劉樹穎

（福州大學(xué)梅努斯國際工程學(xué)院，福建 福州 350108）

0 引言

新型冠狀病毒的爆發(fā)對全球公共衛(wèi)生造成了巨大的破壞性影響。通過構(gòu)建隔室模型預(yù)測重要指標，例如感染病例、解釋疫情的動態(tài)變化和爆發(fā)機制，使衛(wèi)生保健系統(tǒng)能及時采取有效措施應(yīng)對相關(guān)問題。

新冠肺炎（COVID-19）疾病符合流行病在不同隔室的物理傳播機制。彭源源[1]定性分析了多種傳染病模型在COVID-19 的應(yīng)用?？紤]政府可能采取管控措施，例如封鎖政策，各學(xué)者對模型進行優(yōu)化。劉擁民等[2]使用Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測COVID-19 的傳播特性，以了解疫情的關(guān)鍵節(jié)點。

基于上述分析，該文結(jié)合隔室模型的可解釋性和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的準確性，考慮疫苗對疫情的影響，增加疫苗接種隔室，以優(yōu)化隔室模型，將基礎(chǔ)的SEIRD 和優(yōu)化的SEIRDV的隔室模型作為主干網(wǎng)絡(luò)，通過PINN 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對微分方程參數(shù)進行學(xué)習(xí)。重點關(guān)注感染隔室的數(shù)據(jù)，應(yīng)用4 種評估指標（平均絕對誤差、均方誤差、均方根誤差和決定系數(shù)）驗證模型的準確性，并對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到的參數(shù)進行合理性檢驗。

1 方法

采用基礎(chǔ)的SERID、優(yōu)化的SERIDV 隔室模型以及PINN 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合隔室的模型。

1.1 隔室模型

隔室模型常應(yīng)用于傳染病動力學(xué)，包括隔室：易感者（S）、暴露者（E）、傳染者（I）、康復(fù)者（R）和死亡者（D）。易感者指未感染病毒且可能被感染的人群；暴露者指已感染病毒但還不具有傳染性的人群，這意味他們處于病毒的潛伏期；感染者指已感染病毒且具有傳染性的人群；康復(fù)者指已恢復(fù)、因體內(nèi)有抗體而不易被病毒再次感染的人群；死者指死于病毒的人群。

以廣泛被研究的SEIRD 隔室模型為基礎(chǔ)，其微分方程如公式（1）~公式（5）所示。

式中：S（t）為易感者數(shù)量；t為時間；I（t）為傳染者數(shù)量；E（t）為暴露者數(shù)量；R（t）為康復(fù)者數(shù)量；D（t）為死亡者數(shù)量；β為感染率；γ為潛伏期倒數(shù)；λ為恢復(fù)期倒數(shù)；ρ為死亡期倒數(shù)；κ為死亡率。

在SEIRD 隔室模型的基礎(chǔ)上，考慮疫苗對疫情的影響，該文創(chuàng)新性地加入了疫苗接種（V）隔室。這個隔室指已經(jīng)完全接種疫苗的人群，當疫苗有效時，他們因獲得病毒抗體而不易被感染；當疫苗無效時，認為他們成為感染者。SEIRD 隔室模型的微分方程如公式（6）~公式（11）所示。

式中：V（t）為接種疫苗者數(shù)量；σ為疫苗無效率。

1.2 基于物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（PINN）

PINN 利用先驗知識來指導(dǎo)學(xué)習(xí)，其由2 個部分組成，一部分是負責(zé)輸出預(yù)期結(jié)果的網(wǎng)絡(luò)，另一部分是計算導(dǎo)數(shù)的殘差模塊，殘差由物理定律定義的預(yù)期導(dǎo)數(shù)與獲得的導(dǎo)數(shù)生成，先驗知識是不同隔室之間的傳輸流。PINN 與SEIRD 隔室模型組合形成的結(jié)構(gòu)如圖1 所示，與SEIRDV隔室模型組合形成的結(jié)構(gòu)與其類似。

圖1 PINN+SEIRD 模型的結(jié)構(gòu)（包括1 個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和1 個微分方程系統(tǒng)）

該文采用一個密集連接的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它有2 層16 個隱藏單元，以時間t為輸入，產(chǎn)生SEIRD 和SEIRDV 隔室模型的所有組成部分（S、E、I、R、D 和V）。殘差模塊對這些成分進行自動微分，以獲得計算殘差的導(dǎo)數(shù)，這個模型的損失函數(shù)是由第一部分的回歸損失和微分模塊的殘差損失組成的。

1.3 數(shù)據(jù)集

主要數(shù)據(jù)來自世衛(wèi)組織COVID-19 儀表板，包括美國每日病例、死亡和疫苗使用的官方計數(shù)以及世界實時統(tǒng)計數(shù)據(jù)的美國每日確診病例數(shù)據(jù)。將2 個數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)合并，采用7 d 移動平均過濾器來平滑數(shù)據(jù)。選擇確診病例的3個上升趨勢作為3 個獨立的訓(xùn)練期，3 個數(shù)據(jù)集在選定時間的數(shù)據(jù)變化趨勢如圖2 所示。

圖2 3 個階段的感染者、恢復(fù)者、死亡者和疫苗接種者數(shù)據(jù)圖

1.4 評估指標

該文使用4 個評估指標（平均絕對誤差（MAE）、均方誤差（MSE）、均方根誤差（RMSE）和決定系數(shù)（R2_score））來定量評估所提出的模型的性能。當MAE、MSE和RMSE越接近于0、R2_score越接近1 時，模型表現(xiàn)越好。其中，MSE和RMSE是在MAE的基礎(chǔ)上進行改進的，如公式（12）~公式（14）所示。

式中：y為需要進行評估的結(jié)果；為原始的數(shù)據(jù)；m為數(shù)據(jù)的大小。

以上3 種評估指標容易受變量量綱大小的影響，當人數(shù)較多時，指標數(shù)值較大，不易看出效果，因此引入R2_score進行評估，如公式（15）所示。

式中：y為需要進行評估的結(jié)果；N為數(shù)據(jù)的大小。

2 試驗

展示PINN 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和隔室模型的試驗設(shè)置、試驗過程、結(jié)果數(shù)據(jù)、對結(jié)果的評估以及對結(jié)果的合理性解釋。

2.1 試驗設(shè)置

設(shè)置PINN 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的迭代次數(shù)為5 000，有1 層輸入層、4 層隱含層和1 層輸出層。其中輸入層輸入數(shù)據(jù)集的感染者、恢復(fù)者、死亡者和疫苗接種者數(shù)據(jù)，4 層隱含層每層有32 個節(jié)點用于學(xué)習(xí)隔室模型的微分方程參數(shù)，最后的輸出層輸出隔室模型中各隔室的數(shù)據(jù)。因為暴露者（E）隔室的數(shù)據(jù)不易從數(shù)據(jù)集中獲取，所以在對其他隔室的數(shù)量進行學(xué)習(xí)后，從總?cè)藬?shù)中減去其他隔室，得到E 隔室數(shù)據(jù)。

2.2 試驗過程

在3 個階段的數(shù)據(jù)集上分別進行PINN+SERID 組合模型和PINN+SEIRDV 組合模型的試驗，因為第一階段缺失疫苗接種人數(shù)的數(shù)據(jù)，所以只應(yīng)用PINN+SERID 組合模型。數(shù)據(jù)集中80%的數(shù)據(jù)用于學(xué)習(xí)，剩下20%的數(shù)據(jù)用于預(yù)測。

首先，對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出來說，分時間階段呈現(xiàn)感染者的數(shù)據(jù)，以大致觀察輸出結(jié)果對其增長趨勢的學(xué)習(xí)效果。其次，用4 個評估指標對學(xué)習(xí)和預(yù)測的感染者數(shù)據(jù)與原始感染者數(shù)據(jù)進行誤差分析，以驗證組合模型的準確性。最后，對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的參數(shù)進行合理性分析，驗證用隔室模型補充神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的可解釋性。

2.3 試驗結(jié)果

3 個階段的感染者人數(shù)的試驗結(jié)果如圖3 所示，PINN+SEIRD 組合模型可以很好地擬合和預(yù)測數(shù)據(jù)，還可以較準確地判斷峰值，說明SEIRD 隔室模型可以反應(yīng)疫情的基本情況，PINN+SEIRDV 組合模型也可以很好地擬合和預(yù)測數(shù)據(jù)，較準確地判斷峰值，但是效果比PINN+SEIRD 組合模型的效果差，應(yīng)用4 個評估指標可以得到更準確的判斷結(jié)果。

圖3 PINN+SEIRD 和PINN+SEIRDV 組合模型在3 個數(shù)據(jù)集上擬合和預(yù)測的感染者結(jié)果

由表1 可知，PINN 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的SEIRD 隔室模型的效果普遍比SEIRDV 隔室模型的效果好，其原因可能是隨著隔室增加，微分方程更復(fù)雜，需要神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的參數(shù)增加了2 個，在相同的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)下，學(xué)習(xí)效果會減弱。但是R2_score的值均大于0.9，可以認為2 種組合模型有良好的效果。

表1 PINN+SEIRD 和PINN+SEIRDV 組合模型在3 個數(shù)據(jù)集上擬合和預(yù)測的感染者的評估指標

對PINN 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)得到的隔室模型微分方程參數(shù)進行合理性判斷。PINN 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對2 種隔室模型學(xué)習(xí)的參數(shù)見表2。由表2 可知，階段一是疫情初期，染率較高，為0.997，在6 d 左右被感染的人就開始存在感染性，且死亡率較高，被感染的人情況嚴重。因為缺失部分疫苗接種者的數(shù)據(jù)，所以得到的死亡率參數(shù)值較大，一般認為死亡率為0.15。緩解這一問題的方法可能是將參數(shù)κ的學(xué)習(xí)與其他的學(xué)習(xí)分開，根據(jù)參數(shù)κ的圖表可知，它的值相當小，而且隨著時間變化得很穩(wěn)定。由于該文PINN+SEIRDV 模型引入了更多的參數(shù)，因此會導(dǎo)致欠擬合，可能需要一個更大的數(shù)據(jù)集或增加優(yōu)化器來找到其最佳參數(shù)。對階段二和階段三來說，在考慮疫苗接種的情況下，2 種隔室模型的感染率均降低，新增加的疫苗接種率較高，且疫苗無效率較低。一般認為疫苗接種率為0.6，疫苗無效率為0.1，疫苗接種的參數(shù)不太準確，考慮為疫情后期，大部分人已接種疫苗，新增的接種疫苗人數(shù)不高。因此通過PINN 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的參數(shù)較合理，模型有良好的可解釋性。

表2 PINN 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)得到的隔室模型微分方程參數(shù)值

3 結(jié)語

綜上所述，在3 個數(shù)據(jù)集上通過PINN 學(xué)習(xí)SEIRD 和SEIRDV 隔室模型的微分方程參數(shù)得到的感染隔室的擬合和預(yù)測結(jié)果良好，對峰值的動態(tài)性預(yù)測良好，驗證了疫苗接種隔室的有效性，且神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的參數(shù)有一定合理性，針對有偏差的參數(shù)提出了可能的原因和解決方法，驗證了隔室和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型具有良好的解釋性。

上述試驗是在美國的COVID-19 數(shù)據(jù)集上進行的，未來可以專注于不同國家的、更廣泛的數(shù)據(jù)集。