趨勢[1]。隨著機器人技術(shù)的不斷進步,工業(yè)機器人操作已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各個行業(yè)領(lǐng)域。由于工業(yè)生產(chǎn)的要求變得復(fù)雜多樣,對機器人的要求更高,尤其是在運動規(guī)劃、抓取精準度等方面[2]。提升6R機械臂的性能、精度等方面運動學(xué)的研究就顯得尤為重要,也是對機械臂后續(xù)深層研究的基礎(chǔ)。對機械臂模型的建立和正逆運動學(xué)的分析,有許多種方法可以運用,例如常見的方法有D-H參數(shù)建模、數(shù)值解析法、幾何法,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法等方法,都可以對運動學(xué)進行求解[3]。

本文基于6R機械臂,采取改進D-H參數(shù)法建立模型,利用此方法對運動學(xué)模型進行正逆解分析,通過MATLAB軟件進行模擬仿真,驗證機械臂正逆解的合理性,并描繪六個關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃,為后續(xù)工作打下理論基礎(chǔ)。

1 機械臂運動學(xué)分析

1.1 機械臂基本結(jié)構(gòu)與模型建立

機械臂采用韓國現(xiàn)代公司生產(chǎn)的6R機械臂,該機械臂型號是Hyundai Hs220。因為此機械臂為6R機械臂,可以根據(jù)不同的位姿要求達到不同的空間位置,完成多種復(fù)雜的工作,所以被廣泛應(yīng)用于焊接、工件搬運與噴涂等領(lǐng)域[4]。機械臂結(jié)構(gòu)示意圖與工作范圍空間示意圖如圖1～2所示。

圖1 機械臂結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 機械臂工作范圍示意圖

在圖1～2的基礎(chǔ)上,通過改進的D-H參數(shù)法[5]建立六自由度機械臂模型,改進的D-H法由矩陣變換可以得到不同時刻機械臂的位姿,生成運動學(xué)方程。按照改進后的D-H參數(shù)法建立機械臂模型坐標系,機械臂模型坐標系如圖3所示。機械臂每個連桿D-H參數(shù)見表1,其中,αi-1表示沿著Xi-1軸方向,Zi-1旋轉(zhuǎn)到Zi的角度;ai-1表示沿著Xi-1軸方向,Zi-1到Zi的距離;di表示沿著Zi軸方向,Xi-1到Xi的距離;θi表示沿著Zi軸方向,Xi-1到Xi的角度。

圖3 機械臂坐標系

表1 機械臂D-H參數(shù)表

1.2 機械臂運動學(xué)分析

1.2.1 機械臂運動學(xué)正解分析

機械臂的正運動學(xué)是通過兩個相鄰連桿坐標系之間的矩陣變換的乘積,這個結(jié)果就是末端位姿矩陣[6]。在圖3建立機械臂各個關(guān)節(jié)的坐標系的基礎(chǔ)上,根據(jù)D-H參數(shù)法通過旋轉(zhuǎn)和平移后確立兩個連桿之間的角度、距離等參數(shù)得到其相對關(guān)系,因為本文使用的是改進的D-H法,所以齊次變換矩陣的通式為表達式(1)所示。

(1)

(6)

(7)

(8)

其中,nx=-c6{s5(c12s3+c13s2)+c5[s14-c4(c123-c1s23)]}-s6[c4s1+s4(c123-c1s23)];

ny=s6[c14-s4(c23s1-s123)]-c6{s5(c2s13+c3s12)-c5(c1s4+c4(c23s1-s123)]};

nz=s46(c2s3+c3s2)-c6[s5(c23-s23)+c45(c2s3+c3s2)};

ox=s6{s5(c12s3+c13s2]+c5[s14-c4(c123-c1s23)]}+c6[c4s1+s4(c123-c1s23)];

oy=s6{s5(c2s13+c3s12)-c5[c1s4+c4(c23s1-s123)]}-c6[c14-s4(c23s1-s123)];

oz=s6[s5(c23-s23)+c45(c2s3+c3s2)]-c6s4(c2s3+c3s2);

ax=c5[c12s3+c13s2)-s5(s14-c4(c123-c1s23)];

ay=c5[c2s13+c3s12)+s5(c1s4+c4(c23s1-s123)];

az=c5(c23-s23)-c4s5(c2s3+c3s2);

px=a1c1+a3(c123-c1s23)+d4(c12s3+c13s2)+a2c12;

py=a1s1+a3(c23s1-s123)+d4(c2s13+c3s12)+a2c2s1;

pz=d4(c23-s23)-a3(c2s3+c3s2)-a2s2.

(nx…az)為機械臂末端執(zhí)行器位姿矩陣的坐標,(pxpypz)為機械臂末端執(zhí)行器的位置描述。以上是采用改進的D-H法計算機械臂正運動學(xué)求解過程,通過計算可以得到機械臂末端的位姿向量坐標與位置描述。

1.2.2 機械臂運動學(xué)逆解分析

機械臂逆運動學(xué)求解方法,就是將正運動學(xué)的結(jié)果進行反推的過程,從而計算出每一個關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)角度θ1～θ6,實現(xiàn)對機械臂的有效控制[7]。逆運動學(xué)可以采用數(shù)值解法和封閉解法的方式來求得結(jié)果[8]。本文是利用封閉解法求解,能夠有效地解決機械臂逆運動學(xué)問題,從而大大降低逆解的計算復(fù)雜度。詳細求解步驟如下所示：

(9)

令式(9)中兩端(2,4)元素相等,即：

pyc1-pxs1=0 ,

(10)

得到：θ1=atan(py,px)或θ1=atan(-py,-px)。

(11)

(3)同理求解θ3,θ3=atan2(a3[-a3c3+d4s3)-d4(a3c3+d4s3),a3(a3c3+d4s3)+d4(-a3c3+d4s3)];

(4)同理求解θ4,θ4=atan2(s4,c4);

(5)同理求解θ5,θ5=atan2[ayc1-axs1,(nyc1-nxs1)c6+(oxs1-oyc1)s6];

(6)同理求解θ6,

θ6=atan2[(-oxc1c2-oyc2s1)s3-(Ozc2+oxc1s2+oys1s2)c3,(-ozs2+nxc1c2+nyc2s1-nzs2)s3+(nzc2nxc1s2+nys1s2)c3];

或者

θ6=atan2[(oxc1c2+oyc2s1)s3+(ozc2+oxc1s2+oys1s2)c3,(ozs2-nxc1c2-nyc2s1+nzs2)s3-(nzc2nxc1s2+nys1s2)c3].

2 機械臂的運動學(xué)仿真

對機械臂正逆運動學(xué)求解過程進行驗證時,一般使用MATLAB軟件中的Robotics Toolbox機器人工具箱,該工具箱可以建立符合研究目的運動學(xué)仿真模型[9],來驗證機械臂正逆運動學(xué)推導(dǎo)過程的正確性。通過使用改進D-H參數(shù)表1中的數(shù)據(jù)來進行程序編寫,對六自由度機械臂進行建模,設(shè)定6個關(guān)節(jié)初始角度都為0,其初始模型見圖4所示。

圖4 六自由度機械臂仿真模型

2.1 正運動學(xué)仿真

對于機械臂驗證正運動學(xué)仿真的過程,一般利用MATLAB基于fkine函數(shù)編程的工具箱驗證[10],主要是通過給定一組關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角角度數(shù)值θ1～θ6,帶入到式(8)的正運動學(xué)公式中,通過計算得到機械臂末端位姿矩陣的結(jié)果,然后同使用MATLAB軟件內(nèi)部工具箱仿真得到結(jié)果進行比較,看得到結(jié)果是否保持一致,如果一致則驗證了運動學(xué)的正確性。

(12)

MATLAB中的Robotics Toolbox工具箱仿真得到結(jié)果為：

(13)

通過兩者結(jié)果對比,驗證了六自由度機械臂正運動學(xué)的正確性。

2.2 逆運動學(xué)仿真

對逆運動學(xué)求解過程的正確性可以通過MATLAB軟件機器人工具箱提供ikine()函數(shù)進行逆運動學(xué)求解驗證[11],該函數(shù)能夠自動選取其中一組最優(yōu)逆解。對給定的已知正運動求解得到的位姿矩陣進行逆解,在MATLAB軟件進行逆運動學(xué)求解驗證,求解得到機械臂六個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)角度變量為

(θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6)=(0,0.523 3,-0.523 3,1.047 2,-1.047 2,0),該結(jié)果與設(shè)定的關(guān)節(jié)變量結(jié)果(θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6)=(0,π/6,-π/6,π/3,-π/3,0)對比,由于在計算過程中存在四舍五入位,誤差范圍保持在0.02%內(nèi),所以并不影響逆運動學(xué)運算驗證結(jié)果的正確性。

3 機械臂軌跡規(guī)劃仿真

通過對機器人的工作軌跡進行分析,可以確定一些關(guān)鍵點,并利用運動學(xué)原理來預(yù)測每個關(guān)節(jié)的運動趨勢。通過精確的計算機械臂的角位置、角速度和角加速度,并在關(guān)節(jié)空間中選取恰當?shù)膮?shù),可以構(gòu)建出一條平滑的連續(xù)擬合曲線[12]。

軌跡規(guī)劃方法有關(guān)節(jié)空間、笛卡爾空間規(guī)劃兩種,本文采用關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃,即在機械臂工作空間中隨機抽取兩點,通過MATLAB軟件工具箱中調(diào)用jtraj()函數(shù)對機械臂進行軌跡規(guī)劃仿真,以達到最優(yōu)的運動效果。設(shè)置關(guān)節(jié)起點A點(π/6,0,2π/3,π/3,0,0),終點設(shè)置為B點(π/2,π/6,0,0,-π/2,π/6),可以看到機械臂A點到B點動作的軌跡規(guī)劃,描繪出機械臂軌跡規(guī)劃仿真圖與機械臂A點到B點的末端軌跡圖見圖5圖6所示。

圖5 機械臂運動軌跡圖

(a) 角位移

圖6 機械臂末端運動軌跡圖

對機械臂6個關(guān)節(jié)隨時間變化量書寫程序進行模擬,得到角位移、角速度和角加速度變化的曲線如圖7所示。

圖7為機械臂各個關(guān)節(jié)仿真的曲線圖,從圖7(a)、(b)、(c)中可以看出機械臂在A點和B點處于零點狀態(tài),6個關(guān)節(jié)的角速度和角加速度都是零,各個關(guān)節(jié)的位移、角速度與角加速度的曲線變化連續(xù)、平穩(wěn),機械臂能夠穩(wěn)定地從起點A到終點B運動,驗證了機械臂軌跡規(guī)劃的合理性。

4 機械臂工作空間仿真

機械臂的工作空間由六個關(guān)節(jié)構(gòu)成,在表1關(guān)節(jié)角度范圍參數(shù)的限制下,其末端都能夠被有效地控制,從而實現(xiàn)各種復(fù)雜的任務(wù),這個末端機構(gòu)能夠達到的工作位置的集合就是工作空間。通過對該參數(shù)的評估,可以為機械臂的運行性能提供重要的參考。本研究使用蒙特卡洛法對機械臂進行工作空間仿真,機械臂工作計算點數(shù)越多,其工作空間越準確,點數(shù)過大會加大計算量,故本次選用參數(shù)為50 000,繪制出機械臂仿真工作空間各反射角度視圖的云圖。機械臂在XYZ坐標空間與各反射角度視圖平面的投影如圖8～11所示。

圖8 機械臂可達工作空間

圖9 機械臂工作空間XOY平面的投影

圖10 機械臂工作空間YOZ平面的投影

圖11 機械臂工作空間XOZ平面的投影

5 結(jié) 論

本文是基于韓國現(xiàn)代公司生產(chǎn)6R機械臂為研究目標,通過改進的D-H參數(shù)法對機械臂建立運動模型,得到正逆運動學(xué)解析式,利用MATLAB軟件內(nèi)工具箱對機械臂正逆運動學(xué)進行驗證分析,對各關(guān)節(jié)空間軌跡進行模擬仿真,繪制了各關(guān)節(jié)的參數(shù)仿真變化曲線圖,驗證了機械臂關(guān)節(jié)參數(shù)的合理性,最后利用蒙特卡洛法仿真得到機械臂各個反射角度的工作空間圖,為機械臂后續(xù)更深層研究提供一定的理論基礎(chǔ)。