劉 萍 謝雪梅

1 深圳市龍華區(qū)福城街道辦事處土地整備中心,深圳市觀光路1354號(hào),518000 2 中南林業(yè)科技大學(xué)土木工程學(xué)院,長沙市韶山南路498號(hào),410004

由Bayes估計(jì)原理可知,當(dāng)先驗(yàn)信息和觀測信息均可靠時(shí),參數(shù)最小二乘估計(jì)滿足無偏、一致、有效性[1-2]。但當(dāng)先驗(yàn)信息不可靠時(shí),先驗(yàn)信息和觀測信息對參數(shù)解的貢獻(xiàn)不同。這時(shí)需要給先驗(yàn)信息賦予一個(gè)權(quán)值以平衡觀測信息與先驗(yàn)信息的權(quán)比,從而控制先驗(yàn)信息對參數(shù)解的影響[3]。許多學(xué)者研究了先驗(yàn)信息的權(quán)值問題,如Durbin[4]和Theil等[5-6]提出混合估計(jì)方法,Schaffrin等[7]在混合估計(jì)的基礎(chǔ)上提出加權(quán)混合估計(jì)。這些算法大多注重于計(jì)算效率和估計(jì)的優(yōu)良性,沒有提供先驗(yàn)信息權(quán)值的計(jì)算方法,不能直接用于大地測量數(shù)據(jù)處理。平衡損失函數(shù)綜合考慮模型擬合優(yōu)度與參數(shù)估計(jì)的精度,建立了一個(gè)新的參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則[2,8]。在統(tǒng)計(jì)決策上,它是使均方誤差達(dá)到最小的估計(jì)[8]。由于現(xiàn)有的算法無法計(jì)算先驗(yàn)信息權(quán)值,平衡估計(jì)方法在測繪工程中的應(yīng)用較少。本文基于Bayes估計(jì)原理,在平衡估計(jì)準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上,研究觀測信息可靠時(shí)先驗(yàn)信息對平差結(jié)果的影響,建立先驗(yàn)信息的判別統(tǒng)計(jì)量,給出一個(gè)自適應(yīng)計(jì)算平衡因子的方法,控制不準(zhǔn)確的先驗(yàn)信息對參數(shù)解的影響。

1 參數(shù)的Bayes估計(jì)

一般平差模型可寫為:

L=AX+e

(1)

式中,A為m×n維系數(shù)矩陣,rank(A)

E(X)=X0,cov(X)=ΣX=S-1

(2)

式中,X0是已知向量;ΣX為已知正定矩陣。觀測向量L的條件分布f(L|X)=N(AX,Σ),可得到參數(shù)向量X的驗(yàn)后分布為[9]:

(L-AX)TP(L-AX)]}

(3)

式中,∝表示成正比例關(guān)系。由Bayes估計(jì)的準(zhǔn)則[10],f(X|L)=max,因此有:

(L-AX)TP(L-AX)+

(X-X0)TS(X-X0)=min

(4)

由式(4)對X求極值,由矩陣的微分法得:

(ATPA+S)X=ATPL+SX0

(5)

(6)

可以看出,X的Bayes線性無偏估計(jì)是先驗(yàn)信息X0和觀測信息L的一個(gè)線性組合。當(dāng)觀測信息的先驗(yàn)信息和觀測信息可靠(觀測誤差服從正態(tài)分布)時(shí),參數(shù)極大驗(yàn)后估計(jì)是一個(gè)線性無偏最小方差估計(jì)[3]。

2 平衡準(zhǔn)則下的參數(shù)估計(jì)

為了平衡觀測信息與先驗(yàn)信息的權(quán)比,控制不準(zhǔn)確的先驗(yàn)信息對參數(shù)解的影響,在式(4)的基礎(chǔ)上給先驗(yàn)信息賦予一個(gè)權(quán)值:

(L-AX)TP(L-AX)+

α(X-X0)TS(X-X0)=min

(7)

對參數(shù)向量X求極值:

-ATP(L-AX)+αS(X-X0)=0

(8)

(9)

(10)

3 平衡因子的計(jì)算

(11)

(12)

下面是根據(jù)統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造的一個(gè)兩段函數(shù)平衡因子,其原理類似于Huber函數(shù)[11]:

(13)

4 模擬算例

為了驗(yàn)證平衡估計(jì)在參數(shù)解算中的效果,設(shè)計(jì)如下算例:設(shè)有一測邊網(wǎng)(圖1),P0為起算點(diǎn),P1、P2、P3、P4、P5的真實(shí)坐標(biāo)已知(表1),邊長的觀測值是利用真實(shí)坐標(biāo)與隨機(jī)誤差計(jì)算得到的,誤差范圍為(-0.05 m, 0.05 m),觀測邊長視為同精度(表2)。相對于近似坐標(biāo)的改正數(shù)構(gòu)成的未知向量為X=[x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5]T。

表1 點(diǎn)的坐標(biāo)Tab.1 Coordinates of the points

圖1 測邊網(wǎng)Fig.1 Distance-measuring network

對觀測方程進(jìn)行線性化可以得到相應(yīng)平差模型L=AX+e,其中,A和L為別為:

L=(-0.158 9,0.436 8,-2.535 2,-1.430 0,-0.041 1,-0.774 4,

2.870 3,0.058 1,-0.637 9,-0.360 0,-1.774 4,-1.154 8)T

計(jì)算結(jié)果見表3,算例分析與說明如下。

表3 幾種平差算法的比較Tab.3 Comparison of several adjustment methods

2)表3中的m(X)表示如下的均方誤差:

式中,Xreal為真值。

5)利用平衡估計(jì)準(zhǔn)則可以很好地改善參數(shù)估計(jì)的性能,提高參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性。α1=0.919 9說明當(dāng)先驗(yàn)信息準(zhǔn)確度高時(shí),平衡因子給予觀測信息的權(quán)大;α2=0.587 9說明當(dāng)先驗(yàn)信息準(zhǔn)確度低時(shí),平衡因子給予觀測信息更小的權(quán),驗(yàn)證了本文方法具有按照先驗(yàn)信息自適應(yīng)調(diào)節(jié)平衡的功能。

5 結(jié) 語