桓坤

摘要：多元（一般以二元或三元為主）函數(shù)的最值或取值范圍問題，是各類考試中一類常見的熱點問題，破解的關(guān)鍵是合理恒等變形，巧妙運算轉(zhuǎn)化，借助消元或換元處理，利用齊次化法、主元函數(shù)法、方程或不等式的判別式法與幾何法等來分析與處理，形成能力，總結(jié)并掌握破解規(guī)律，引領(lǐng)并指導解題研究與應用．

關(guān)鍵詞：齊次化；主元；判別式；幾何；最小值

1問題呈現(xiàn)

問題已知實數(shù)a，b滿足a4－2b2+2≤0，則a2+3b2a2+b2的最小值為．

此題以二元的高次不等式為問題條件背景，改變傳統(tǒng)比較常見的方程形式，以不等式形式來創(chuàng)設(shè)情境，進而確定對應的二元齊次分式的代數(shù)關(guān)系式的最值問題．

抓住二元代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，破解此類問題的基本常規(guī)思路主要包括以下幾類基本技巧與方法：齊次化法，主元函數(shù)法，方程或不等式的判別式法與幾何法等，從代數(shù)視角與幾何視角進行多方位切入，通過基本不等式、函數(shù)與方程、直線與拋物線的位置關(guān)系以及導數(shù)及其應用等知識的交匯與綜合來分析與處理，展示精彩紛呈的思維與方法．

2問題破解

方法1：（齊次化法）

解：當a=0時，可得b2≥2，則有a2+3b2a2+b2=3；

當a≠0時，令t=b2a2≥0，由a4－2b2+2≤0可得a2－2·b2a2+2a2≤0，

結(jié)合基本不等式，可得b2a2≥a22+2a2≥2a22×2a2=2，當且僅當a22=2a2，即a4=2時等號成立，

則有t=b2a2≥2，此時a2+3b2a2+b2=3t+1t+1=3－2t+1，

所以當t=2時，3－2t+1取得最小值為3－22+1=73，即a2+3b2a2+b2≥73.

綜上分析，可知a2+3b2a2+b2的最小值為73．

解后反思：根據(jù)題目條件處理二元高次代數(shù)式問題，齊次化消元處理是解決問題的首選思維方法．結(jié)合所求代數(shù)式的二元齊次分式的結(jié)構(gòu)特征，合理齊次化處理，巧妙換元處理，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，方便求解相應的最值問題，也是破解的常規(guī)思維方式，特別要注意的就是正確確定參數(shù)的取值范圍的限制．

方法2：（主元法）

解：由a4－2b2+2≤0，可得b2≥a42+2，

當a=0時，可得b2≥2，則有a2+3b2a2+b2=3；

當a≠0時，

那么利用基本不等式，可得a2+3b2a2+b2=3－2a2a2+b2≥3－2a2a2+a42+2=3－22a2a4+2a2+2=3－22a2+2+2a2≥3－222a2×2a2+2=3－2222+2=73，當且僅當a2=2a2，即a4=2時等號成立.

綜上分析，可知a2+3b2a2+b2的最小值為73．

解后反思：根據(jù)題目條件中涉及的多元函數(shù)關(guān)系或不等式條件，主元意識是實現(xiàn)單變量函數(shù)最值問題求解的基本策略．通過條件中的二元高次不等式進行主元化處理，利用所求二元分式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，綜合不等式性質(zhì)以及基本不等式來巧妙轉(zhuǎn)化與合理應用，主次分明，思路流暢．

方法3：（判別式法）

解析：設(shè)t=a2+3b2a2+b2>0，1

代入a4－2b2+2≤0，可得3-tt-12b4－2b2+2≤0，

由于以上含b2的二次不等式有解，則知判別式Δ=2－83-tt-12≥0，

則有3-tt-12≤14，結(jié)合1

所以a2+3b2a2+b2的最小值為73．

解后反思：根據(jù)題目條件所求的二次分式進行整體換元，通過待定系數(shù)法加以變形與轉(zhuǎn)化，進而代入條件中的不等式進行消參處理，構(gòu)建一元二次不等式，借助不等式有解的條件，通過判別式的構(gòu)建來分析與處理，也是一種非常不錯的選擇．待定系數(shù)法引入?yún)?shù)，借助一元二次方程或不等式有解的背景，通過判別式法來建立不等式，是求解參數(shù)的最值或取值范圍問題中的一種巧妙方法．

方法4：（幾何法）

解析：令a2=x，b2=y，則由a4－2b2+2≤0，整理可得y≥12x2+2≥2，

由于a2+3b2a2+b2=1+2b2a2+b2=1+2yx+y=1+2xy+1，那么只需求yx的最小值，即拋物線y=12x2+2在第一象限上的任意一點與坐標原點的連線的斜率的最小值，即過坐標原點的切線斜率，

如圖所示，求導有y′=2x，不妨設(shè)切線方程為y－x02+22=2x0（x－x0），

將（0，0）代入以上切線方程，可得x0=2，

則知過坐標原點的切線斜率k切線=2x0=2，可知k≥2，

所以a2+3b2a2+b2=1+2xy+1≥1+212+1=73，

所以a2+3b2a2+b2的最小值為73．

解后反思：根據(jù)題目條件進行合理換元處理，結(jié)合所求代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，合理聯(lián)想其所對應的幾何結(jié)構(gòu)與幾何意義，通過構(gòu)造局部拋物線圖形，利用直線與拋物線的位置關(guān)系來數(shù)形結(jié)合，通過導數(shù)的幾何意義以及直線與拋物線的相切來確定最值問題．數(shù)形結(jié)合是借助代數(shù)式的幾何結(jié)構(gòu)與幾何意義加以直觀轉(zhuǎn)化的一種特殊形式與技巧策略．

3教學啟示

3.1考點剖析，知識交匯

多元（一般以二元或三元為主）函數(shù)的最值或取值范圍問題是近年高考數(shù)學中的一個熱點，題目的考查往往可以巧妙融入到其他知識模塊中去，考試中通常不以直接問題的考查形式出現(xiàn)，一般與函數(shù)與方程、不等式、平面向量、三角函數(shù)、平面解析幾何、立體幾何等知識點加以巧妙結(jié)合.因此平時要加強多元函數(shù)的最值或取值范圍問題的處理的方式的訓練與應用．

3.2思維視角，能力提升

破解此類多元（一般以二元或三元為主）函數(shù)的最值或取值范圍問題，要充分挖掘題目內(nèi)涵與問題本質(zhì)，深入理解并巧妙整合，通過齊次化法，主元函數(shù)法，方程或不等式的判別式法與幾何法等，從代數(shù)或幾何視角，綜合函數(shù)或方程、不等式、平面向量、三角函數(shù)、解析幾何等思維方式來處理.舉一反三，靈活變通，真正達到融會貫通，數(shù)學知識、數(shù)學能力、數(shù)學思維等層面融合，形成數(shù)學知識體系，提高數(shù)學能力．

參考文獻：

［1］ 程華.從“一題多解”審思解題教育的思維培養(yǎng)［J］.數(shù)學通報，2020，59（8）：50-54.

［2］ 李海軍.一個不等式的探究與推廣［J］.數(shù)學通報.2022，61（5）：60-62.

［3］ 張誠.初中生數(shù)學思維發(fā)散障礙的呈現(xiàn)與突破［J］.教學與展現(xiàn)，2017，NO.719（34）：47-48.

［4］ 周興偉.一道一題多解題的賞析與延伸［J］.數(shù)學通報，2006（9）：45-47.