丘文松 , 李 媛 ,2

(1.黑龍江大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 哈爾濱 150080;2.黑龍江大學(xué) 黑龍江省復(fù)雜系統(tǒng)與計(jì)算重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 哈爾濱 150080)

0 引 言

近年來,反散射領(lǐng)域中的一個熱點(diǎn)問題是研究關(guān)于人工參數(shù)的特征值[1-10]。與傳統(tǒng)的由物理波數(shù)充當(dāng)特征值[11-12]相比,采用人工參數(shù)作為特征值有兩個優(yōu)勢:一是重構(gòu)這些特征值時(shí)無需使用多頻數(shù)據(jù),物理波數(shù)可以始終固定且為實(shí)值;二是這些特征值(包括復(fù)特征值)能夠由測量的散射數(shù)據(jù)決定。由于這些特征值攜帶散射體的本質(zhì)信息,因此可以作為目標(biāo)特征用于無損探測領(lǐng)域,在應(yīng)用方面具有極大的潛在價(jià)值。

外Steklov特征值是含有腔體的介質(zhì)反散射中出現(xiàn)的一類關(guān)于人工參數(shù)的特征值,其相關(guān)的數(shù)學(xué)理論由文獻(xiàn)[7]給出。同時(shí),該文獻(xiàn)采用了推廣的線性抽樣法[13]來重構(gòu)這類特征值,測量的散射場數(shù)據(jù)和入射點(diǎn)源位于腔體內(nèi)的同一流形上。文獻(xiàn)[7]中的數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明,外Steklov特征值的改變可以表征介質(zhì)參數(shù)的變化。因此,為了使這類特征值能夠作為目標(biāo)特征應(yīng)用于介質(zhì)的無損探測領(lǐng)域,構(gòu)造具有高精度和穩(wěn)定性的重構(gòu)特征值的算法至關(guān)重要。

本文采用交互間隙法(Reciprocity gap method)來重構(gòu)外Steklov特征值[14],測量的總場的Cauchy數(shù)據(jù)和入射點(diǎn)源位于腔體內(nèi)的不同流形上。交互間隙法已被應(yīng)用至一系列反散射問題的研究中[15-21],其優(yōu)點(diǎn)是無需散射體的任何先驗(yàn)信息,也無需構(gòu)造背景介質(zhì)的Green函數(shù)。本文的主要思想來源于文獻(xiàn)[22]利用交互間隙法重構(gòu)內(nèi)Steklov特征值,而本文將重構(gòu)外Steklov特征值。

1 正散射問題和外Steklov特征值問題

設(shè)D?d(d=2, 3)為包含原點(diǎn)的單連通有界Lipschitz區(qū)域,ν為其邊界?D上的單位外法向量。D1為d上包含D的有界Lipschitz區(qū)域,n∈L∞(d)滿足條件:(i) 在D及內(nèi)n=1; (ii) 在內(nèi)幾乎處處有Re(n)≥n*>0,Im(n)≥0,其中n*為常數(shù)。

(1)

式中:k>0為波數(shù);ui=Φ(·,x0)表示位于x0處的點(diǎn)源;Φ(·,x0)為Helmholtz方程在d中的基本解;x為各函數(shù)的自變量。在前述關(guān)于n的假設(shè)下,問題(1)是適定的[23]。

設(shè)B和C均為d中的光滑區(qū)域,滿足C?B?D,其中B包含原點(diǎn)。在每個x0∈?C處放置點(diǎn)源,并在?B上測量對應(yīng)的總場的Cauchy數(shù)據(jù)u(x,x0)和?νu(x,x0),這里

u(·,x0)=ui+us(·,x0),x∈D{x0}

(2)

假設(shè)1假設(shè)k2不是-Δ在C內(nèi)的Dirichlet特征值。

外Steklov特征值問題可描述為[7]:尋找λ∈和一個非平凡的函數(shù)使得

(3)

稱λ為一個外Steklov特征值,w為相應(yīng)的特征函數(shù)。由文獻(xiàn)[7]可知,問題(3)的外Steklov特征值若存在,將構(gòu)成下半復(fù)平面上的一個離散集。

(4)

式中λ∈;x0∈?C;ν為?B上的單位外法向量。從文獻(xiàn)[7]知,若λ不是實(shí)數(shù),則問題(4)是適定的。由于所研究的目標(biāo)是重構(gòu)外Steklov特征值,故以下總假設(shè)Im(λ)<0,因此問題(4)是適定的。為了后面的使用,記為

(5)

2 交互間隙法

設(shè)U和Uλ分別為問題(1)～(2)的解u(x,x0)和問題(4)～(5)的解uλ(x,x0)構(gòu)成的解集。定義交互間隙泛函為

其中v1在B{x0}(對所有的x0∈?C)內(nèi)滿足Δv+k2v=0,v2∈H(這里,H(

定義單層位勢

且令

交互間隙法是求積分方程

R(uλ(·,x0)-u(·,x0),vg(·))=R(uλ(·,x0),Φz(·)), ?x0∈?C

(6)

的近似解g∈L2(?C),其中Φz(·)=Φ(·,z),z∈

引理1假設(shè)Im(λ)<0。若對于所有的uλ∈Uλ,有

則在?B上f=0。

(7)

由于Im(λ)<0,則問題(7)是適定的。利用Green表示定理、Green第二公式和uλ滿足的邊界條件,有

=0, ?x0∈?C

定義算子N:L2(?C)→L2(?C)為

Ng:=R(uλ(·,x0)-u(·,x0),vg(·)),x0∈?C

(8)

定理1假設(shè)Im(λ)<0。若λ不是問題(3)的一個外Steklov特征值,則由式(8)定義的算子N是單射。

證明假設(shè)對所有的x0∈?C,有Ng=0,且(ps,p)滿足

Δps+k2ps=0,x∈DΔp+k2np=0,x∈
p-ps=vg,x∈?D
?νp-?νps=?νvg,x∈?D

(9)

(10)

式中BR是d中以原點(diǎn)為中心,R為半徑的球體,且BR嚴(yán)格包含D1。由于w和p均為Helmholtz方程在內(nèi)的輻射解,故當(dāng)R→∞時(shí),式(10)中?BR上的積分趨于0,從而

(11)

此外,由Green第二公式可知,

(12)

利用式(11)、式(12)以及uλ在?B上滿足的邊界條件,有

=R(uλ-u,vg)

=0

(13)

延拓ps至上,使得ps=p-vg,則由問題(9)、式(13)和引理1可知,滿足

因?yàn)棣瞬皇菃栴}(3)的一個外Steklov特征值,故在內(nèi)ps+vg=0。由問題(9)和唯一延拓原則可知,在內(nèi)ps+vg=0。根據(jù)跡定理和單層位勢的連續(xù)性知,在?C上ps+vg=0。由假設(shè)1,在C內(nèi)ps+vg=0。因此,在?C上,(?νps)+=-(?νvg)+, (?νps)-=-(?νvg)-

下面給出利用測量的總場的Cauchy數(shù)據(jù)重構(gòu)外Steklov特征值的主要定理。

定理2假設(shè)Im(λ)<0,則如下結(jié)論成立:

(1) 若λ不是問題(3)的一個外Steklov特征值,則對任意的z∈都存在序列{gn}?L2(?C),使得

(14)

(2) 若λ是問題(3)的一個外Steklov特征值,則對每個滿足

(15)

的序列{gn}?L2(?C)和幾乎每個z∈都有∞。

證明首先證明(i)。因?yàn)棣瞬皇菃栴}(3)的一個外Steklov特征值,則設(shè)wz是

Δwz+k2nwz=0,x∈
?νwz+λwz=?νΦ(·,z)+λΦ(·,z),x∈?B

(16)

的解,其中z∈仍設(shè)BR是d中以原點(diǎn)為中心、充分大的R為半徑且嚴(yán)格包含D1的球體。由Green表示定理,有

由于wz(·)和Φ(x,·)均為Helmholtz方程在內(nèi)的輻射解,在上式中令R→∞,則有

(17)

(18)

(19)

再利用式(18)及與得到式(11)類似的討論可得

(20)

從式(18)～式(20)及wz滿足的邊界條件,有

(21)

設(shè)(h,hs)為

(22)

的解。由于vi在內(nèi)滿足Helmholtz方程,則采用與定理1中得到式(11)和式(12)類似的討論,可得

(23)

和

(24)

結(jié)合式(21)、式(23)和式(24)以及uλ在?B上滿足的邊界條件,有

由引理1,有

?ν(hs+vi-Φz)+λ(hs+vi-Φz)=0,x∈?B

(25)

記

定義

則在Bρ內(nèi)vλ=0。根據(jù)唯一延拓原則,在內(nèi)vλ=0。再定義

則從單層位勢的跳躍關(guān)系知,在?B上,

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

由于問題(3)是非自伴的特征值問題,其特征值在一般情況下的存在性目前還是公開問題[7]。為了檢驗(yàn)交互間隙法重構(gòu)特征值的有效性,針對外Steklov特征值存在的一種情形給出數(shù)值算例。

在?C上100個等距分布的點(diǎn)處輪流放置點(diǎn)源,對于每個點(diǎn)源,在100個等距分布在?B上的節(jié)點(diǎn)處計(jì)算總場的Cauchy數(shù)據(jù),并采用帶噪聲的Cauchy數(shù)據(jù)進(jìn)行反演,噪聲水平為ε。利用分離變量法求解正散射問題(1)和輔助問題(4)。盡管外Steklov特征值都位于下半復(fù)平面上,但為了觀測到某些靠近實(shí)軸的特征值,選取的抽樣域?qū)⒏采w實(shí)軸上方較窄的帶型域。具體地,選取抽樣域?yàn)閇1,4.4]×[-2.2,0.2],網(wǎng)格剖分步長取為0.1。針對抽樣域內(nèi)的每個抽樣點(diǎn)λ和每個z∈(R0,10R0)(理論上z∈即可,但從數(shù)值實(shí)現(xiàn)的角度,z需取自外的有界域內(nèi),這里R0為?B的半徑),利用Tikhonov正則化和Morozov偏差原則求解積分方程(6)的離散形式,得到方程的近似解gλ的度量||gλ||l2,方程(6)中的所有積分都通過矩形公式進(jìn)行離散。事實(shí)上,對每個抽樣點(diǎn)λ都隨機(jī)選取5個z,將對應(yīng)的5個||gλ||l2的平均值作為最終的示性函數(shù),仍記為||gλ||l2。通過作出||gλ||l2關(guān)于λ的圖像,圖像上的峰值點(diǎn)在抽樣域上的投影即可被認(rèn)為是外Steklov特征值的近似。

從外Steklov特征值的解析表達(dá)式可以算出,選定的抽樣域中含有四個精確的特征值(見表1的第二行),分別對應(yīng)于m=0,1,2,3,這里的m表示對應(yīng)的特征函數(shù)在上的限制為m階第一類Hankel函數(shù)。圖1和圖2分別給出了噪聲水平ε=5%和ε=2%時(shí)的特征值重構(gòu)結(jié)果,其中白色的星號代表精確特征值的位置,各等高線簇的中心(即示性函數(shù)的極值點(diǎn))代表重構(gòu)的特征值。可以看出,當(dāng)ε=5%時(shí),能夠清晰地確定m=0, 1時(shí)的兩個特征值,但幾乎無法確定另外兩個特征值。當(dāng)噪聲水平降至2%時(shí),可以同時(shí)觀測到四個特征值,見表1的第三行。因?yàn)槌闃泳W(wǎng)格的步長是0.1,因此重構(gòu)的特征值只能取到小數(shù)點(diǎn)后1位。這說明所采用的方法可以很好的重構(gòu)出給定抽樣域內(nèi)的特征值。

表1 m取不同值時(shí)精確的和重構(gòu)的特征值,m表示對應(yīng)的特征函數(shù)在上的限制為m階第一類Hankel函數(shù)

Table 1 Exact and reconstructed eigenvalues for different values of m, where m is the order of Hankel function of the first kind as the corresponding eigenfunction refined in

表1 m取不同值時(shí)精確的和重構(gòu)的特征值,m表示對應(yīng)的特征函數(shù)在上的限制為m階第一類Hankel函數(shù)

m0123精確的特征值1.267 7-1.785 2i1.286 8-1.499 2i2.202 2-0.294 4i4.034 6-0.006 9i重構(gòu)的特征值1.3-1.8i1.3-1.5i2.2-0.3i4.0-0.0i

由于在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中使用的噪聲數(shù)據(jù)是隨機(jī)生成的,多次測試下的等高線形狀會存在一些差異,但基本不會影響到與m=0,1,2對應(yīng)的三個特征值。在某些次的測試中,對應(yīng)于m=3的特征值可能會被重構(gòu)為 4.1-0.0i,考慮到網(wǎng)格步長的選取,這種偏差是可以接受的?？傊?與文獻(xiàn)[7]相比,為了同時(shí)觀測到給定抽樣域內(nèi)的幾個特征值,本方法無需噪聲水平低至千分點(diǎn)甚至萬分點(diǎn),顯然對實(shí)際測量中噪聲出現(xiàn)的環(huán)境要求更寬松。一個合理的解釋是所采用的已知數(shù)據(jù)是總場的Cauchy數(shù)據(jù),而文獻(xiàn)[7]中采用的是散射場的數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)信息的增加可能彌補(bǔ)更大的噪聲對重構(gòu)結(jié)果的影響。

4 結(jié) 論

給出了由總場的Cauchy數(shù)據(jù)來重構(gòu)外Steklov特征值的交互間隙法,基于一個含有交互間隙泛函的線性積分方程,用于反演的測量數(shù)據(jù)和入射點(diǎn)源位于腔體內(nèi)的不同流形上。給出了該方法的理論分析,尤其是建立了積分方程近似解的爆破性質(zhì)和外Steklov特征值之間的聯(lián)系。數(shù)值算例表明,在給定的抽樣區(qū)域內(nèi),利用該方法能夠比較準(zhǔn)確的重構(gòu)出幾個外Steklov特征值,但所能重構(gòu)出的特征值數(shù)目與測量數(shù)據(jù)的噪聲水平有關(guān)。在后續(xù)的研究中,將考慮利用交互間隙法重構(gòu)其他類型的關(guān)于人工參數(shù)的特征值,如修正的外Steklov特征值等。此外,還將針對已經(jīng)確定有存在性結(jié)論的特征值類型,在數(shù)值上考慮腔體和介質(zhì)的幾何形狀以及介質(zhì)參數(shù)(特別是吸收介質(zhì)情形)等因素對重構(gòu)效果的影響。