王健翔，任瑞琪

（1.蘇州大學(xué) 能源學(xué)院，江蘇蘇州，215006；2.蘇州市計量測試院，江蘇蘇州，215006）

0 引言

在工程應(yīng)用中，物體的導(dǎo)熱系數(shù)是非常重要的熱物性參數(shù)之一，其值隨物體的材質(zhì)、溫濕度和雜質(zhì)成分而變化[1]。導(dǎo)熱系數(shù)的準確測定是一項重要的研究課題，已有很多研究者對影響其準確測定的因素展開了研究[2～6]。在大學(xué)教學(xué)實驗中，一般采用“穩(wěn)態(tài)平板法測導(dǎo)熱系數(shù)實驗”來講解導(dǎo)熱系數(shù)的測定原理、實施方法和影響因素。由于該方法存在測試時間長、精度相對較低、功耗高和被測物體內(nèi)部溫度場無法描述等問題，導(dǎo)致實驗演示效果不理想。已有很多研究者對該實驗進行了改進和優(yōu)化[7～10]，但效果都有限且對教學(xué)實驗而言操作過于繁瑣。為此，亟須一種反應(yīng)迅速、實驗結(jié)果穩(wěn)定、可實現(xiàn)多種工況的實驗設(shè)備。同時為響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，設(shè)備應(yīng)該低功耗、智能化，具備與虛擬現(xiàn)實相結(jié)合的數(shù)字接口[11]。

在上述背景下，基于傳熱學(xué)和電學(xué)問題的可遷移性[12～13]，提出了一種電學(xué)的模擬實驗教學(xué)裝置。擬通過電壓和溫度的遷移、電路和熱流的遷移類比，達到高速、高精度、低功耗且實驗結(jié)果穩(wěn)定的目標。鑒于電學(xué)參數(shù)條件容易改變和測量，也可通過改變電學(xué)參數(shù)的方式，提供多種實驗工況的模擬和物體內(nèi)部溫度場的描述。

1 實驗原理

■1.1 穩(wěn)態(tài)平板法測導(dǎo)熱系數(shù)原理

對一厚度為δ，無內(nèi)熱源，導(dǎo)熱系數(shù)為λ=A+Bt的無限大平板，一側(cè)以恒定的熱流密度q加熱。在穩(wěn)態(tài)下，平板兩側(cè)的溫度分別為t1和t2。根據(jù)傅里葉定律[14]，板內(nèi)溫度場可由導(dǎo)熱微分方程式(1)描述：

其中：

對(1)積分并應(yīng)用(2)邊界條件，得：

在實驗中，給定一個恒定的熱流，并測出樣品的厚度和兩側(cè)溫度，即可求出樣品的平均導(dǎo)熱系數(shù)。實驗的精度取決于溫差、厚度和熱流的測定精度，其中以熱流的精準測量難度最高。

■1.2 傅里葉定律和歐姆定律數(shù)學(xué)表述相似性

給定一段材質(zhì)均勻、橫截面積為s的等截面導(dǎo)體，其電阻率為ρ，長度為l。當(dāng)其兩端電勢分別為E1和E2時，根據(jù)歐姆定律[15]，流過該導(dǎo)體的電流I可以表示為：

分別對式(4)和式(5)作如下改寫：

不難發(fā)現(xiàn)，兩者在數(shù)學(xué)表達形式上是完全一致的，都是將某一流量表示為一個物性參數(shù)和一個勢能差的乘積，因此兩者在物理場也滿足相同的分布規(guī)律。從式(6)中可以看出，在進行電學(xué)模擬時，熱學(xué)中的熱流q由電學(xué)中的電流I等效；待測的導(dǎo)熱系數(shù)λm由電阻率的倒數(shù)1/ρ等效，且兩者都會隨著溫度變化而變化；溫差Δt則是通過電勢差ΔE來進行等效。此外，熱學(xué)實驗中的板材厚度δ、電學(xué)實驗中的導(dǎo)體長度l和導(dǎo)體橫截面s在同一個實驗中都是定值。由此便建立了電學(xué)和熱學(xué)實驗之間的等效關(guān)系。

■1.3 模擬方法

穩(wěn)態(tài)平板法測導(dǎo)熱系數(shù)實驗的常用測試方法原理如圖1的上半部分所示[16]。樣品為具有一定厚度的平板，兩側(cè)分別放置熱源和冷源來建立熱傳導(dǎo)條件。為確保導(dǎo)熱是一維的，即熱流僅沿著厚度方向傳遞，需要在樣品四周設(shè)置一圈相同材料的保溫區(qū)。在相同的冷熱源溫度下，樣品和保溫區(qū)界面即可近似建立絕熱邊界，認為樣品四周與外界的熱流為零。此外，為確保熱流計算的準確性，通常樣品對稱布置在熱源兩側(cè)。

圖1 熱學(xué)和電學(xué)模擬熱傳導(dǎo)示意圖

由于電阻網(wǎng)絡(luò)是不連續(xù)的，故借鑒數(shù)值傳熱學(xué)中有限元的概念，先對連續(xù)的樣品區(qū)域離散化，形成區(qū)域網(wǎng)格[17]，然后建立如圖1 所示的電阻網(wǎng)絡(luò)。樣品區(qū)位于整個網(wǎng)絡(luò)的中央，通過耦合電阻連接至兩側(cè)的保溫區(qū)電阻網(wǎng)絡(luò)。在樣品區(qū)電阻網(wǎng)絡(luò)的上下兩端施加主電壓差E1，由此建立樣品區(qū)閉合回路形成電流。保溫區(qū)電阻網(wǎng)絡(luò)通過耦合電阻連接至外部環(huán)境電阻網(wǎng)絡(luò)，在其上下兩端施加輔助電壓差E2，建立保溫區(qū)閉合回路形成電流。外部環(huán)境施加電勢E3，由阻值極大的電阻耦合至保溫區(qū)。所有電阻網(wǎng)絡(luò)負極連接至同一個電源負極，建立各個區(qū)域之間的電流閉合回路。

基于以上設(shè)計，設(shè)備可以模擬以下實驗條件：

（1）正常實驗工況

通過電壓調(diào)節(jié)裝置，令E1=E2=E3，此時在耦合電阻兩端的電勢相等，電流均沿著豎直方向的電阻從上至下。電流的路徑與一維導(dǎo)熱條件下熱流的路徑一致。

（2）保溫區(qū)溫度偏低形成熱流外泄條件

通過電壓調(diào)節(jié)裝置，令E1＞E2=E3，此時由于保溫區(qū)的各網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的電勢均小于樣品區(qū)邊緣網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的電勢，在耦合電阻中形成樣品區(qū)向保溫區(qū)方向的電流。在該工況下，可模擬由于保溫區(qū)溫度偏低，造成樣品區(qū)熱流外泄，從而影響測試結(jié)果的現(xiàn)象。

（3）保溫區(qū)溫度偏高形成額外熱流附加

通過電壓調(diào)節(jié)裝置，令E1＜E2=E3，此時由于保溫區(qū)的各網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的電勢均大于樣品區(qū)邊緣網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的電勢，在耦合電阻中形成保溫區(qū)向樣品區(qū)方向的電流。在該工況下，可模擬由于保溫區(qū)溫度偏高，造成樣品區(qū)熱流增大，從而影響測試結(jié)果的現(xiàn)象。

（4）環(huán)境溫度對整體實驗的影響

通過電壓調(diào)節(jié)裝置，調(diào)節(jié)E3使其在E1、E2附近波動。當(dāng)E3＞E2=E1時，可模擬測試溫度低于環(huán)境溫度時，開展正常實驗的工況；當(dāng)E3＜E2=E1，可模擬測試溫度高于室溫時，開展正常實驗的工況。E1和E2之間的大小關(guān)系可參照第二和第三種工況說明。

（5）不同溫度下的測試實驗?zāi)M

通過電壓調(diào)節(jié)裝置，調(diào)節(jié)E1、E2和E3的電壓大小，模擬在不同溫度水平下的測試實驗。由于在不同電壓下，電阻自身發(fā)熱量不同，選用具有一定溫度系數(shù)的電阻即可實現(xiàn)在不同電壓下的不同電阻率測試結(jié)果。

（6）樣品內(nèi)部溫度場的模擬

依次測量電阻網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點的電壓，將電壓相等的節(jié)點連接形成等壓線，即可等效為熱學(xué)實驗中的等溫線。等壓線的梯度反方向即為電流的方向。繪制多條電流方向，即可模擬樣品內(nèi)部的熱流路徑。

2 設(shè)備制作

■2.1 主要技術(shù)參數(shù)目標

設(shè)備的主要設(shè)計技術(shù)參數(shù)如表1 所示。

表1 設(shè)備設(shè)計技術(shù)參數(shù)

其中，電壓選用常規(guī)直流低壓12V，電流選用240mA以使電阻網(wǎng)絡(luò)功耗低于3W，額外2W 供其他儀表使用。

■2.2 詳細設(shè)計

根據(jù)設(shè)備技術(shù)參數(shù)，需要設(shè)計電壓調(diào)節(jié)方式和電阻網(wǎng)絡(luò)規(guī)模，然后對儀表進行選型，最后完成電路板原理圖和PCB 的繪制。

（1）電壓調(diào)節(jié)設(shè)計

電壓范圍為0～12V，輸入采用12V 直流電源。基于成本、使用方便和穩(wěn)定性，同時要求電壓連續(xù)可調(diào)，選用AMS1085 低壓差線性穩(wěn)壓器。該器件具備過流保護和過熱保護功能，且AMS1085 的線性調(diào)整率達到0.015%。其外圍電路簡單，僅需要6 個外圍器件即可工作。典型的電路構(gòu)成如圖2 所示。

（2）電阻網(wǎng)絡(luò)規(guī)模

電阻網(wǎng)絡(luò)在最高電壓12V 時，其電流不超過240mA。計算得到整體電阻網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)阻值不低于50Ω。本方案中，樣品區(qū)電阻網(wǎng)絡(luò)選用7 列；保溫區(qū)選用6 列，對稱分布于樣品區(qū)兩側(cè)；環(huán)境采用一列耦合電阻直接接入。樣品區(qū)和保溫區(qū)的電阻均選用100Ω，內(nèi)部耦合電阻選用100Ω，環(huán)境耦合電阻選用100kΩ。電阻網(wǎng)絡(luò)行數(shù)選用8 行。計算可得網(wǎng)絡(luò)在豎直方向等效電阻約為61.5Ω，滿足要求。需要注意的是，此處電阻網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計并不唯一。設(shè)計完成后的整體電路如圖3 所示。

圖3 電阻網(wǎng)絡(luò)示意圖

（3）儀表選型

本設(shè)備中，主要使用的儀表為高精度電壓表和電流表計。結(jié)合前面章節(jié)中的參數(shù)，電壓精度為0.1V，電壓范圍0～12V?？紤]儀表留有20%的裕度，選用電壓表的要求為精度0.1V，量程大于0～14V。電阻網(wǎng)絡(luò)總電流為240mA，由樣品區(qū)和保溫區(qū)共同組成，其中單個區(qū)域的電流約為120mA。在留有安全余量的前提下，電流表計的要求為精度0.1mA，量程0～140mA。

（4）電路板設(shè)計

電路板采用國產(chǎn)電路設(shè)計軟件“立創(chuàng)EDA”進行印刷電路板（PCB）的原理圖和PCB 的繪制。設(shè)計完成的電路板如圖4 所示。正面從左往右依次為電壓調(diào)節(jié)旋鈕、電源接口、3 個電壓表、電勢測點和3 個電流表，如圖4(a)所示。背面為電阻網(wǎng)絡(luò)區(qū)域和電壓調(diào)節(jié)模塊組成，如圖4(b)所示。

圖4 PCB 效果圖

■2.3 系統(tǒng)整體組裝

完成組裝后的設(shè)備主板如圖5 所示。

圖5 組裝完成后的設(shè)備主板

3 實驗與結(jié)果

■3.1 實驗數(shù)據(jù)測量

受限于篇幅，此處選取1.2 節(jié)中的工況1、2、3 進行實驗并詳細闡述，實驗步驟如下：

（1）將所有電壓調(diào)節(jié)旋鈕逆時針旋轉(zhuǎn)到底，并打開電源，開始計時；

（2）依次調(diào)節(jié)樣品區(qū)熱端電壓約為9.0V、保溫區(qū)熱端電壓約為6.0V、環(huán)境熱端電壓約為6.0V。

（3）從電流表讀取樣品電流、保溫區(qū)電流和環(huán)境電流分別為：65.5mA、53.3mA 和0mA。

（4）使用萬用表，依次測量各測點的電壓，保留兩位小數(shù)，填入表2 中。

表2 電阻網(wǎng)絡(luò)電壓測點值1（V）

（5）依次調(diào)節(jié)樣品區(qū)熱端電壓約為9.0V、保溫區(qū)熱端電壓約為9.0V、環(huán)境熱端電壓約為9.0V，重復(fù)步驟(3)～(4)，三個電流表數(shù)據(jù)依次為：76.3mA、65.6mA 和0mA，電阻網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點電壓數(shù)據(jù)填入表3。

表3 電阻網(wǎng)絡(luò)電壓測點值2（V）

（6）依次調(diào)節(jié)樣品區(qū)熱端電壓約為9.0V、保溫區(qū)熱端電壓約為11.5V、環(huán)境熱端電壓約為11.5V，重復(fù)步驟(3)～(4)，三個電流表數(shù)據(jù)依次為：83.9mA、74.5mA 和0mA，電阻網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點電壓數(shù)據(jù)填入表4。

表4 電阻網(wǎng)絡(luò)電壓測點值3（V）

（7）實驗結(jié)束關(guān)閉電源，停止計時。

■3.2 實驗結(jié)果

在實驗中，令l=s=1 ，公式(5)可轉(zhuǎn)化為：

代入實驗數(shù)據(jù)計算等效導(dǎo)熱系數(shù)，并整理成表5。表5中，實驗2為在正確的實驗條件下，測得等效導(dǎo)熱系數(shù)值為8.38，將該數(shù)據(jù)作為參考；當(dāng)樣品區(qū)電勢差高于保溫區(qū)時（實驗1），熱流外泄，測得等效導(dǎo)熱系數(shù)為7.29，低于實際值；當(dāng)樣品區(qū)電勢差低于保溫區(qū)時（實驗3），保溫區(qū)熱流附加至樣品區(qū)，測得的等效導(dǎo)熱系數(shù)為9.29，高于實際值。由于環(huán)境電勢差與保溫區(qū)電勢差一致，因此在三個實驗中，外部環(huán)境電流都為0mA，即外部環(huán)境與測試系統(tǒng)沒有熱量交換。實驗結(jié)果與真實實驗情況相吻合。

表5 實驗結(jié)果表

分別繪制三種實驗條件下樣品內(nèi)部的模擬溫度分布圖，并作等高線，如圖6 所示。熱流的方向為等高線的梯度反方向，如圖中虛線箭頭所指方向。

圖6 模擬溫度場

從圖6(b)中可看出，實驗2 的溫度沿板厚度方向均勻分布，熱流僅沿板厚度方向從高溫側(cè)指向低溫側(cè)，與無限大平板一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱理論溫度分布趨勢吻合。當(dāng)保溫區(qū)溫度低于樣品區(qū)溫度時，等溫線向下彎曲，如圖6(a)所示。此時熱流由樣品區(qū)向保溫區(qū)流失。相反，當(dāng)保溫區(qū)溫度高于樣品區(qū)溫度時，等溫線向上彎曲，如圖6(c)所示。此時熱流從兩側(cè)保溫區(qū)流向中間樣品區(qū)。

■3.3 其他技術(shù)參數(shù)實驗結(jié)果

（1）設(shè)備功耗。在上述實驗中，通過功率表測得的實際功耗最大為4.4W，小于設(shè)計功耗。對比實驗設(shè)備：上海同廣科教某型號設(shè)備為200W；上海綠蘭某型號設(shè)備為180W。

（2）設(shè)備體積。設(shè)備體積實測25cm×16cm×5cm。額外配備萬用表一塊，12V 便攜式電源一個。參照設(shè)備為80cm×40cm×140cm。

（3）實驗時長。設(shè)備設(shè)定電壓值后，工況即刻達到穩(wěn)定狀態(tài)，無需等待熱平衡。平均單次溫度場數(shù)據(jù)測試耗時約5 分鐘。具體實驗時間視實驗設(shè)定組數(shù)而定。參照實驗設(shè)備平均實驗時長為2 小時。

4 結(jié)論

基于歐姆定律與傅里葉定律的數(shù)學(xué)表述相似性和數(shù)值傳熱學(xué)有限元思想，設(shè)計并實現(xiàn)了一種電學(xué)等效的穩(wěn)態(tài)平板導(dǎo)熱系數(shù)測試微型實驗教學(xué)演示裝置。實驗結(jié)果顯示，該裝置在可滿足開展原理驗證性實驗的同時，提供了更為豐富的參數(shù)調(diào)節(jié)功能，并具備描述樣品內(nèi)部溫度場的功能。設(shè)備可靠穩(wěn)定、功耗低、便攜、操作簡單且實驗時間短，在實驗教學(xué)中有很高的實用性和很高的性價比。