袁建英 李思儀 吳思東 劉甲甲 郭德全

摘?要：針對(duì)圖像傅里葉變換數(shù)學(xué)公式復(fù)雜、概念抽象、不易理解的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了圖像傅里葉變換教學(xué)輔助軟件。軟件基于Python框架，對(duì)圖像傅里葉變換教學(xué)中原理引入、實(shí)質(zhì)理解、傅里葉變換性質(zhì)、代碼與學(xué)習(xí)鏈接等進(jìn)行了設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)。使用該軟件進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生能直觀地感受圖像傅里葉變換各頻譜計(jì)算細(xì)節(jié)，提高學(xué)生對(duì)抽象圖像傅里葉變換公式的理解，提高教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：教輔軟件；圖像傅里葉變換；頻譜理解；Python

“數(shù)字圖像處理”是電子信息、人工智能類專業(yè)一門重要的專業(yè)必修課［12］。頻域圖像處理是該課程的重要組成部分。圖像傅里葉變換又是頻域圖像處理的基礎(chǔ)［3］。由于二維圖像傅里葉變換理論性強(qiáng)、公式抽象、數(shù)學(xué)推導(dǎo)煩瑣，傳統(tǒng)的教學(xué)方式容易導(dǎo)致教學(xué)過(guò)程枯燥乏味，學(xué)生對(duì)二維傅里葉變換及其性質(zhì)，以及圖像傅里葉變換的應(yīng)用等知識(shí)理解不深刻，進(jìn)而影響頻域數(shù)字圖像處理的學(xué)習(xí)。對(duì)此，許多高校進(jìn)行了數(shù)字圖像傅里葉變換教學(xué)方面的探索。朱亞培等［4］探討了傅里葉變換在數(shù)字圖像處理中的教學(xué)方法；將數(shù)字圖像處理中的頻率域圖像低通濾波過(guò)程實(shí)施到信號(hào)與系統(tǒng)的教學(xué)中。馬曉凱等［5］針對(duì)圖像處理二維離散傅里葉變換的理論基礎(chǔ)、物理意義和基本原理，對(duì)圖像增強(qiáng)、去噪等應(yīng)用進(jìn)行了闡述。林冬梅等［6］針對(duì)頻譜中心化及頻譜原點(diǎn)的物理意義，結(jié)合科研案例進(jìn)行了講解和分析。趙潔等［7］對(duì)頻譜概念的建立及相應(yīng)的教學(xué)方法進(jìn)行了討論。吳幸智等采用教學(xué)輔助軟件，對(duì)圖像信息處理課程開展啟發(fā)式教學(xué)，有效地幫助學(xué)生理解抽象理論知識(shí)［8］。孫鵬崴等基于Matlab?GUI設(shè)計(jì)涵蓋圖像處理課程的軟件系統(tǒng)，可以很好地輔助教師授課［9］。雖然這些已有研究對(duì)圖像傅里葉變換教學(xué)提出了一些思路，但筆者在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生最難理解的就是時(shí)域圖像和頻域頻譜的關(guān)聯(lián)關(guān)系。由于頻譜圖像的抽象性，單靠教師口頭分析很難讓學(xué)生有直觀地感受，因此筆者所在的“圖像處理與機(jī)器視覺”教學(xué)課程組開發(fā)出針對(duì)圖像傅里葉變換的教輔軟件，解決教學(xué)過(guò)程中傅里葉變換概念深入淺出引入、傅里葉變換計(jì)算實(shí)質(zhì)與傅里葉變換性質(zhì)可視化展示等教學(xué)難點(diǎn)。軟件經(jīng)過(guò)一年的試用，取得了較好的教學(xué)效果。下面給出該教輔軟件的設(shè)計(jì)思想和實(shí)現(xiàn)過(guò)程。

一、系統(tǒng)設(shè)計(jì)

圖像傅里葉變換的教學(xué)難點(diǎn)有3個(gè)：圖像傅里葉變換概念的引入、圖像傅里葉變換頻譜特征認(rèn)識(shí)、圖像傅里葉變換性質(zhì)及應(yīng)用。針對(duì)這3個(gè)難點(diǎn)，設(shè)計(jì)相應(yīng)界面，為便于學(xué)生課前課后預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)，再設(shè)計(jì)代碼與學(xué)習(xí)鏈接界面。系統(tǒng)總體設(shè)計(jì)方案如圖1所示。

二、系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)

軟件主要采用Python語(yǔ)言的pyqt5包進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，使用PyCharm構(gòu)建虛擬環(huán)境進(jìn)行編譯。通過(guò)在PyCharm中加入拓展工具QtDesigner進(jìn)行軟件界面搭建，并在編寫的.py文件中創(chuàng)建Stats類，通過(guò)uic.loadUi（）函數(shù)調(diào)用搭建好的界面進(jìn)行功能函數(shù)編寫，實(shí)現(xiàn)軟件界面各功能動(dòng)態(tài)分離式設(shè)計(jì)。各功能界面實(shí)現(xiàn)方法如下。

（一）原理導(dǎo)入界面

原理導(dǎo)入部分需以生活中學(xué)生易理解的常見例子入手。學(xué)生在前序課程（如“高等數(shù)學(xué)”“信號(hào)與系統(tǒng)”）中對(duì)一維傅里葉變換非常熟悉。因此，在此處先設(shè)計(jì)一個(gè)具體的一維傅里葉變換例子作為引例。由于音頻信號(hào)是一維信號(hào)，且可以通過(guò)軟件方便的產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)正弦音頻信號(hào)，故使用Adobe?Audition軟件分別生成294HZ、349HZ、440HZ的標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)及其疊加信號(hào)。同時(shí)在界面上動(dòng)態(tài)展示傅里葉級(jí)數(shù)分解過(guò)程，并用文字靜態(tài)說(shuō)明傅里葉變換的原理。所設(shè)計(jì)的界面如圖3所示。

（二）傅里葉變換認(rèn)識(shí)

傅里葉變換認(rèn)識(shí)一共設(shè)計(jì)2個(gè)菜單。菜單1用于展示傅里葉變換公式認(rèn)識(shí)、菜單2用于展示典型圖像傅里葉頻譜對(duì)比、傅里葉變換性質(zhì)。

1.傅里葉變換公式認(rèn)識(shí)

圖像傅里葉變換的數(shù)學(xué)公式如式（1）所示，其中M，N

為圖像的大小，fx，y為時(shí)域圖像，F(xiàn)u，v為fx，y的傅里葉變換。

Fu，v=1MN∑M-1x=0∑N-1y=0fx，ye-j2πuxM+vyN（1）

u=0，1...M-1；v=0，1...N-1

對(duì)其指數(shù)部分利用歐拉公式展開后，可得：

F（u，v）=1MN∑M-1x=0∑N-1y=0f（x，y）

cos2πuxM+vyN+jsin2πuxM+vyN（2）

對(duì)圖像傅里葉變換的理解即是對(duì)公式（2）的理解，當(dāng)u，v為定值時(shí)，公式（2）可視為原始圖像與兩個(gè)余弦函數(shù)卷積運(yùn)算。因此，二維余弦函數(shù)公式的展示就是理解傅里葉變換的關(guān)鍵。為此，設(shè)計(jì)頻譜窗口，窗口的橫坐標(biāo)表示u，縱坐標(biāo)表示v，通過(guò)滑條拉動(dòng)u，v值，實(shí)時(shí)的顯示此時(shí)傅里葉變換的幅值Fu，v及對(duì)應(yīng)的余弦函數(shù)圖像。每一個(gè)u，v值，將對(duì)應(yīng)一個(gè)Fu，v和余弦函數(shù)圖像。當(dāng)u，v值較大時(shí)，余弦函數(shù)的周期較小，和原始圖像卷積將選擇出原始圖像中高頻特征。當(dāng)u，v值較小時(shí)，余弦函數(shù)的周期較大，和原始圖像卷積將選擇出原始圖像中低頻特征。

傅里葉變換公式認(rèn)識(shí)界面如圖3所示。該界面的主要功能包括：讀入圖像、傅里葉變換相關(guān)參數(shù)定義、傅里葉變換具體頻率處頻譜幅值實(shí)時(shí)顯示、傅里葉變換具體頻率處余弦圖像實(shí)時(shí)顯示。教師在講解時(shí)可采用如下步驟：（1）通過(guò)界面右上方讀入圖像按鈕讀入圖像，即顯示原始圖像和頻譜圖像；（2）傅里葉頻譜值分析。界面左邊中間部分傅里葉變換頻譜圖及含有參數(shù)u，v的滑動(dòng)條；結(jié)合公式（2），給學(xué)生分析當(dāng)滑動(dòng)條上u，v值固定后，其頻譜幅值就能計(jì)算出。然后教師可拖動(dòng)滑動(dòng)窗口上u，v值，頻譜幅值便實(shí)時(shí)的顯示在頻譜圖下方。（3）由式（2）可知，傅里葉變換u，v值確定后，其值等于原始圖像和一個(gè)二維余弦函數(shù)的卷積運(yùn)算，在軟件的右下方實(shí)時(shí)顯示了該余弦函數(shù)圖像。教師可通過(guò)拖動(dòng)u，v滑動(dòng)條實(shí)現(xiàn)不同u，v值下余弦函數(shù)的性質(zhì)分析。在右下方還有一個(gè)“3DDISPLAY”按鈕，點(diǎn)擊此按鈕會(huì)在彈出頁(yè)面中顯示對(duì)應(yīng)余弦圖像的三維形式。

2.典型圖像傅里葉頻譜

典型圖像傅里葉頻譜分析有助于學(xué)生理解時(shí)域圖像和頻域頻譜圖關(guān)聯(lián)關(guān)系。由于從傅里葉變換頻譜中可以

看出圖像包含的頻率成分，故不同圖像頻譜不同。為此，在界面上設(shè)計(jì)2行3列的圖像對(duì)比窗口，對(duì)比顯示3幅圖像的傅里葉變換頻譜圖，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)不同圖像傅里葉變換特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)。所實(shí)現(xiàn)的界面如圖4所示。在圖4中，第一行給出了3幅典型圖像的示例，分別為含有周期性噪聲的電路板圖像、由黑到白漸變圖像、存在大量45度方向斜線的圖像；第二行給出了3幅圖像對(duì)應(yīng)的傅里葉變換頻譜圖，在教學(xué)時(shí)通過(guò)對(duì)頻譜圖的分析，讓學(xué)生可直觀地感受到圖像頻譜圖較亮的部分實(shí)際反映了圖像中灰度變化的方向以及變化的劇烈程度。

3.傅里葉變換應(yīng)用——頻域?yàn)V波

為展示頻域高通、低通濾波特性，在界面上創(chuàng)建2行3列圖像框。第1行用于顯示原始圖像、高通濾波后的圖像、低通濾波后的圖像；第2行用于顯示原始圖像頻譜、高通處理后的頻譜、低通處理后的頻譜。所實(shí)現(xiàn)的界面如圖5所示。從圖5可見，圖像經(jīng)過(guò)高通濾波后，只留下了圖像的邊緣或輪廓部分；圖像經(jīng)過(guò)低通濾波后，圖像變得很平滑。在軟件右邊，對(duì)軟件展示的內(nèi)容進(jìn)行文字分析，方便學(xué)生課后復(fù)習(xí)。

（三）傅里葉變換性質(zhì)界面

圖像傅里葉變換性質(zhì)很多，此處選擇較為簡(jiǎn)單的平移不變性、旋轉(zhuǎn)不變性進(jìn)行設(shè)計(jì)。在一個(gè)界面上設(shè)計(jì)若干對(duì)比圖像框，分別展示不同平移量、旋轉(zhuǎn)量對(duì)應(yīng)的頻譜圖，以此幫助學(xué)生直觀地理解傅里葉變換性質(zhì)。在界面右邊，配上對(duì)結(jié)果的理論分析說(shuō)明，方便學(xué)生課前課后的預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)。界面如圖6所示。學(xué)生通過(guò)該界面，可以很直觀的看到雖然目標(biāo)發(fā)生了變化，但是圖像的頻譜并沒有變化。

（四）代碼及學(xué)習(xí)鏈接界面

展示圖像傅里葉變換的代碼，并提供自學(xué)的參考鏈接。界面如圖7所示。

（五）軟件應(yīng)用

本教學(xué)輔助設(shè)計(jì)軟件可實(shí)現(xiàn)的教學(xué)功能包括：圖像讀入、圖像任意u，v值處傅里葉變化幅度值顯示及對(duì)應(yīng)的余弦函數(shù)圖像顯示、典型圖像傅里葉幅度值對(duì)比顯示、傅里葉變換濾波應(yīng)用、代碼展示及學(xué)習(xí)鏈接。軟件內(nèi)容囊括了圖像傅里葉變換教學(xué)的大部分內(nèi)容，既可以用于教師教學(xué)使用，也可用于學(xué)生預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)使用。經(jīng)過(guò)在成都信息工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院《圖像處理與機(jī)器視覺》一年的試用，學(xué)生普遍反映對(duì)圖像傅里葉變換的理論能獲得直觀的理解，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的興趣。

結(jié)語(yǔ)

本文基于Python設(shè)計(jì)開發(fā)了圖像傅里葉變換教學(xué)輔助軟件，并應(yīng)用于我?！皥D像處理與機(jī)器人視覺”課程。教學(xué)效果表明，本軟件能提供圖像傅里葉變換數(shù)學(xué)公式的可視化理解，圖像傅里葉變換性質(zhì)的可視化對(duì)比分析理解，在方便教師授課的同時(shí)，大大地激發(fā)了學(xué)生對(duì)傅里葉變換學(xué)習(xí)的興趣。同時(shí)，軟件提供了傅里葉變換u，v方向滑塊交互式操作的功能，可以實(shí)時(shí)得到任意圖像任意u，v值頻譜幅值，進(jìn)而能方便分析不同圖像的頻譜特性。利用該軟件進(jìn)行教學(xué)，解決了多年來(lái)學(xué)生對(duì)圖像傅里葉變換無(wú)法直觀學(xué)習(xí)的困難，提高了教學(xué)效果。

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項(xiàng)目基金：本文系四川省高等教育人才培養(yǎng)質(zhì)量和教學(xué)改革項(xiàng)目《引入競(jìng)賽知識(shí)元素的機(jī)器人工程專業(yè)科技創(chuàng)新實(shí)踐體系構(gòu)建》（項(xiàng)目編號(hào)：JG20211006）；成都信息工程大學(xué)本科生教學(xué)改革工程項(xiàng)目“《機(jī)器視覺及應(yīng)用》教學(xué)方法研究與實(shí)踐”（編號(hào)：JYJG2022049）;“應(yīng)用型示范機(jī)器人工程本科專業(yè)建設(shè)與實(shí)踐”（編號(hào)：JYJG2021005）；“學(xué)科競(jìng)賽驅(qū)動(dòng)、科研引領(lǐng)的機(jī)器人工程專業(yè)科技創(chuàng)新實(shí)踐體系構(gòu)建”（編號(hào)：JYJG2022133）；“《智能控制》教學(xué)方法的研究與實(shí)踐探索”（編號(hào)：JYJG2021044）

作者簡(jiǎn)介：袁建英（1982—?），女，漢族，四川眉山人，博士，副教授，研究方向：機(jī)器視覺；李思儀（2001—?），女，四川達(dá)州人，本科生，研究方向：圖像處理；吳思東（1989—?），男，漢族，四川南充人，博士，講師，研究方向：計(jì)算機(jī)視覺；劉甲甲（1983—?），男，漢族，安徽淮北人，博士，講師，研究方向：機(jī)器視覺與工業(yè)智能；郭德全（1982—?），男，四川隆昌人，博士，副教授，研究方向：圖像處理與智能計(jì)算。