李可 牛園園 宿磊 顧杰斐 盧立新

摘要 由于滾動軸承早期故障信號特征微弱，變分模態(tài)分解（Variational Mode Decomposition，VMD）的性能易受模態(tài)數(shù)和懲罰因子設(shè)置的影響，提出了一種自適應優(yōu)化VMD參數(shù)的方法?；谥行念l率判斷本征模態(tài)函數(shù)（Band Limited Intrinsic Mode Functions，BIMF）是否混疊的思想提出中心頻率混疊商算法，利用最小中心頻率差與次小中心頻率差的比值確定模態(tài)數(shù)。利用模糊熵原理，提出求和模糊熵算法優(yōu)化懲罰因子。利用相關(guān)系數(shù)篩選模態(tài)分量，重構(gòu)信號提取故障信息。通過對強噪聲下外圈故障信號、內(nèi)圈故障信號的分析，表明該方法能自適應確定模態(tài)數(shù)和懲罰因子，抑制模態(tài)混疊，能夠從強噪聲下有效地提取出故障信號特征，實現(xiàn)滾動軸承故障診斷。

關(guān)鍵詞 故障診斷; 滾動軸承; 變分模態(tài)分解; 模糊熵; 相關(guān)系數(shù)

引 言

滾動軸承作為旋轉(zhuǎn)機械的關(guān)鍵零件，通常在惡劣的環(huán)境下工作，極易發(fā)生故障。但由于其工作環(huán)境和自身機理的原因，采集到的振動信號信噪比低，使得故障特征提取十分困難。針對滾動軸承故障診斷，國內(nèi)外學者做了諸多研究，早期利用短時傅里葉變換處理振動信號，但效果容易受所選窗函數(shù)的影響［1］；相比短時傅里葉變換，小波變換具有更好的時頻窗口特性，但時域與頻域分辨率的精度相互影響，想要選取合適的分辨率十分困難［2］；Huang等［3］提出了經(jīng)驗模態(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）算法，此方法適合處理非平穩(wěn)信號，因此廣泛應用在設(shè)備診斷領(lǐng)域，但其存在模態(tài)混疊、欠包絡、過包絡、邊界效應等問題；在EMD的基礎(chǔ)上，局部均值分解（Local Mean Decomposition，LMD）和局部特征尺度分解（Local Characteristic?scale Decomposition，LCD）相繼被提出，能夠抑制模態(tài)混疊和端點效應［4?5］，但結(jié)果容易受到環(huán)境噪聲的影響；Dragomiretskiy等［6］在經(jīng)驗模態(tài)分解的基礎(chǔ)上提出了一種可變尺度的信號處理方法VMD，拋棄了循環(huán)遞歸篩選的處理方式，通過在變分框架范圍內(nèi)求解最優(yōu)變分模型，獲得模態(tài)分量，該方法不同于傳統(tǒng)遞歸算法，具有良好的魯棒性和嚴謹?shù)臄?shù)學理論支撐；萬書亭等［7］利用VMD分析斷路器動作性能，有效地提取了斷路器時間參數(shù)。由于VMD算法受參數(shù)設(shè)置的影響，國內(nèi)外學者提出了針對性的優(yōu)化策略，Chen等［8］利用相位校正信號平均法（Phase?Rectified Signal Averaging，PRSA）優(yōu)化模態(tài)數(shù)K；劉尚坤等［9］以互信息為判據(jù)改進了VMD的迭代停止條件，提出了一種自適應確定模態(tài)數(shù)K的方法；基于相關(guān)峭度［10］對周期性沖擊較為敏感的特點，鄭義等［11］提出了相關(guān)峭度為適應度函數(shù)的蝗蟲優(yōu)化算法，能夠自適應選定VMD參數(shù)；Huang等［12］通過對中心頻率帶寬的預估，利用預估值對懲罰因子加權(quán)，以加權(quán)數(shù)為指標確定懲罰因子，一定程度上實現(xiàn)了懲罰因子的優(yōu)化。VMD算法結(jié)果的優(yōu)劣依賴模態(tài)數(shù)、懲罰因子、初始中心頻率、保真系數(shù)和判斷精度，其中模態(tài)數(shù)K和懲罰因子α對結(jié)果影響較大。K過大會引起過分解，即模態(tài)丟失；K過小則會導致欠分解，即模態(tài)混疊。懲罰因子設(shè)置不當同樣會導致模態(tài)分量的混疊和丟失，無法提取到重要特征。

目前針對模態(tài)數(shù)K的選擇，常用的優(yōu)化方式是通過對中心頻率的觀察，判斷其是否穩(wěn)定從而確定最優(yōu)K值［13］，人為判斷使得算法不具備自適應性，影響分解效果。對于懲罰因子的優(yōu)化，通常使用的粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法［14］容易陷入局部最優(yōu)解，無法適應在線實時監(jiān)測的需求。針對以上問題，本文提出中心頻率混疊商法與求和模糊熵算法優(yōu)化VMD參數(shù)，利用中心頻率混疊商法選擇出最優(yōu)模態(tài)數(shù)K，再由求和模糊熵算法選擇出最優(yōu)懲罰因子。最后利用相關(guān)系數(shù)指標篩選模態(tài)分量重構(gòu)信號，確定滾動軸承的故障類型。相比于經(jīng)驗確定VMD參數(shù)K和α，該方法具有嚴謹?shù)睦碚撝?，避免了人為調(diào)參的不確定性。

1 基本原理

1.1 VMD算法原理

VMD作為一種非遞歸算法［15］，是在EMD的內(nèi)稟尺度分量的概念上定義了一系列調(diào)頻調(diào)幅信號，即本征模態(tài)函數(shù)，第k個本征模態(tài)函數(shù)uk（t）如下：

式中 uk（t）滿足∑k=1Kuk=f（t），其中，f（t）為原信號；Ak（t）為瞬時幅值；φk（t）為瞬時相位。瞬時頻率ωk（t）=φ'k（t）且φ'k（t）≥0，Ak（t）≥0。

VMD實質(zhì)就是構(gòu)造和求解變分問題：1） 利用Hilbert變換對uk（t）解析，獲得對應的單邊頻譜；2） 通過指數(shù)混合調(diào)制，將每個模態(tài)函數(shù)的頻譜調(diào)制到響應基頻帶；3） 利用H高斯平滑解調(diào)信號，得到uk（t）的估計帶寬，受約束的變分模型為：

為了得到上述變分模型的最優(yōu)解，引入懲罰因子α和Lagrange乘子λ構(gòu)造增廣Lagrange函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為無約束變分問題，Lagrange表達式如下：

2 VMD參數(shù)優(yōu)化

2.1 優(yōu)化模態(tài)數(shù)K

由VMD算法特性可知，模態(tài)分量中心頻率是從低到高按規(guī)律分布的，當分解不徹底時模態(tài)函數(shù)的中心頻率數(shù)值接近。基于中心頻率確定模態(tài)是否混疊的思想，可以實現(xiàn)對混疊的判斷。

基于此，提出中心頻率混疊商算法確定模態(tài)數(shù)K。在預分解后對各模態(tài)函數(shù)中心頻率兩兩做差，并選擇出最小差和次小差{|ωi?ωj||i≠j;i，j∈{1，2，…，k}}，將兩者比值定義為“中心頻率混疊商”Pk：

利用Pk衡量中心頻率是否接近，Pk較小時說明中心頻率數(shù)值接近?！爸行念l率混疊商”的閾值Pth取5%～20%，由模態(tài)分量的中心頻率分布特性及滾動軸承振動信號特點可知，閾值在此范圍內(nèi)能夠滿足分解需求。

中心頻率混疊商算法可以循環(huán)求解得到最優(yōu)模態(tài)數(shù)K，自適應判斷分解尺度。流程如圖1所示，具體步驟如下：

（1） 初始化模態(tài)數(shù)K，VMD預分解；

（2） 判斷Pk是否低于閾值Pth；

（3） 若低于閾值，過分解，令K=K-1，求解VMD，循環(huán)計算直至Pk>Pth，返回此時的K值；

（4） 若高于閾值，模態(tài)混疊即欠分解，令K=K+1，VMD分解直至Pk

初始K值設(shè)置為2，通過步驟（4），直至選定最終模態(tài)數(shù)。若初始值設(shè)定較大，則通過步驟（3）迭代計算。K的初始值不影響最終模態(tài)數(shù)的選定，對計算時間的影響也十分有限。

2.2 優(yōu)化懲罰因子α

模糊熵利用模糊思想代替單位階躍函數(shù)，能夠達到類似于“軟閾值”度量的效果［17?18］，更能適應處理復雜時間序列的需要。關(guān)于模糊熵參數(shù)的選擇，文獻［19］給出了建議。

基于模糊熵算法提出求和模糊熵優(yōu)化懲罰因子α。對分解的K個模態(tài)分量求總模糊熵，構(gòu)建求和模糊熵（Summation of Fuzzy Entropy，SFE）作為評價指標。利用SFE衡量懲罰因子設(shè)置是否得當，總熵值越大，混亂程度越高，分解效果越差，反之則越好。SFE作為評價指標，避免了經(jīng)驗確定參數(shù)對結(jié)果的影響，流程如圖2所示。具體步驟如下：

（1） 設(shè)置懲罰因子最大值αmax、最小值αmin和步長因子L，并按中心頻率混疊商算法確定的模態(tài)數(shù)設(shè)置VMD參數(shù)；

（3） VMD分解并計算分量的求和模糊熵值SPE；

（4） 判斷當α小于αmax時，令α=α+L，更新α；

（5） 當α大于αmax時，循環(huán)結(jié)束。求和模糊熵熵值SPE的最小值對應的α為最優(yōu)值；

計算求和模糊熵時，懲罰因子最小值對分解效果的影響可以忽略，步長只影響尋優(yōu)精度和算法計算時間，懲罰因子最大值只影響計算時間。通常將最小值和步長設(shè)置為分解數(shù)據(jù)量的百分之一，將最大值設(shè)置為4～5倍數(shù)據(jù)量時即可實現(xiàn)對最優(yōu)懲罰因子的覆蓋。由此得到模態(tài)數(shù)和懲罰因子，并對原始信號進行VMD分解。

分解信號與原信號的相關(guān)性主要體現(xiàn)在故障成分的占比，因此利用模態(tài)分量和原信號的相關(guān)系數(shù)選擇模態(tài)分量并重構(gòu)信號。為了保證獲得較好的重構(gòu)效果，文獻［20］給出了相關(guān)系數(shù)數(shù)值選取方法。

2.3 仿真分析

設(shè)計一組仿真信號y（t），驗證上述方法的有效性。仿真信號y=4π×（x1+x2+x3）+x4由正余弦信號疊加高斯白噪聲而成，信號y（t）的時域波形如圖3所示。

對仿真信號進行分析，利用中心頻率混疊商算法迭代求解優(yōu)化模態(tài)數(shù)K。結(jié)果如表1所示，K=4時低于閾值，選定K為3。求和模糊熵算法結(jié)果如圖4所示，SFE最小值為5.967，對應的懲罰因子為260。從分解后的分量圖5可以看出，各分解分量與原信號y（t）中包含的信號一致，端點處有略微波動，但沒有對整體波形產(chǎn)生影響。仿真實驗表明參數(shù)優(yōu)化的VMD算法在分解模擬信號時具有良好的適應性。

3 實驗分析

本文搭建轉(zhuǎn)子實驗平臺如圖6所示。實驗用的滾動軸承外徑為52 mm，內(nèi)徑為25 mm，寬為15 mm，有13個滾動體。采用線切割的方式分別在內(nèi)外圈加工出0.05 mm×0.3 mm（深度×寬度）的凹痕來模擬實際軸承內(nèi)圈與外圈故障狀態(tài)，如圖7所示。利用PCB MA352A60型加速度傳感器分別采集垂直方向上內(nèi)圈故障、外圈故障的軸承振動信號，采樣頻率為50 kHz。通過計算求得外圈故障頻率fo和內(nèi)圈故障頻率fi分別為90.2 Hz和55.1 Hz。

通過實驗平臺分別采集到正常狀態(tài)、外圈故障、內(nèi)圈故障狀態(tài)下的振動信號，分別對外圈故障信號和內(nèi)圈故障信號進行分析。

3.1 外圈故障

原始信號包絡如圖8（a）所示，為了驗證參數(shù)優(yōu)化VMD算法的有效性，使用多種模態(tài)分解方法對外圈故障信號進行處理。利用EMD，LCD和LMD方法分解重構(gòu)信號，重構(gòu)信號包絡分別如圖8（b），（c）和（d）所示。

從圖8（b）中可以看出，EMD分解重構(gòu)的包絡譜fo及其2倍頻均不明顯，且在0～100 HZ存在較大干擾；如圖8（c）中所示，外圈特征頻率fo及其2倍頻、4倍頻成分被提取出，但146.2 Hz處存在高峰值的諧波干擾，且4倍頻以后的頻率不明顯；從圖8（d）中可以看到，特征頻率fo及其2倍頻、4倍頻被提取出，但低頻處諧波、噪聲干擾較大，故障信息提取不足。

模態(tài)數(shù)K和懲罰因子α按經(jīng)驗設(shè)置［6］。令K=4，α=2210，重構(gòu)并做包絡譜如圖9（a）所示，外圈故障頻率的2倍頻和4倍頻出現(xiàn)峰值，但峰值不高；同樣令K=8，α=10000，重構(gòu)包絡譜如圖9（b）所示，諧波頻率和白噪聲干擾較大，在強噪聲條件下很容易使得故障特征頻率淹沒在噪聲中，難以提取到故障信息。

使用本文提出的參數(shù)優(yōu)化VMD算法對信號進行處理，由中心頻率混疊商算法得到不同K值下的Pk數(shù)值如表2所示，當K=9高于閾值，因此確定K=8。

保持K不變計算SFE，結(jié)果如圖10所示。從圖中可以看出，最小值對應的α為3700。將優(yōu)化后的K和α作為VMD的參數(shù)，得到8個BIMF分量，其與原信號相關(guān)系數(shù)如表3所示。選擇相關(guān)性系數(shù)較大的BIMF6，BIMF7和BIMF8分量進行重構(gòu)并做包絡譜，總耗時284 s。從圖11（b）中可以明顯看到，提取到了外圈故障特征頻率fo及其2倍頻、3倍頻、4倍頻、5倍頻和6倍頻成分。圖11（a）中使用的粒子群優(yōu)化參數(shù)的方法耗時1120 s，相比于粒子群算法，該算法提取出了更多倍頻信息，提高了計算效率，重構(gòu)信號的干擾分量更少，效果改善十分明顯。

3.2 內(nèi)圈故障

針對內(nèi)圈故障信號，原始信號包絡如圖12（a）所示。利用EMD，LCD和LMD算法分解重構(gòu)信號，重構(gòu)信號包絡譜分別如圖12（b），（c）和（d）所示。從圖12（b）～（c）中可以看出，EMD和LCD分解重構(gòu)的包絡譜幾乎找不到故障特征頻率；從圖12（d）中可以看出，僅提取到內(nèi)圈故障特征頻率fi，噪聲信息較多。EMD，LCD和LMD方法在處理內(nèi)圈故障效果并不顯著。

令VMD參數(shù)K=4，α=3000，分解重構(gòu)信號包絡譜如圖13（a）所示。內(nèi)圈故障頻率fi和軸承轉(zhuǎn)頻fr較為明顯，其2倍頻310.5 Hz處也有峰值，但其余各倍頻均不明顯，故障信息提取不足，諧波干擾較大。同樣令K=6，α=15000，包絡譜如圖13（b）所示，從圖中可以看出效果改善并不明顯，此參數(shù)下效果同樣不佳。

使用參數(shù)優(yōu)化VMD方法，由中心頻率混疊商算法迭代求解得到不同K值下Pk如表4所示，設(shè)置K為4。

保持K不變，循環(huán)求解其SFE，結(jié)果如圖14所示。從圖中可得，最小SFE對應的α為1700。經(jīng)過VMD分解為4個BIMF，相關(guān)系數(shù)如表5所示。選擇相關(guān)系數(shù)較大的BIMF1重構(gòu)信號，算法總耗時308 s。圖15（a）中的粒子群算法結(jié)果陷入了局部最優(yōu)，計算時間為1316 s。從圖15（b）中可以看出，內(nèi)圈故障特征頻率fi及其2倍頻、3倍頻、4倍頻及6倍頻特征頻率都十分明顯。故障特征頻率及其倍頻成分被提取出，主頻幅值明顯，諧波頻率被抑制，可以判斷發(fā)生了內(nèi)圈故障。通過對比可以看出，本文所提方法效果改善十分明顯。

4 結(jié) 論

由于強噪聲下滾動軸承早期故障信號微弱，VMD在抑制邊界效應、抑制模態(tài)混疊等方面具有優(yōu)勢。模態(tài)數(shù)K和懲罰因子α的優(yōu)化成為使用VMD處理故障信號的關(guān)鍵。本文提出了基于中心頻率混疊商算法和求和模糊熵算法優(yōu)化模態(tài)數(shù)和懲罰因子的方法。應用到實際軸承診斷領(lǐng)域，能夠取得不錯效果，可得如下結(jié)論：

（1）利用中心頻率混疊商算法確定模態(tài)數(shù)，能自適應地確定VMD分解尺度，避免了模態(tài)混疊和模態(tài)丟失；

（2）利用求和模糊熵算法選擇最優(yōu)懲罰因子值能提高尋優(yōu)效率，避免設(shè)置參數(shù)的主觀性，同時能夠提升VMD算法的效果。

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Rolling bearing fault diagnosis method based on parameter optimized VMD

LI Ke ?NIU Yuan-yuanSU Lei ?GU Jie-feiLU Li-xin

Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology， School of Mechanical Engineering， Jiangnan University， Wuxi 214122， China

Abstract The early fault signal characteristics of the rolling bearing are weak. The performance of traditional variational mode decomposition （VMD） depends on the parameters， which include mode number and penalty coefficient. To solve this problem， an adaptive method to determine parameters of VMD was proposed. The minimum center frequency quotient algorithm was proposed based on the idea of the center frequency to judge whether the bend limited intrinsic mode function （BIMF） is overlapped or not， and the mode number was determined by the ratio of the minimum frequency and the sub small frequency. By using the fuzzy entropy principle， the sum fuzzy entropy （SFE） was proposed to optimize the penalty coefficient. The correlation coefficient was used to select the BIMFs. The method can adaptively determine the mode number and penalty factor， suppress the mode aliasing phenomenon. it can extract the fault signal features from the strong noise to judge the bearing state.

Keywords fault diagnosis; rolling bearing; VMD; fuzzy entropy; correlation coefficient