毛 靜

（安康學(xué)院電子與信息工程學(xué)院 安康 725000）

1 引言

目前，為有效去除圖像噪聲，盡可能保持圖像結(jié)構(gòu)的邊緣/紋理等細(xì)節(jié)信息，多種去噪方法被應(yīng)用于圖像去噪工作中。例如空間域的中值濾波方法［1～2］、高斯濾波方法［3］、非局部均值濾波方法［4］、雙邊濾波方法［5］等，以及變換域的小波閾值方法［6］、奇異值分解方法［7］、曲波變換方法［8］和BM3D 算法［9］等。然而空間域去噪方法受原理限制，對(duì)于復(fù)雜圖像中噪聲去除較為困難。而變換域去噪方法對(duì)變換域系數(shù)做經(jīng)驗(yàn)性假設(shè)，單一固定的基函數(shù)難以自適應(yīng)復(fù)雜圖像特征，容易損傷圖像特征的細(xì)節(jié)信息，使圖像變得模糊，部分算法雖然具有較好的去噪能力，但是受算法原理限制，其計(jì)算效率有待進(jìn)一步提高。因而，數(shù)字圖像需要一種能夠既能較好消除圖像噪聲，又能最大程度保留圖像邊緣/紋理細(xì)節(jié)信息的高效率噪聲去除方法［10］。

近年來(lái)，數(shù)字圖像領(lǐng)域去噪方法較多，楊培在2018 年提出多信息結(jié)合字典方法，用于改善常規(guī)字典學(xué)習(xí)方法容易導(dǎo)致去噪結(jié)果模糊的問(wèn)題［11］，由于算法抗干擾能力較差，去噪結(jié)果有待提升。陶永鵬等人在2019 年將字典學(xué)習(xí)和變分模型相融合，能夠較好提升結(jié)果圖像的結(jié)構(gòu)相似性［12］，然而對(duì)于噪聲較強(qiáng)時(shí)去噪效果較差。朱路等在2020 年提出一種梯度域非參數(shù)的貝葉斯字典學(xué)習(xí)方法，對(duì)于圖像細(xì)節(jié)保護(hù)較好［13］，然而算法最優(yōu)的模型參數(shù)較難確定，使得去噪結(jié)果不夠理想。曲波變換具有方向性、多尺度性特征，能夠較好地表示信號(hào)的局部特征，然而合適閾值的確定較為困難，去噪結(jié)果有待提升。針對(duì)上述情況，本文結(jié)合K-SVD 算法和曲波變換的優(yōu)勢(shì)，對(duì)K-SVD 算法的字典訓(xùn)練和構(gòu)建方式進(jìn)行改進(jìn)，在曲波域構(gòu)建多尺度學(xué)習(xí)字典，克服單一尺度進(jìn)行圖像稀疏表示的局限性，使得新的字典具有多尺度分析優(yōu)點(diǎn)，進(jìn)而能夠自適應(yīng)、完整細(xì)致地表達(dá)圖像有效信息。經(jīng)一系列仿真模擬證實(shí)，改進(jìn)的去噪算法能夠有效提升去噪效果，對(duì)圖像的邊緣/紋理等細(xì)節(jié)保護(hù)較好，圖像質(zhì)量提升明顯。

2 曲波變換與字典學(xué)習(xí)原理

2.1 曲波變換

曲波變換最初由Candès 等提出［14］，先后經(jīng)歷兩次發(fā)展。目前應(yīng)用較廣的是第二代曲波變換，其表達(dá)式為

式中，j，l，k 分別表示尺度，角度以及位置參數(shù)，f 表示目標(biāo)函數(shù)，φj，l，k表示曲波函數(shù)，則頻率域的表達(dá)式為

經(jīng)過(guò)曲波變換后，曲波系數(shù)可以分為大尺度系數(shù)層、中尺度系數(shù)層和精細(xì)小尺度層，其中少數(shù)大尺度的曲波系數(shù)對(duì)應(yīng)圖像有效信號(hào)，而噪聲信號(hào)混雜在中、小尺度的曲波系數(shù)中［15］。以大小為256×256的圖像為例，曲波變換后，其曲波系數(shù)分為5個(gè)尺度，其尺度、方向等信息如表1所示。

表1 256×256圖像的尺度系數(shù)及其結(jié)構(gòu)信息

對(duì)式（1）的曲波系數(shù)進(jìn)行閾值，摒棄噪聲信號(hào)對(duì)應(yīng)的小值系數(shù)，保留有效信號(hào)對(duì)應(yīng)的大值系數(shù)，最后通過(guò)曲波反變換重構(gòu)有效信號(hào)即可獲取去噪結(jié)果。

2.2 K-SVD字典學(xué)習(xí)算法

K-SVD 算法主要包括稀疏編碼和字典更新兩個(gè)步驟，對(duì)于給定的原始無(wú)噪圖像I，含噪圖像X，設(shè)定學(xué)習(xí)字典D，則圖像的稀疏表示去噪可以表示為一個(gè)最優(yōu)問(wèn)題，其表達(dá)式為

在求解式（4）時(shí)，需要設(shè)置一個(gè)初始學(xué)習(xí)字典D0={dk

0;k=1，2，…，K}，該初始字典通常為隨機(jī)矩陣或者離散余弦變換系數(shù)組成，其中k 為迭代次數(shù)。然后計(jì)算稀疏編碼系數(shù)，則更新后的稀疏表示系數(shù)公式為

使用最小角回歸算法（Least angle regression，LARS）求解上式，得到圖像的稀疏表示系數(shù)，則更新后的字典公式為

將式（7）改寫(xiě)為矩陣形式，則去噪后的圖像表達(dá)式為

式中，E表示單位矩陣，I?表示去噪后圖像結(jié)果。

由于圖像有效信號(hào)具有良好的稀疏性，而噪聲不具備這一特點(diǎn)，根據(jù)這一特征，K-SVD 通過(guò)重構(gòu)圖像的稀疏表示信號(hào)實(shí)現(xiàn)效信號(hào)和噪聲信號(hào)分離目的。

3 多尺度學(xué)習(xí)字典的去噪算法

本文在綜合考慮曲波變換和K-SVD 算法的基礎(chǔ)上，提出基于多尺度特征的學(xué)習(xí)字典去噪算法，該算法綜合曲波變換和K-SVD 算法優(yōu)勢(shì)，能有效提升去噪效果和邊緣/紋理等細(xì)節(jié)保護(hù)能力，算法原理如下。

3.1 曲波變換及閾值預(yù)處理

對(duì)輸入圖像進(jìn)行離散曲波變換，對(duì)不同尺度的曲波系數(shù)進(jìn)行閾值處理并更新，則更新后的系數(shù)為

式中，x 表示更新后的曲波系數(shù)，c 表示更新前的曲波系數(shù)，Hτ表示閾值函數(shù)，j，l，k 分別表示尺度，角度以及位置參數(shù)。本文采用改進(jìn)的Bayes軟閾值算法對(duì)曲波系數(shù)進(jìn)行噪聲系數(shù)預(yù)處理，則各尺度條件下的閾值計(jì)算步驟為

1）估計(jì)各尺度條件下的噪聲方差σ2

2）估計(jì)圖像曲波系數(shù)方差σx2

則最終的閾值表達(dá)式為

然而，真實(shí)的噪聲方差很難估計(jì)，通常需要多次調(diào)試才能得到可靠閾值參數(shù)，因此本文建立一個(gè)稀疏反演模型，用于求解最優(yōu)閾值。

首先建立一個(gè)含噪的模型，其表達(dá)式為

其中，x表示有效圖像信息，n 表示噪聲信息，φj，l，k表示曲波函數(shù)，c 表示曲波系數(shù)。當(dāng)噪聲信息σ已知時(shí)，可以求解式（14）獲取圖像的有效信息x，從而實(shí)現(xiàn)噪聲去除，其表達(dá)式為

式中，σ表示噪聲方差，由于很難估計(jì)到實(shí)際圖像的真實(shí)噪聲情況，因此本文建立一個(gè)稀疏反演模型用于求解，其表達(dá)式為

式中，λ為正則化參數(shù)，求解式（15）得去噪后的有效信息。

實(shí)現(xiàn)上述目的的重點(diǎn)在于如何確定合適最優(yōu)的正則化參數(shù)，通常情況下，當(dāng)圖像中含有較弱的噪聲時(shí)，選取較小的λ值即可；當(dāng)含有較強(qiáng)噪聲時(shí)，需要選取較大的λ值，且只有選取的λ最優(yōu)時(shí)，才能取得最好的去噪效果。因此，對(duì)于不同尺度下的曲波系數(shù)，要選取不同的λ才能有效去除該尺度下的噪聲信息。

對(duì)于式（15），本文采用一種改進(jìn)迭代逼近的軟閾值方法求取正則化參數(shù)λ，即首先應(yīng)用一個(gè)較大的λ參數(shù)求解式（15）得到下一次迭代的初始解，然后逐步減小正則化參數(shù)λ并求解直至獲取最優(yōu)的正則化參數(shù)，為實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)閾值求取，本文定義一個(gè)中間變量參數(shù)，其公式為

由式（16）可知，隨著正則化參數(shù)逐漸減小，‖xk‖1逐漸增大，‖ ＜x，φj，l，k＞-c(j，l，k)‖2也逐漸減小，則中間變量參數(shù)Pk先變大后減小，實(shí)驗(yàn)表明，只有當(dāng)Pk為極大值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的閾值即為最優(yōu)閾值。

3.2 在線(xiàn)字典的初始化

按照稀疏表示理論將式（12）中的每一個(gè)尺度的曲波系數(shù)矩陣按照既定規(guī)格分割為n 塊，每一小塊數(shù)據(jù)成為一個(gè)樣本xi，在進(jìn)行字典學(xué)習(xí)前，每一層曲波系數(shù)設(shè)置一個(gè)初始學(xué)習(xí)字典，則在當(dāng)前尺度、角度和位置下的初始字典可以設(shè)置為D(j，l，k)0={dt0;

t=1，2，…，K}，其中t 為迭 代 次數(shù)，通常將該初始字典設(shè)置為一個(gè)隨機(jī)矩陣。

為避免稀疏表示系數(shù)矩陣中出現(xiàn)小值，通常對(duì)該初始字典列向量的二范數(shù)進(jìn)行約束，則約束公式為

式中，?表示字典矩陣的凸集，Rm×k表示m×k的實(shí)數(shù)矩陣，dt表示字典矩陣的列向量，dT t表示字典矩陣的列向量的轉(zhuǎn)置。

3.3 在線(xiàn)字典的學(xué)習(xí)和更新

1）循環(huán)進(jìn)行稀疏編碼

根據(jù)式（5），使用LARS計(jì)算稀疏編碼系數(shù)。

式中，αt表示當(dāng)前循環(huán)次數(shù)下計(jì)算得到的稀疏系數(shù)，xt表示當(dāng)前循環(huán)次數(shù)下的曲波系數(shù)矩陣，α表示原始含噪圖像的曲波系數(shù)x(j，l，k)的稀疏系數(shù)，m表示設(shè)定的循環(huán)次數(shù)。

2）中間量更新

At為中間變量，且A=[a1，a2，…，ak]∈Rk×k，其目的在于方便字典更新，通常設(shè)置初始量為零矩陣。在每次迭代過(guò)程中，當(dāng)前循環(huán)次數(shù)的數(shù)據(jù)塊xt矩陣中包含由η個(gè)有效信號(hào)xt1，xt2，…，xtη，則迭代更新后為

式中，

定 義 中 間 變 量Bt，且Bt=[b1，b2，…，bk]∈Rm×k，通常設(shè)置初始量為零矩陣。在每次迭代過(guò)程中，當(dāng)前循環(huán)次數(shù)的數(shù)據(jù)塊xt矩陣中包含由η個(gè)有效信號(hào)，則迭代更新量為

3）字典更新

采用式（20）和式（21）完成字典的更新，則當(dāng)前迭代次數(shù)t的字典為

對(duì)式（22）進(jìn)行求解，兩邊對(duì)D 求導(dǎo)，則式（22）變?yōu)?/p>

式中，E 為單位矩陣，At為對(duì)稱(chēng)矩陣，則式（23）可繼續(xù)推導(dǎo)為

以字典的列向量為目標(biāo)，進(jìn)行逐列求導(dǎo)，則式（24）變?yōu)?/p>

將式（25）與牛頓迭代法結(jié)合，則得到字典的第m列更新值：

將上述更新值進(jìn)行歸一化處理，則最終的第m列更新后字典值為

循環(huán)結(jié)束，得到當(dāng)前尺度、角度和位置的最終字典DT(j，l，k)。

3.4 去噪處理

最后將稀疏系數(shù)αt和最終字典DT相乘，去噪后的曲波系數(shù)AT為

3.5 曲波逆變換

對(duì)上述曲波系數(shù)進(jìn)行疊加并執(zhí)行曲波逆變換，則得到最終處理后的圖像結(jié)果，其逆變換公式為

4 算法測(cè)試與應(yīng)用

為驗(yàn)證本文算法，本文采用含加性噪聲的標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像進(jìn)行測(cè)試。原始無(wú)噪圖像和含噪圖像如圖1所示，然后采用K-SVD算法、雙邊濾波方法、非局部均值濾波方法、曲波變換算法、BM3D 算法、文獻(xiàn)［10］方法、文獻(xiàn)［11］方法、文獻(xiàn)［12］方法以及本文方法進(jìn)行測(cè)試。將圖1（b）所示的含噪圖像作為輸入圖像，對(duì)不同方法去噪結(jié)果的峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）和結(jié)構(gòu)相似度（Structural similarity，SSIM）值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果見(jiàn)表2。

圖1 原始無(wú)噪圖像和含噪圖

表2 仿真結(jié)果的峰值信噪比-結(jié)構(gòu)相似度

由表2 可知，45 組測(cè)試結(jié)果中，K-SVD 結(jié)果的PSNR 平均提升為39.7%，SSIM 平均提升0.36；雙邊濾波結(jié)果的PSNR 平均提升為45.5%，SSIM 平均提升0.38；非局部均值濾波結(jié)果的PSNR 平均提升為49%，SSIM 平均提升0.394；曲波變換結(jié)果的PSNR平均提升50.1%，SSIM 平均提升0.402；BM3D 結(jié)果的PSNR 平均提升56.62%，SSIM 平均提升0.442；文獻(xiàn)［10］方法結(jié)果的PSNR 平均提升52%，SSIM 平均提升0.406；文獻(xiàn)［11］方法結(jié)果的PSNR 平均提升53.7%，SSIM 平均提升0.418；文獻(xiàn)［12］方法結(jié)果的PSNR 平均提升54.8%，SSIM 平均提升0.424；本文方法的PSNR 平均提升56.6%，SSIM 平均提升0.436。上述結(jié)果中，具有最高PSNR 和SSIM 的一組結(jié)果是BM3D 方法產(chǎn)生，本文方法和BM3D 結(jié)果最為接近。

然后將圖1（d）所示的含噪圖像采用不同方法去噪，九種處理結(jié)果如圖2 所示。為詳細(xì)分析細(xì)節(jié)保持情況，對(duì)圖2 中的方框區(qū)域圖像進(jìn)行放大顯示，放大結(jié)果位于各自圖像的左上角位置。

圖2 不同去噪方法的測(cè)試結(jié)果圖

由圖2 可知，K-SVD 方法去噪結(jié)果中，圖像邊緣信息較為模糊，紋理細(xì)節(jié)有所損傷；雙邊濾波結(jié)果中，出現(xiàn)“振鈴”現(xiàn)象；非局部均值去噪結(jié)果，去噪程度較好，但是邊緣較模糊；曲波變換去噪效果要稍好于K-SVD 結(jié)果、雙邊濾波結(jié)果和非局部均值結(jié)果，但是去噪結(jié)果的局部細(xì)節(jié)仍舊有所模糊，存在部分“線(xiàn)狀”噪聲，具體如圖2（d）。文獻(xiàn)［10］方法結(jié)果、文獻(xiàn)［11］方法結(jié)果和文獻(xiàn)［12］方法結(jié)果，相對(duì)上述四種方法結(jié)果而言，圖像質(zhì)量明顯較好，但是相對(duì)BM3D 方法和本文方法結(jié)果而言，其圖像局部細(xì)節(jié)的質(zhì)量依然存在模糊或者存在“振鈴”現(xiàn)象。本文方法的處理結(jié)果和BM3D 結(jié)果最好，兩種方法結(jié)果中的邊緣/紋理細(xì)節(jié)保持較好，圖像整體與原始無(wú)噪圖像最為接近，具體如圖2（e）、圖2（i）所示。

5 結(jié)語(yǔ)

本文結(jié)合K-SVD 方法的自適應(yīng)性以及曲波變換多尺度、方向性?xún)?yōu)勢(shì)，提出改進(jìn)的多尺度學(xué)習(xí)字典去噪算法，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像測(cè)試，證實(shí)本文方法具有很好的去噪能力和邊緣/紋理等細(xì)節(jié)保持效果。相比較常規(guī)算法而言，效果較好，去噪結(jié)果和BM3D 結(jié)果最為接近，去噪能力和BM3D 方法幾乎一致。但是計(jì)算效率明顯優(yōu)于BM3D 方法，在圖像處理中具有一定的推廣應(yīng)用效果。