張利河

摘要：“楊輝三角”是中國(guó)悠久數(shù)學(xué)文化的代表之一.其蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)規(guī)律，其中，從楊輝三角的斜看或橫看，各列各行的數(shù)字排列規(guī)律代表著不同數(shù)列，這些獨(dú)自看來(lái)互不相關(guān)的不同數(shù)列，不同的通項(xiàng)公式以及求各公式，卻在楊輝三角中直觀地顯而易見(jiàn)地得到答案.將這些數(shù)列與楊輝三角以及組合數(shù)之間的特性放在一起學(xué)習(xí)，從中尋找彼此間密切的聯(lián)系，以拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)視野，構(gòu)建完整知識(shí)體系，達(dá)到融會(huì)貫通事半功倍的效果.

關(guān)鍵詞：楊輝三角；二項(xiàng)式系數(shù)；數(shù)列問(wèn)題

中國(guó)古代數(shù)學(xué)曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，“楊輝三角”便是這燦爛的篇章中的光輝一頁(yè)，是中國(guó)悠久數(shù)學(xué)文化的代表之一.楊輝三角看似簡(jiǎn)單的數(shù)字排列，卻蘊(yùn)含著眾多精彩絕倫的數(shù)學(xué)結(jié)論，以及博大精深的數(shù)學(xué)文化.楊輝三角將二項(xiàng)式系數(shù)用直觀圖形表示出來(lái)，能將很多繁雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題得到簡(jiǎn)便解決.

楊輝三角的結(jié)構(gòu)性質(zhì)：

（1） 楊輝三角每一行左右兩端的數(shù)相等，即Crn=Cn-rn.

（2） 楊輝三角每一行除頭尾兩數(shù)都是1外，其余的各數(shù)都等于其“肩上”相鄰兩數(shù)之和，即Crn+Cr-1n=Crn+1.

（3） 楊輝三角第n行為（a+b）n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，第n行第m列數(shù)為Cm-1n.

在楊輝三角的結(jié)構(gòu)性質(zhì)中，從楊輝三角的斜看或橫看，各列各行的數(shù)字排列規(guī)律代表著不同數(shù)列，這些獨(dú)自看來(lái)互不相關(guān)的不同數(shù)列，不同的通項(xiàng)公式以及求各公式，卻在楊輝三角中直觀地顯而易見(jiàn)地得到答案.下面談?wù)剮讉€(gè)不同的數(shù)列是怎樣不約而同地出現(xiàn)在楊輝三角當(dāng)中.

1常數(shù)列

楊輝三角第一列數(shù)：1、1、1、1……，為常數(shù)數(shù)列.

（1） 通項(xiàng)公式：an=1.

（2） 前n項(xiàng)和：Sn=n.

2正整數(shù)數(shù)列

楊輝三角第二列數(shù)：1、2、3、4、5、6……，為正整數(shù)數(shù)列.

（1） 通項(xiàng)公式：an=C1n=n.

（2） 前n項(xiàng)和：Sn=C11+C12+C13+…+C1n=C2n+1.

即Sn=1+2+3+…+n=（n+1）n2.

證明：Sn=C11+C12+C13+…+C1n

=C22+C12+C13+…+C1n

=C23+C13+…+C1n

=…

=C2n+1=（n+1）n2.

評(píng)析：用組合數(shù)性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)正整數(shù)列前n項(xiàng)和公式更顯直觀.即，第二列前n個(gè)數(shù)之和等于第三列第n+1行的數(shù)C2n+1.

3三角形數(shù)

楊輝三角第三列數(shù)：1、3、6、10、15、21，為三角形數(shù)，三角形數(shù)特點(diǎn)就是這些數(shù)能夠組成各個(gè)等邊三角形的點(diǎn)的數(shù)目，所以將這樣的數(shù)稱(chēng)為三角形數(shù).

（1） 3.1通項(xiàng)公式：an=C2n+1=（n+1）n2.

即，三角形數(shù)第n個(gè)數(shù)第三列第n+1行的數(shù)C2n+1.

（2） 前n項(xiàng)和：Sn=C22+C23+C24+C25+…+C2n+1=C3n+2=（n+2）（n+1）n6.

用數(shù)列“累加法”可推導(dǎo)出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，若用楊輝三角可直觀看出該通項(xiàng)公式就是第二列的前n個(gè)數(shù)之和，即，C11+C12+C13+…+C1n=C2n+1.求該數(shù)列的前n項(xiàng)和若用數(shù)列知識(shí)求解顯得繁雜，可在楊輝在楊輝三角上其結(jié)論也是一目了然.即該數(shù)列的前n項(xiàng)和就是第四列的第n個(gè)數(shù)C3n+2.

4四面體數(shù)

楊輝三角第四列數(shù)：1、4、10、20、35、56……，為四面體數(shù)，四面體數(shù)就是構(gòu)成一個(gè)四面體所需要的點(diǎn)的數(shù)目，四面體數(shù)每層為三角形數(shù).即，四面體數(shù)列第n個(gè)的數(shù)an為楊輝三角第4列數(shù)第為n+2行的數(shù)C3n+2，

（1） 通項(xiàng)公式：an=C3n+2=（n+2）（n+1）n6，

（2） 前n項(xiàng)和：Sn=C33+C34+C35+C36+…+C3n+2=C4n+3=（n+3）（n+2）（n+1）n4×3×2.

評(píng)析：三面體數(shù)1、4、10、20、35、56…，該數(shù)列的前n項(xiàng)和若用數(shù)列知識(shí)求解更顯得繁雜，可在楊輝在楊輝三角上其結(jié)論也是一目了然.即該數(shù)列的前n項(xiàng)和就是第5列的第n個(gè)數(shù)C4n+3.

由上述可知，楊輝三角的前四列數(shù)分別表示四個(gè)不同的數(shù)列，第一列數(shù)是通項(xiàng)為1的常數(shù)列；第二列數(shù)為正整數(shù)數(shù)列，且第一列數(shù)的前n項(xiàng)和為該數(shù)列通項(xiàng)公式；第三列數(shù)為三角形數(shù)，且第二列數(shù)的前n項(xiàng)和為該數(shù)列通項(xiàng)公式；第四列數(shù)為四面體數(shù)，且第三列數(shù)的前n項(xiàng)和為第四列數(shù)的通項(xiàng)公式.四個(gè)不同的數(shù)列在楊輝三角中可看出有著密切聯(lián)系，那就是它們前一列數(shù)的前n項(xiàng)和就是下一數(shù)列的通項(xiàng)公式.這些不同的數(shù)列，用同一個(gè)組合數(shù)式子：Crr+Crr+1+Crr+2+…+Crr+n=Cr+1r+n+1，就可非常直觀地表明它們的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式聯(lián)系.假如從斜看楊輝三角已經(jīng)展其的神奇魅力.那么從橫看楊輝三角一樣有其獨(dú)特風(fēng)采.

5楊輝三角第n行的數(shù)列有下列特點(diǎn)

（1） 第n行的數(shù)字之和為2n即，C0n+C1n+C2n+C3n+…+Cnn=2n.

（2） 第n行所有數(shù)字的平方和恰好是第2n行的中間一項(xiàng)的數(shù)字，即（C0n）2+（C1n）2+…+（Cnn）2=Cn2n.

證明：

（1） 因?yàn)椋?+x）n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn

令x=1，可得C0n+C1n+C2n+C3n+…+Cnn=2n.

（2） 因?yàn)椋?+x）2n=（1+x）n（1+x）n=

（C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn）·（Cnnxn+Cn-1nxn-1+Cn-2nxn-2+…+C0n），

則由xr項(xiàng)和xn-r項(xiàng)相乘即可得到xn這一項(xiàng)的系數(shù)為：

（C0n）2+（C1n）2+…+（Cnn）2=Cn2n，

而Cn2n是二項(xiàng)式（1+x）2n的展開(kāi)式中第n+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)（即xn的系數(shù)），

故（C0n）2+（C1n）2+…+（Cnn）2=Cn2n.

6楊輝三角揭示了11為底的冪的值

11n=（10+1）n=C0n10n+C1n10n-1+C2n10n-2+C3510n-3+…+Cnn，觀察楊輝三角每一行數(shù)字特點(diǎn)可直觀看出，將楊輝三角每一行的數(shù)字“緊密”地排成一排構(gòu)成一個(gè)整數(shù)，這個(gè)數(shù)就是11n的值，如果各行當(dāng)中出現(xiàn)大于等于10的時(shí)候，將十位數(shù)加到它左側(cè)數(shù)字上留下個(gè)位數(shù)，依此類(lèi)推，如果出現(xiàn)了大于等于100的數(shù)的時(shí)候，同樣進(jìn)位處理即可.這也是楊輝三角的漂亮之處.如：

例：如圖所示，下列關(guān)于楊輝三角的說(shuō)法中正確的有（）

A. C22+C23+C24+…+C211=220.

B. 1+C16+C27+C38=C39.

C. 將楊輝三角每一行中所有的1去掉，留下新數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則該數(shù)列的前57項(xiàng)和T55=4 150.

D. 由“11=111，121=112=，1331=113=”猜想：117=19 487 171.

解：（1） 因?yàn)镃22+C23+C24+…+C211=C312=220，故A正確.

（2） 因?yàn)?+C16+C27+C38=C55+C56+C57+C58=C69=84，故B正確.

（3） 楊輝三角去掉1之后，留下的各行數(shù)個(gè)數(shù)成首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，除去第一行，剩下的每一行剩下的項(xiàng)數(shù)分別為1，2，3…，構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，令項(xiàng)數(shù)之和為n（n+1）2=55，n的最大整數(shù)為10，即剛好為楊輝三角第11行，因?yàn)闂钶x三角前11行數(shù)字之和S11=1+21+22+23+…+211=212-1，這11行中共去掉了23個(gè)1為T(mén)55，

T55=212-1-23=4 072，故C錯(cuò)誤.

（4） 因?yàn)闂钶x三角第7行數(shù)為1、7、21、35、35、21、7、1，將它們“擠壓”到一起.出現(xiàn)兩位數(shù)的時(shí)候?qū)⑹粩?shù)加到它左側(cè)數(shù)字上可得，117=19 487 171，所以D正確.故選：ABD.

7斐波那契數(shù)列

將楊輝三角各向左對(duì)齊，換一角度“斜”向看，斜線(xiàn)和依次為：1、1、2、3、5、8、13、21、34……這些數(shù)構(gòu)成斐波那契數(shù)列.

a1=1，a2=1，a3=2，an=an－1+an－2（n≥3）即，

8萊布尼茨三角形

萊布尼茨三角形是第一行為1，第二行為兩個(gè)12，兩腰的數(shù)字依次是其行行數(shù)的倒數(shù)，從第二行開(kāi)始，下一行相鄰兩個(gè)數(shù)的和恰好等于上面的數(shù).

評(píng)析：根據(jù)萊布尼茨三角形的數(shù)字排列秩序，可發(fā)現(xiàn)其與楊輝三角形也有著的密切聯(lián)系.觀察萊布尼茨三角形的數(shù)字排列規(guī)律，可發(fā)現(xiàn)萊布尼茨三角形與楊輝三角形也有著的密切聯(lián)系.將萊布尼茨三角第n行所有數(shù)字提出公因數(shù)1n+1后，其留下的三角形上各數(shù)恰好為將楊輝三角各數(shù)的倒數(shù)，即1（n+1）Crn+1（n+1）Cr+1n=1nCrn-1.

楊輝三角，這些表面看上去只是一堆排列整齊的數(shù)字，它可是一個(gè)數(shù)學(xué)的寶藏.楊輝三角中所蘊(yùn)藏了很多優(yōu)美的結(jié)論，讓世界各國(guó)數(shù)學(xué)家而著迷.印度數(shù)學(xué)家稱(chēng)它為“須彌山之梯”.在伊朗，它是“海亞姆三角”.各個(gè)不同時(shí)期數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些數(shù)學(xué)規(guī)律在楊輝三角中悄然“融會(huì)”，并將這些抽象的數(shù)學(xué)規(guī)律在楊輝三角中輕松“貫通”.比如上述例舉一系列重要數(shù)列同時(shí)在楊輝三角中找到身影.楊輝三角外形之整齊對(duì)稱(chēng)美，更有內(nèi)在美，這是一種有文化有內(nèi)含有韻味的氣質(zhì)美，楊輝三角作為我國(guó)燦爛悠久的歷史文化，其魅力不僅在過(guò)去而且在當(dāng)今依然不減，楊輝三角還有什么不為人知的神奇的性質(zhì)，有待所有數(shù)學(xué)愛(ài)好者繼續(xù)探索和發(fā)現(xiàn).