魏鳳鳳，陳偉能+

1.華南理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，廣州510006

2.華南理工大學(xué) 大數(shù)據(jù)與智能機(jī)器人教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州510006

演化算法（evolutionary algorithms，EAs）是求解復(fù)雜優(yōu)化問題的常用方法，在求解傳統(tǒng)約束優(yōu)化問題中有很好的效果[1-3]。然而在很多工程問題中，目標(biāo)和約束的計(jì)算沒有明確的公式表達(dá)，需要仿真軟件模擬，甚至真實(shí)實(shí)驗(yàn)才能獲得結(jié)果，這樣一次復(fù)雜目標(biāo)和約束值的計(jì)算過程需要花費(fèi)幾個(gè)小時(shí)甚至幾天，例如，一次20～50 維的毫米集成電路的仿真需要花費(fèi)20～30 min[4]，這類問題被稱為昂貴優(yōu)化問題。

傳統(tǒng)EAs 往往需要進(jìn)行上萬(wàn)甚至幾十萬(wàn)次適應(yīng)值評(píng)估才能得到滿意解，在求解昂貴優(yōu)化問題中的時(shí)間代價(jià)是難以接受的。因此學(xué)者們提出基于代理模型輔助的演化方法（surrogate-assisted evolutionary algorithms,SAEAs）[5-6]，使用較少的歷史數(shù)據(jù)建立模型，用模型預(yù)測(cè)結(jié)果替代演化過程中真實(shí)適應(yīng)值評(píng)估，從而降低時(shí)間成本，獲得滿意的優(yōu)化結(jié)果。

當(dāng)前SAEAs在求解昂貴無(wú)約束優(yōu)化問題中已有較好發(fā)展[7-10]，但在處理昂貴約束優(yōu)化問題方面仍有待研究。Sasena 等人比較了在高斯過程回歸模型的輔助下，現(xiàn)有的不同樣本選擇準(zhǔn)則的性能差異[11]；Yannou 等人利用表面響應(yīng)模型來擬合約束，并在約束編程環(huán)境中調(diào)研模型保真度和由此產(chǎn)生的約束可處理性之間的關(guān)系[12]；Singh 等人將代理模型嵌入到模擬退火算法來求解多目標(biāo)昂貴約束優(yōu)化問題[13]；Regis等人提出一種解決昂貴約束優(yōu)化問題的徑向基函數(shù)輔助進(jìn)化編程算法[14]；Singh 等人提出一種利用不可行解進(jìn)行驅(qū)動(dòng)的進(jìn)化算法來求解軟約束和硬約束混合的優(yōu)化問題[15]。上述工作是將代理模型應(yīng)用到昂貴約束優(yōu)化問題中的早期嘗試，通過對(duì)昂貴約束進(jìn)行建模，減少算法的昂貴評(píng)估，使算法在可接受時(shí)間內(nèi)完成對(duì)問題的優(yōu)化。

雖然模型的使用提高了算法運(yùn)行效率，但模型擬合的不準(zhǔn)確性也降低了算法性能。為了提高SAEAs 在昂貴約束優(yōu)化問題的求解質(zhì)量，一些學(xué)者對(duì)模型管理策略進(jìn)行研究，他們通過利用模型進(jìn)行樣本選擇[16-18]、設(shè)計(jì)排序和修正策略[19-20]提高模型預(yù)測(cè)結(jié)果的可靠性及加入局部選擇和局部搜索[21-22]等策略來提高代理模型對(duì)約束的處理能力。上述工作聚焦于將多目標(biāo)處理技術(shù)與代理模型有機(jī)結(jié)合，展現(xiàn)了SAEAs求解昂貴約束優(yōu)化問題的巨大潛力。

然而，上述工作對(duì)所挑選的候選解都要進(jìn)行所有約束的昂貴評(píng)估，導(dǎo)致耗費(fèi)大量不必要的計(jì)算代價(jià)。在一些問題中，最優(yōu)解往往被某個(gè)或某幾個(gè)約束的可行域限制，其他約束可行域非常大。在這種情況下，對(duì)每個(gè)挑選的候選解都真實(shí)評(píng)估可行域非常大的約束是不必要的；尤其當(dāng)可行域大的約束數(shù)量較多的時(shí)候，對(duì)這些約束進(jìn)行真實(shí)評(píng)估是浪費(fèi)計(jì)算時(shí)間和有限評(píng)估次數(shù)的。因此，如何進(jìn)行評(píng)估資源與昂貴約束的分配是影響算法性能的關(guān)鍵，直接關(guān)系到算法設(shè)計(jì)中兩個(gè)亟需解決的難點(diǎn)：

（1）個(gè)體的選擇。如何根據(jù)模型預(yù)測(cè)結(jié)果選擇對(duì)優(yōu)化有幫助的個(gè)體進(jìn)行昂貴評(píng)估，引導(dǎo)種群向優(yōu)質(zhì)區(qū)域演化。

（2）約束的選擇。如何選擇可行域信息較少的約束進(jìn)行更多的評(píng)估和信息補(bǔ)充，加快算法對(duì)可行域的探索。

為解決評(píng)估資源與昂貴約束的分配問題，本文提出一種自適應(yīng)約束評(píng)估策略，并從兩個(gè)思路出發(fā)，設(shè)計(jì)了兩種自適應(yīng)約束評(píng)估的高斯過程回歸模型輔助差分進(jìn)化算法，在少量昂貴評(píng)估下完成對(duì)問題的優(yōu)化，驗(yàn)證自適應(yīng)約束評(píng)估策略的有效性和通用性。文章的主要貢獻(xiàn)點(diǎn)如下：

（1）提出一種自適應(yīng)約束評(píng)估策略，自適應(yīng)地根據(jù)種群信息進(jìn)行個(gè)體選擇、約束選擇和昂貴評(píng)估。在演化過程中，并非對(duì)挑選候選解的所有約束進(jìn)行昂貴評(píng)估，而是評(píng)估當(dāng)前種群中可行域信息較少的約束，節(jié)省的評(píng)估次數(shù)可以用來進(jìn)一步演化。因此，不同的候選解消耗的真實(shí)評(píng)估次數(shù)不同，并且隨著種群的演化而自適應(yīng)動(dòng)態(tài)變化。

（2）從代理模型輔助無(wú)約束演化方法思路出發(fā)，通過加入自適應(yīng)約束評(píng)估策略和約束處理技術(shù)，設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)約束評(píng)估的約束優(yōu)化高斯過程回歸模型輔助的演化算法。

（3）從無(wú)代理模型輔助的傳統(tǒng)約束優(yōu)化演化算法思路出發(fā)，通過加入自適應(yīng)約束評(píng)估策略和代理模型技術(shù)，設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)約束評(píng)估的代理模型輔助的復(fù)合約束差分進(jìn)化算法。

在實(shí)驗(yàn)方面，本文以約束優(yōu)化問題標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試集CEC2006 和四個(gè)工業(yè)應(yīng)用為測(cè)試實(shí)例，驗(yàn)證自適應(yīng)約束評(píng)估策略及兩種自適應(yīng)約束評(píng)估SAEAs的有效性，展示其在工業(yè)中良好的發(fā)展前景；在理論方面，本文從性能提升和效率提升兩方面進(jìn)行分析，并對(duì)兩種自適應(yīng)約束評(píng)估SAEAs進(jìn)行對(duì)比分析。

1 相關(guān)工作

約束優(yōu)化SAEAs主要由模型管理、演化算法、約束處理三部分組成，本章對(duì)昂貴約束優(yōu)化問題和三個(gè)算法部分使用的方法作簡(jiǎn)要介紹。

1.1 昂貴約束優(yōu)化

通常情況下，一個(gè)單目標(biāo)最小化約束優(yōu)化問題可以由下式表達(dá)：

其中，x是一個(gè)D維變量，ld和ud分別是每一維的取值上下界；f(x)是目標(biāo)函數(shù)，y是需要優(yōu)化的目標(biāo)值；G(x)是需要滿足的約束違反程度，由一個(gè)或多個(gè)不等約束和等式約束組成，其計(jì)算方法如下：

其中，g(x)是需要滿足的q個(gè)不等約束，h(x)是需要滿足的m-q個(gè)等式約束。一般情況下，g(x)≤0 表示x對(duì)于不等約束條件的滿足；h(x)=0 表示x對(duì)于等式約束條件的滿足。對(duì)于變量x，當(dāng)且僅當(dāng)滿足所有約束時(shí)，該變量稱為可行解，此時(shí)，約束違反程度G(x)≤0；若變量x違反至少一個(gè)約束，則該變量稱為不可行解，此時(shí)，約束違反程度G(x)＞0。

在一些現(xiàn)實(shí)問題中，f(x)和G(x)需要通過仿真軟件模擬甚至真實(shí)實(shí)驗(yàn)獲得，計(jì)算代價(jià)是非常昂貴的。在這種情況下，用傳統(tǒng)EAs通過大量真實(shí)評(píng)估尋優(yōu)所花費(fèi)的時(shí)間代價(jià)非常大。為解決這個(gè)問題，代理模型被結(jié)合到演化過程中降低真實(shí)評(píng)估次數(shù)。由于模型的訓(xùn)練和預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)與真實(shí)評(píng)估相比可以忽略不計(jì)，這種方法能夠在可接受時(shí)間內(nèi)獲得優(yōu)化解，在解決昂貴優(yōu)化問題中有廣泛應(yīng)用。

1.2 高斯過程回歸

在SAEAs 演化過程中，后代質(zhì)量的評(píng)估絕大部分依賴于模型?，F(xiàn)有的SAEAs 大部分使用回歸模型，高斯過程回歸模型備受關(guān)注[6,23-25]。

高斯過程回歸模型是一種廣泛使用的監(jiān)督學(xué)習(xí)模型[26]，它將多元高斯分布拓展到高維。假設(shè)一個(gè)含有n個(gè)樣本的D維數(shù)據(jù)集Y={f(x1),f(x2),…,f(xn)}，每個(gè)點(diǎn)都滿足高斯分布N(μ,σ2)，其中μ是期望，σ是標(biāo)準(zhǔn)差。不失一般性，假設(shè)μ=0。對(duì)數(shù)據(jù)集中的任意兩點(diǎn)x1和x2，它們之間的相關(guān)性僅依賴于x1-x2，即：

其中，參數(shù)pd∈[1,2]，控制每一維變量與f(x)的平滑度；θd＞0 控制每一維變量的權(quán)重；更多細(xì)節(jié)可以參照Rasmussen的文章[27]。

在求解最小化優(yōu)化問題中，高斯過程回歸的結(jié)果一般取置信下界。假設(shè)預(yù)測(cè)結(jié)果滿足分布N(f′(x),s(x)2)，則該分布置信下界為：

其中，ω是一個(gè)常量，通常設(shè)置為2[28]。

由于高斯過程回歸模型的有效性，本文采取該模型作為輔助，分別對(duì)目標(biāo)和每一個(gè)約束訓(xùn)練一個(gè)高斯過程回歸模型；對(duì)于產(chǎn)生的候選解進(jìn)行質(zhì)量預(yù)測(cè)，根據(jù)自適應(yīng)約束評(píng)估策略進(jìn)行真實(shí)評(píng)估，并更新模型，以提高模型的訓(xùn)練質(zhì)量，更好地引導(dǎo)種群進(jìn)化。

1.3 差分進(jìn)化算法

演化算子是算法的核心部分，直接影響算法的探索和開發(fā)能力。本文采用一類基于群體的啟發(fā)式算法——差分進(jìn)化算法[29-30]。

差分進(jìn)化算法框架如圖1所示，包括變異、交叉、選擇。首先，算法開始前初始化參數(shù)及種群；然后，種群中每個(gè)個(gè)體通過變異操作產(chǎn)生變異個(gè)體；變異個(gè)體通過交叉操作產(chǎn)生試驗(yàn)個(gè)體；最后，試驗(yàn)個(gè)體作為后代與父代比較并選擇較好個(gè)體進(jìn)入下一代。

圖1 差分進(jìn)化算法框架Fig. 1 Framework of differential evolution algorithm

根據(jù)變異操作的不同，差分進(jìn)化算法可分為不同的版本，本文涉及的進(jìn)化算子有：

（1）DE/best/1

在交叉操作中，本文用到的是二項(xiàng)交叉來產(chǎn)生試驗(yàn)個(gè)體，過程如下：

差分進(jìn)化算法在解決傳統(tǒng)約束優(yōu)化問題中應(yīng)用非常廣泛，且求解效率和質(zhì)量非常高[31-33]，本文使用該算法作為演化算子對(duì)搜索空間進(jìn)行開發(fā)和探索。

1.4 約束處理技術(shù)

約束處理技術(shù)大致可以分為四類：基于懲罰函數(shù)的方法、基于支配準(zhǔn)則的方法、基于多目標(biāo)優(yōu)化的方法和混合方法。下面介紹本文用到的基于懲罰函數(shù)的方法和基于支配準(zhǔn)則的方法。

1.4.1 基于懲罰函數(shù)的方法

基于懲罰函數(shù)的方法是指將約束違反程度轉(zhuǎn)換為懲罰因子加到目標(biāo)值上，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問題。本文參照一種多目標(biāo)約束優(yōu)化問題中的基于懲罰函數(shù)的約束處理技術(shù)[34]，首先將目標(biāo)值和約束值進(jìn)行如下歸一化處理：

rf是當(dāng)前種群的可行解比例。懲罰項(xiàng)目標(biāo)值F(x)為：

根據(jù)上述計(jì)算公式可得，懲罰目標(biāo)值F(x)能夠根據(jù)種群中可行解比例調(diào)整對(duì)目標(biāo)和約束的側(cè)重。當(dāng)種群中可行解個(gè)數(shù)較少時(shí)，懲罰目標(biāo)值中約束所占比重較大，有利于種群繼續(xù)搜索可行域；當(dāng)種群中可行解個(gè)數(shù)為0 時(shí)，懲罰目標(biāo)值即個(gè)體約束值，種群只進(jìn)行可行域的搜索。當(dāng)種群中可行解個(gè)數(shù)較多時(shí)，懲罰目標(biāo)值中目標(biāo)所占比重較大，有利于種群開發(fā)可行域；當(dāng)種群中所有個(gè)體均為可行解時(shí)，懲罰目標(biāo)值即個(gè)體目標(biāo)值，種群只進(jìn)行目標(biāo)的優(yōu)化。由于該方法能夠調(diào)整對(duì)目標(biāo)和約束的演化側(cè)重，并且在求解約束問題中有較好的性能表現(xiàn)[34]，本文選擇該方法作為一種約束處理技術(shù)。

1.4.2 基于支配準(zhǔn)則的方法

基于支配準(zhǔn)則的約束處理方法主要有可行解支配準(zhǔn)則和ε約束支配準(zhǔn)則?？尚薪庵錅?zhǔn)則內(nèi)容為：（1）可行解優(yōu)于不可行解；（2）同為不可行解，約束違反程度小的個(gè)體優(yōu)于約束違反程度大的個(gè)體；（3）同為可行解，目標(biāo)值好的個(gè)體優(yōu)于目標(biāo)值劣的個(gè)體。由此可見，可行解支配準(zhǔn)則傾向于保留可行解，不能有效利用目標(biāo)值有重要意義的不可行解，不利于處理某些最優(yōu)解在可行域邊緣的問題。ε約束支配準(zhǔn)則對(duì)其改進(jìn)，根據(jù)種群進(jìn)化情況可以自適應(yīng)地調(diào)整對(duì)不可行解的保留程度：對(duì)于兩個(gè)不同的個(gè)體，滿足下列關(guān)系之一時(shí)，x1優(yōu)于x2：

其中，ε0是初始種群的最大約束違反程度，T是最大進(jìn)化代數(shù)，t是當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)，λ是常數(shù)，設(shè)置為6；p是控制目標(biāo)值開發(fā)的參數(shù)，設(shè)置為0.5。由于考慮了可行域周圍的不可行解，ε約束支配準(zhǔn)則能夠有效利用目標(biāo)值較好的不可行解幫助對(duì)可行域的探索。

可行解支配準(zhǔn)則能夠綜合目標(biāo)值和約束值對(duì)個(gè)體進(jìn)行最直接的優(yōu)劣排序，是求解約束優(yōu)化問題中最常用的方法之一[3,21,32-33]，因此本文選擇該方法作為一種約束處理技術(shù)。

2 自適應(yīng)約束評(píng)估策略

在設(shè)計(jì)約束優(yōu)化SAEAs 時(shí)，核心問題是個(gè)體選擇和約束處理，本文提出一種新的自適應(yīng)約束評(píng)估策略，其具體實(shí)現(xiàn)過程如算法1所示。

算法1自適應(yīng)約束評(píng)估策略偽代碼

在自適應(yīng)約束評(píng)估策略中，除維護(hù)一個(gè)全部真實(shí)評(píng)估個(gè)體數(shù)據(jù)集DBf之外，還需維護(hù)一個(gè)部分真實(shí)評(píng)估個(gè)體數(shù)據(jù)集DBp，用來保存部分約束完成真實(shí)評(píng)估、部分約束只有預(yù)測(cè)值的個(gè)體。相對(duì)應(yīng)地，該策略主要包括兩部分，部分評(píng)估個(gè)體選擇和全部評(píng)估個(gè)體選擇。自適應(yīng)約束評(píng)估策略的步驟如下：

首先，判斷當(dāng)前代數(shù)需進(jìn)行哪一種選擇。若當(dāng)前代數(shù)需進(jìn)行部分評(píng)估個(gè)體選擇，在產(chǎn)生的后代中選擇被預(yù)測(cè)為支配最優(yōu)的個(gè)體，并初始化需進(jìn)行真實(shí)評(píng)估的約束集合J為空。針對(duì)每一個(gè)約束j，按照式（21）計(jì)算當(dāng)前種群在該約束可行域比例r，其中，Nfea是種群在該約束可行域內(nèi)的個(gè)體數(shù)量，NP是種群大小。

同時(shí)，設(shè)置需進(jìn)行真實(shí)評(píng)估的約束可行比例閾值thr=0.5。若r＜thr，則將該約束的索引加入到需真實(shí)評(píng)估的約束索引集合J中；否則不需加入。對(duì)所有約束判斷完之后，將所選個(gè)體xsel按索引集合J進(jìn)行真實(shí)評(píng)估，未進(jìn)行真實(shí)評(píng)估的約束保留預(yù)測(cè)值。由此，該個(gè)體便成為了部分評(píng)估個(gè)體，被加入到部分評(píng)估個(gè)體數(shù)據(jù)集DBp，更新已消耗的真實(shí)評(píng)估次數(shù)fes。

若當(dāng)前代數(shù)需進(jìn)行全部評(píng)估個(gè)體選擇，則從DBp中根據(jù)1.4.1小節(jié)的懲罰函數(shù)方法挑選最優(yōu)的部分評(píng)估個(gè)體，標(biāo)記該個(gè)體未被真實(shí)評(píng)估的約束，對(duì)這些約束及目標(biāo)進(jìn)行真實(shí)評(píng)估。由此，該個(gè)體便成為全部評(píng)估個(gè)體，從DBp中刪除并加入到全部評(píng)估個(gè)體數(shù)據(jù)集DBf，更新消耗的真實(shí)評(píng)估次數(shù)fes。

在自適應(yīng)約束評(píng)估策略中，需進(jìn)行信息補(bǔ)全的代數(shù)Gap是一個(gè)重要的參數(shù)，它決定著算法進(jìn)行種群和代理模型更新的頻率。Gap值越大，算法要消耗越多的真實(shí)評(píng)估次數(shù)來進(jìn)行部分約束評(píng)估，導(dǎo)致種群和代理模型更新緩慢，有效演化大大減少；極端情況下，當(dāng)Gap值大到種群完全沒有信息補(bǔ)全，則算法終止后沒有任何全部評(píng)估的新個(gè)體產(chǎn)生，無(wú)法得知DBp中是否有更好的解，這種無(wú)效優(yōu)化是不可取的。Gap值越小，種群和代理模型更新越快，導(dǎo)致算法在可行域信息較多的約束上頻繁消耗昂貴評(píng)估，不能在可行域信息較少的約束上節(jié)省真實(shí)評(píng)估次數(shù)而使種群進(jìn)行更多代演化；特別地，當(dāng)Gap值為1 時(shí)，與大多數(shù)約束優(yōu)化SAEAs 一致，算法對(duì)每個(gè)被選擇的個(gè)體進(jìn)行所有約束和目標(biāo)值的真實(shí)評(píng)估。因此，Gap值的設(shè)置對(duì)算法的演化影響較大，如何對(duì)該變量進(jìn)行合適設(shè)置有待于進(jìn)一步研究。在本文中，由于真實(shí)評(píng)估次數(shù)較少，且測(cè)試問題的約束數(shù)量不同，根據(jù)實(shí)驗(yàn)性能設(shè)置Gap=10。

自適應(yīng)約束評(píng)估策略的自適應(yīng)特性主要體現(xiàn)在對(duì)約束選擇方面。與其他約束處理不同，自適應(yīng)約束評(píng)估策略旨在對(duì)不同約束進(jìn)行區(qū)別對(duì)待，僅對(duì)可行域信息較少的約束進(jìn)行真實(shí)評(píng)估，即計(jì)算當(dāng)前種群在每個(gè)約束的可行域比例，當(dāng)且僅當(dāng)該比例小于閾值thr時(shí)，選擇該約束進(jìn)行昂貴評(píng)估。thr是一個(gè)重要的參數(shù)，根據(jù)4.3節(jié)參數(shù)調(diào)研結(jié)果設(shè)置；同時(shí)，參數(shù)調(diào)研實(shí)驗(yàn)顯示，在演化前期，不能達(dá)到閾值thr的約束較多，這些約束均被選擇進(jìn)行昂貴評(píng)估；隨著演化的進(jìn)行，種群逐漸掌握更多可行域信息，達(dá)到閾值thr的約束較多，被選擇進(jìn)行昂貴評(píng)估的約束變少；當(dāng)種群完全在可行域內(nèi)時(shí)，在每個(gè)約束的可行域比例均為1，不需要選擇約束進(jìn)行昂貴評(píng)估。因此，在整個(gè)演化過程中，被選擇進(jìn)行昂貴評(píng)估的約束是一個(gè)自適應(yīng)變化的過程。

另外，為了掌握所選解的全部約束及目標(biāo)信息，提高種群掌握信息的準(zhǔn)確性和更新訓(xùn)練代理模型，每隔Gap代進(jìn)行全部評(píng)估個(gè)體選擇，從部分真實(shí)評(píng)估個(gè)體數(shù)據(jù)集DBp中選擇個(gè)體進(jìn)行信息補(bǔ)全，即真實(shí)評(píng)估仍保留的預(yù)測(cè)值信息；該選擇基于1.4.1 小節(jié)所描述的基于懲罰函數(shù)的方法，目的是使算法根據(jù)當(dāng)前種群的可行域信息調(diào)整對(duì)目標(biāo)和約束的演化側(cè)重。

3 自適應(yīng)約束評(píng)估的約束優(yōu)化SAEAs

3.1 框架

本文提出了一種自適應(yīng)約束評(píng)估策略，并從兩個(gè)思路出發(fā)設(shè)計(jì)了兩種基于自適應(yīng)約束評(píng)估策略的約束優(yōu)化SAEAs。

思路1從無(wú)約束SAEAs 出發(fā)，通過加入約束處理技術(shù)和自適應(yīng)約束評(píng)估策略，設(shè)計(jì)一種基于自適應(yīng)約束評(píng)估策略的約束優(yōu)化算法，詳見3.2節(jié)。

思路2從約束優(yōu)化EAs 出發(fā)，通過加入高斯過程回歸模型輔助和自適應(yīng)約束評(píng)估策略，設(shè)計(jì)一種基于自適應(yīng)評(píng)估策略的代理模型輔助約束優(yōu)化算法，詳見3.3節(jié)。

這兩種基于自適應(yīng)約束評(píng)估策略的約束優(yōu)化SAEAs 流程框架如圖2 所示。首先用拉丁超立方采樣（Latin hypercube sampling，LHS）初始化樣本作為已知數(shù)據(jù)并加入數(shù)據(jù)庫(kù)DBf中；在算法終止前，從DBf中按照可行解支配準(zhǔn)則選取最優(yōu)的NP個(gè)個(gè)體組成種群，通過演化算子產(chǎn)生后代；用DBf中最優(yōu)的NT個(gè)數(shù)據(jù)訓(xùn)練目標(biāo)和約束模型，并對(duì)后代進(jìn)行預(yù)測(cè)；按照自適應(yīng)約束評(píng)估策略進(jìn)行個(gè)體選擇、約束選擇和昂貴評(píng)估，并將個(gè)體加入到相對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)庫(kù)中；算法終止時(shí)，輸出DBf中最優(yōu)結(jié)果。兩種算法的具體內(nèi)容如下。

圖2 自適應(yīng)約束評(píng)估的約束優(yōu)化SAEAs框架Fig. 2 Framework of adaptive constraint evaluation aided SAEAs for expensive constrained optimization

3.2 自適應(yīng)約束評(píng)估的約束優(yōu)化GPEME

本節(jié)從基于代理模型輔助的單目標(biāo)優(yōu)化方法（Gaussian process surrogate model assisted evolutionary algorithm，GPEME）[7]出發(fā)，通過加入約束處理技術(shù)和自適應(yīng)約束評(píng)估策略，設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)約束評(píng)估策略的約束優(yōu)化GPEME（D-GPEME-CH），具體過程如下：

（1）用LHS 從搜索空間中隨機(jī)采樣NT個(gè)樣本，進(jìn)行真實(shí)評(píng)估后加入數(shù)據(jù)庫(kù)DBf中。

（2）判斷是否達(dá)到終止條件，若達(dá)到終止條件，則停止算法并輸出數(shù)據(jù)庫(kù)DBf中最優(yōu)解；否則跳到第（3）步執(zhí)行。

（3）選擇DBf中支配最優(yōu)的NP個(gè)個(gè)體組成種群。

（4）對(duì)種群應(yīng)用DE/best/1算子產(chǎn)生后代。

（5）選擇數(shù)據(jù)庫(kù)中支配最優(yōu)的NT個(gè)個(gè)體組成訓(xùn)練集，對(duì)目標(biāo)和每個(gè)約束各訓(xùn)練一個(gè)高斯過程回歸模型。

（6）用訓(xùn)練好的模型對(duì)種群產(chǎn)生的后代進(jìn)行目標(biāo)和約束值預(yù)測(cè)，并執(zhí)行自適應(yīng)約束評(píng)估策略，更新對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)庫(kù)。

在D-GPEME-CH 中，DE/best/1 是全局搜索能力很強(qiáng)的差分進(jìn)化算法，能夠有效開發(fā)已知最優(yōu)區(qū)域；自適應(yīng)約束評(píng)估策略能夠使算法在可行域較大的約束上節(jié)省昂貴評(píng)估，在可行域較小的約束進(jìn)行更多的信息探索，加強(qiáng)對(duì)可行域的探索。在高斯過程回歸模型的輔助下，該算法能夠有效求解昂貴單目標(biāo)約束優(yōu)化問題。

3.3 自適應(yīng)約束評(píng)估的代理模型輔助C2oDE

本節(jié)從傳統(tǒng)單目標(biāo)復(fù)合差分進(jìn)化約束優(yōu)化算法（composite differential evolution for constrained optimization，C2oDE）[33]出發(fā)，通過加入代理模型輔助技術(shù)和自適應(yīng)約束評(píng)估策略，設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)約束評(píng)估策略的代理模型輔助C2oDE（surrogate-assisted C2oDE with adaptive constraint evaluation,D-SA-C2oDE），具體過程如下：

（1）使用LHS 從搜索空間中隨機(jī)采樣NT個(gè)點(diǎn)，進(jìn)行真實(shí)評(píng)估后加入數(shù)據(jù)庫(kù)DBf中。

（2）判斷是否達(dá)到終止條件，若達(dá)到終止條件，則停止算法并輸出數(shù)據(jù)庫(kù)中最優(yōu)解；否則跳到第（3）步執(zhí)行。

（3）選擇DBf中支配最優(yōu)的NP個(gè)個(gè)體組成種群。

（4）對(duì)種群使用復(fù)合差分進(jìn)化算子C2oDE 產(chǎn)生后代，即每個(gè)個(gè)體使用DE/current-to-rand/1、DE/randto-best/1和DE/current-to-best/1三種差分算子進(jìn)行演化，擁有三個(gè)子代個(gè)體。

（5）選擇數(shù)據(jù)庫(kù)中支配最優(yōu)的NT個(gè)個(gè)體組成訓(xùn)練集，對(duì)目標(biāo)和每個(gè)約束各訓(xùn)練一個(gè)高斯過程回歸模型。

（6）對(duì)于每個(gè)個(gè)體產(chǎn)生的三個(gè)子代個(gè)體，基于高斯過程回歸模型的預(yù)測(cè)目標(biāo)值和約束值，根據(jù)可行解支配準(zhǔn)則進(jìn)行預(yù)篩選，保留最好的個(gè)體作為后代。

（7）在預(yù)篩選的后代中，執(zhí)行自適應(yīng)約束評(píng)估策略并更新對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)庫(kù)。

在D-SA-C2oDE中，復(fù)合差分進(jìn)化算子DE/currentto-rand/1 能夠提高種群多樣性；DE/rand-to-best/1 和DE/current-to-best/1能夠提高種群的收斂速度?？尚薪庵錅?zhǔn)則在對(duì)后代進(jìn)行預(yù)篩選時(shí)，能夠取優(yōu)去劣；ε約束支配準(zhǔn)則在對(duì)后代進(jìn)行選擇時(shí)，能夠隨著進(jìn)化程度自適應(yīng)調(diào)整是否保留可行域邊緣的不可行解。因此，該算法在自適應(yīng)約束評(píng)估策略和高斯過程回歸模型的輔助下能夠在可接受時(shí)間內(nèi)對(duì)昂貴約束優(yōu)化問題進(jìn)行有效求解。

4 實(shí)驗(yàn)與分析

本章首先對(duì)測(cè)試問題進(jìn)行介紹，說明兩種算法參數(shù)設(shè)置情況；然后通過實(shí)驗(yàn)展示自適應(yīng)約束評(píng)估策略的有效性，并在CEC2006 測(cè)試集和四個(gè)工業(yè)優(yōu)化問題中進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)并分析結(jié)果，展示本文設(shè)計(jì)的兩種算法性能；最后從理論方面對(duì)性能提升和效率提升進(jìn)行分析，并對(duì)本文從兩個(gè)思路設(shè)計(jì)的自適應(yīng)約束評(píng)估SAEAs進(jìn)行對(duì)比分析。

4.1 測(cè)試問題簡(jiǎn)介

CEC2006 是一個(gè)單目標(biāo)約束優(yōu)化問題標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試集，包含24個(gè)問題，每個(gè)問題的維度及約束個(gè)數(shù)都不相同，具有大部分工業(yè)約束優(yōu)化問題的特征[35]，如表1所示。其中，ρ是可行域占整個(gè)搜索空間的比例，0.000 0%表示該問題的可行域相對(duì)于整個(gè)搜索空間的比例小于0.000 1%；LI是線性不等約束個(gè)數(shù)，NI是非線性不等約束個(gè)數(shù)；LE是線性等式約束個(gè)數(shù)，NE是非線性等式約束個(gè)數(shù)；a指在可行域最優(yōu)解附近比較活躍的約束個(gè)數(shù)，該值越大，表示待優(yōu)化問題的最優(yōu)值受約束的影響越大。

表1 CEC2006測(cè)試問題Table 1 CEC2006 benchmark functions

本文測(cè)試的工業(yè)優(yōu)化問題包括4個(gè)：碟形彈簧設(shè)計(jì)優(yōu)化（belleville spring design,BS）、散貨船設(shè)計(jì)優(yōu)化（bulk carrier design,BCD）、轎車側(cè)面碰撞優(yōu)化（car side impact design,CSI）和螺旋彈簧設(shè)計(jì)優(yōu)化（helical spring design,HS）。BS是一個(gè)帶有7個(gè)不等約束的4維優(yōu)化問題，BCD是一個(gè)帶有9個(gè)不等約束的6維優(yōu)化問題，CSI是一個(gè)帶有10個(gè)不等約束的11維優(yōu)化問題，HS是一個(gè)帶有9個(gè)不等約束的3維優(yōu)化問題，詳細(xì)問題介紹可以在文獻(xiàn)[36]中找到。目前，這4個(gè)問題都沒有已知最優(yōu)可行解。

4.2 參數(shù)設(shè)置

算法開始前初始化樣本量為300；高斯過程回歸模型訓(xùn)練集大小NT=300，種群大小NP=50。經(jīng)參數(shù)調(diào)研，需進(jìn)行真實(shí)評(píng)估的約束可行比例閾值thr=0.5。在D-GPEME-CH中，DE/best/1演化算子的變異概率F=0.8，交叉概率CR=0.8 。在D-SA-C2oDE 中，差分進(jìn)化算子的變異概率F和交叉概率CR通過參數(shù)調(diào)研設(shè)置為F=0.6，CR=0.7。需注意的是，對(duì)目標(biāo)或約束的單獨(dú)評(píng)估即為消耗一次評(píng)估次數(shù)。由于對(duì)比算法C2oDE 的原文設(shè)置種群大小為50，且每一代對(duì)產(chǎn)生的50×3個(gè)后代進(jìn)行真實(shí)評(píng)估[33]，若按無(wú)約束優(yōu)化SAEAs[7-8]中常設(shè)置的最大評(píng)估次數(shù)maxFES=1 000，則在該算法中，種群進(jìn)化代數(shù)為1 000/(50×3×(NC+1))，約為7/(NC+1)，其中NC為該測(cè)試問題的約束個(gè)數(shù)。然而，由表1中測(cè)試問題的約束個(gè)數(shù)可得，在該設(shè)置下，大多數(shù)問題僅能演化非常少的代數(shù)，有的問題甚至無(wú)法完成一代演化，使算法無(wú)法對(duì)問題進(jìn)行有效求解。因此，本文設(shè)置maxFES=1 000×(NC+1)，即最大評(píng)估次數(shù)由問題的約束個(gè)數(shù)決定，不同問題的終止條件不同。這個(gè)設(shè)置是合理的，約束多的問題，可行域較復(fù)雜，優(yōu)化過程相對(duì)困難，因此最大評(píng)估次數(shù)較多；相反，約束少的問題，可行域較簡(jiǎn)單，優(yōu)化過程相對(duì)容易，因此最大評(píng)估次數(shù)較少。為保證實(shí)驗(yàn)公平性，所有結(jié)果均取自25次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的均值。

4.3 參數(shù)調(diào)研

為調(diào)研參數(shù)設(shè)置合理性，本節(jié)調(diào)研不同的取值對(duì)需進(jìn)行真實(shí)評(píng)估的約束可行比例閾值thr和D-SAC2oDE 中差分進(jìn)化算子的變異概率F、交叉概率CR的影響。不失一般性，本節(jié)以函數(shù)g01、g02、g06、g07、g09、g19為例，由表1可知，此6個(gè)函數(shù)能夠代表不同類型、不同約束數(shù)量的函數(shù)。

需進(jìn)行真實(shí)評(píng)估的約束可行解比例閾值thr是自適應(yīng)評(píng)估策略中一個(gè)重要的參數(shù)，它決定著演化過程中哪些約束需要進(jìn)行真實(shí)評(píng)估。對(duì)于每一個(gè)約束，若種群在該約束的可行域個(gè)體比例大于thr，則認(rèn)為種群大部分處于該約束的可行域內(nèi)，不需要頻繁對(duì)該約束進(jìn)行昂貴評(píng)估；相反，若種群在該約束的可行域個(gè)體比例小于thr，則認(rèn)為種群大部分處于該約束的不可行域內(nèi)，需要對(duì)該約束進(jìn)行昂貴評(píng)估觀察其演化方向。為調(diào)研該參數(shù)的取值對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，設(shè)置thr={0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0}，在D-GPEME-CH 和D-SA-C2oDE 兩種方法分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)并對(duì)比分析結(jié)果，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

圖3 thr不同取值對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響Fig. 3 Influence of different values of thr on results

圖3 中橫軸為thr不同的取值，縱軸為對(duì)應(yīng)取值獲得的適應(yīng)值。從圖中可以看出，兩種算法在不同的函數(shù)中呈現(xiàn)出大致相同的規(guī)律，當(dāng)thr＜0.5 時(shí)，適應(yīng)值隨著thr的增大而變好；當(dāng)thr＞0.5 時(shí)，適應(yīng)值隨著thr的增大而變差。這個(gè)現(xiàn)象是合理的，thr較小時(shí)，昂貴評(píng)估的約束較少；極端情況下，若thr=0，則所有約束都不被昂貴評(píng)估，難以在演化過程較快尋找到可行域。thr較大時(shí)，昂貴評(píng)估的約束較多；極端情況下，若thr=1，則所有約束都被昂貴評(píng)估，在昂貴評(píng)估次數(shù)有限的情況下，對(duì)昂貴評(píng)估造成浪費(fèi)，限制了算法的進(jìn)一步演化。結(jié)合實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析，本文設(shè)置thr=0.5。為進(jìn)一步說明自適應(yīng)評(píng)估策略的自適應(yīng)特性，以g01 和g07 為例，用D-GPEME-CH 測(cè)試在thr=0.5 的演化中可行約束個(gè)數(shù)的變化情況，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4。由于算法在少量評(píng)估次數(shù)內(nèi)就找到所有約束的可行域，為方便觀察，橫坐標(biāo)只繪制最大評(píng)估次數(shù)為1 000。

圖4 演化過程找到可行約束的個(gè)數(shù)Fig. 4 The number of found feasible constraints during evolution

圖4中，g01是一個(gè)帶有9個(gè)約束的函數(shù)，在算法演化初期沒有任何約束的可行域信息被搜索到；隨著算法的演化，找到可行域信息的約束個(gè)數(shù)逐漸增加，在400 多次昂貴評(píng)估時(shí)，所有約束的可行域都被找到。g07 是一個(gè)帶有8 個(gè)約束的函數(shù)，其中4 個(gè)約束的可行域比較大，在算法初期就已經(jīng)被找到；隨著算法的演化，找到可行域信息的約束個(gè)數(shù)逐漸增加，在400 多次昂貴評(píng)估時(shí)，所有約束的可行域都被找到。因此，thr=0.5 是一個(gè)比較合理的設(shè)置，能夠體現(xiàn)自適應(yīng)評(píng)估策略的自適應(yīng)特性。

在文獻(xiàn)[33]中，變異概率F建議以相等概率從{0.6,0.8,1.0}取值，交叉概率CR建議以相等概率從{0.1,0.2,1.0}取值。為進(jìn)一步調(diào)研在D-SA-C2oDE 中差分進(jìn)化算子的變異概率F、交叉概率CR的不同取值對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，首先固定CR以相等概率從{0.1,0.2,1.0}取值的設(shè)置，對(duì)比F={0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0}與F以相等概率從{0.6,0.8,1.0}取值的結(jié)果，如圖5 所示。圖5 中，橫軸為F不同的取值，縱軸為對(duì)應(yīng)取值獲得的適應(yīng)值，紅色虛線為F以相等概率從{0.6,0.8,1.0}取值的結(jié)果。從圖中可以得出，在加入自適應(yīng)評(píng)估策略后，F(xiàn)=0.6 時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較好，因此本文設(shè)置F=0.6。

圖5 F不同取值對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響Fig. 5 Influence of different values of F on results

固定F=0.6 后，本文對(duì)比CR={0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0}與CR以相等概率從{0.1,0.2,1.0}取值的結(jié)果，如圖6 所示。圖6 中，橫軸為CR不同的取值，縱軸為對(duì)應(yīng)取值獲得的適應(yīng)值，紅色虛線為CR以相等概率從{0.1,0.2,1.0}取值的結(jié)果。從圖中可以得出，在g06 中，CR以相等概率從{0.1,0.2,1.0}取值的結(jié)果較好；在多數(shù)其他測(cè)試函數(shù)中，CR=0.7 時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較好，因此本文設(shè)置CR=0.7。

圖6 CR不同取值對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響Fig. 6 Influence of different values of CR on results

4.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本節(jié)首先驗(yàn)證復(fù)合差分進(jìn)化算法和自適應(yīng)約束評(píng)估策略的效果；然后對(duì)比從兩個(gè)思路設(shè)計(jì)的自適應(yīng)約束評(píng)估SAEAs在標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試集CEC2006中的尋優(yōu)情況，以驗(yàn)證SAEAs相對(duì)于傳統(tǒng)EAs的性能提升，并以四個(gè)函數(shù)為例進(jìn)行時(shí)間結(jié)果的統(tǒng)計(jì)與分析；最后在四個(gè)工業(yè)約束優(yōu)化問題中進(jìn)一步驗(yàn)證自適應(yīng)約束評(píng)估SAEAs的求解質(zhì)量和效率。

4.4.1 復(fù)合差分進(jìn)化算子性能驗(yàn)證

為驗(yàn)證復(fù)合差分進(jìn)化算子的性能，本小節(jié)以函數(shù)g01、g02、g19 為例，比較獨(dú)立差分進(jìn)化算子DE/current-to-rand/1、DE/rand-to-best/1 和DE/current-tobest/1與復(fù)合差分進(jìn)化算子的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。相對(duì)應(yīng)地，上述算法分別命名為D-SA-DEc2r、D-SA-DEr2b、DSA-DEc2b、D-SA-C2oDE。算法收斂結(jié)果如圖7所示。

圖7 差分進(jìn)化算子對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響Fig. 7 Influence of different DEs on results

圖7中橫軸為消耗的昂貴評(píng)估次數(shù)，縱軸為算法尋優(yōu)的適應(yīng)值?？梢钥吹?，復(fù)合差分進(jìn)化算子的DSA-C2oDE 收斂速度更快，且收斂效果更好。這是因?yàn)楠?dú)立差分進(jìn)化算子的D-SA-DEr2b、D-SA-DEc2b在最優(yōu)個(gè)體的引導(dǎo)下容易陷入局部最優(yōu)，而D-SADEc2r雖然隨機(jī)性比較大，但沒有最優(yōu)個(gè)體的引導(dǎo)難以往全局最優(yōu)方向收斂。復(fù)合差分進(jìn)化算子結(jié)合了三種算子的特點(diǎn)，既能夠保證種群的收斂性，又能夠提高種群多樣性，幫助種群跳出局部最優(yōu)，往全局最優(yōu)的方向收斂。因此，復(fù)合差分進(jìn)化算子能夠提高種群多樣性，并加快收斂速度，提高收斂效果。

4.4.2 自適應(yīng)約束評(píng)估策略性能驗(yàn)證

為驗(yàn)證自適應(yīng)約束評(píng)估策略的效果，本小節(jié)對(duì)比從兩種思路設(shè)計(jì)的自適應(yīng)約束評(píng)估SAEAs（DGPEME-CH、D-SA-C2oDE）及不帶該策略的SAEAs（GPEME-CH、SA-C2oDE）實(shí)驗(yàn)結(jié)果。其中，GPEMECH、SA-C2oDE 按照1.4.1 小節(jié)選擇懲罰適應(yīng)值最優(yōu)的個(gè)體進(jìn)行昂貴評(píng)估。所有算法真實(shí)評(píng)估次數(shù)均為1 000×(NC+1)，算法25 次獨(dú)立運(yùn)行所得結(jié)果如表2所示。均值是指25 次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)最優(yōu)解的均值，方差是指25 次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)最優(yōu)值的方差?！癗aN”表示算法在25次實(shí)驗(yàn)中均未找到可行解。

表2 自適應(yīng)約束評(píng)估策略性能驗(yàn)證對(duì)比結(jié)果Table 2 Comparison results to validate effectiveness of adaptive constraint evaluation strategy

從表2 中可以看到，加入自適應(yīng)約束評(píng)估策略后，兩種思路設(shè)計(jì)的約束優(yōu)化SAEAs 性能均有所提升。在無(wú)自適應(yīng)約束評(píng)估策略的算法中，每一代選擇的候選解要進(jìn)行所有約束和目標(biāo)值的真實(shí)評(píng)估，消耗的真實(shí)評(píng)估次數(shù)較多，限制了種群演化代數(shù)。而自適應(yīng)約束評(píng)估策略僅對(duì)需要的信息進(jìn)行評(píng)估，節(jié)省的評(píng)估次數(shù)可以用來進(jìn)一步演化種群。因此，在自適應(yīng)約束評(píng)估策略的輔助下，算法性能能夠有進(jìn)一步提升。

需注意的是，在測(cè)試函數(shù)g05、g13、g14、g15、g17、g20、g21、g22、g23 中，算法無(wú)法找到可行解。從表1函數(shù)性質(zhì)可得，這些函數(shù)均含有多個(gè)等式約束。一方面，等式約束在變量空間形成的可行域是一個(gè)超平面、平面、一條線甚至一個(gè)點(diǎn)，如此復(fù)雜的函數(shù)特性對(duì)于代理模型來說是很難擬合的；另一方面，代理模型通過對(duì)后代預(yù)測(cè)輔助種群演化，而等式約束形成的可行域是一個(gè)精細(xì)化的點(diǎn)線面，用一個(gè)近似的模型去預(yù)測(cè)一個(gè)精細(xì)化的函數(shù)是不現(xiàn)實(shí)的。因此，如何對(duì)昂貴等式約束有效處理仍有待研究，在下面的實(shí)驗(yàn)中，不對(duì)上述函數(shù)進(jìn)行分析討論。

為說明自適應(yīng)評(píng)估策略的自適應(yīng)特性，以及自適應(yīng)約束評(píng)估策略在減少評(píng)估次數(shù)的情況下對(duì)算法精度的影響，首先，以g01和g07為例，測(cè)試自適應(yīng)約束評(píng)估策略的算法D-GPEME-CH和所有約束評(píng)估策略的算法GPEME-CH在演化過程中可行約束個(gè)數(shù)的變化情況，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8。由于算法在少量演化代數(shù)內(nèi)就找到所有約束的可行域，為方便觀察，橫坐標(biāo)只繪制到演化代數(shù)為100。

圖8 約束評(píng)估策略對(duì)約束演化效果調(diào)研Fig. 8 Influence investigation of different constraint evaluation strategies on constraints exploration

圖8中，g01是一個(gè)帶有9個(gè)約束的函數(shù)，在算法演化初期沒有任何約束的可行域信息被搜索到；g07是一個(gè)帶有8個(gè)約束的函數(shù)，其中4個(gè)約束的可行域比較大，在算法初期就已經(jīng)被找到。隨著算法的演化，兩種策略均能在60 代演化內(nèi)找到所有約束的可行域，雖然自適應(yīng)約束評(píng)估策略在相同的演化代數(shù)減少昂貴評(píng)估次數(shù)，但對(duì)算法找到所有約束可行域的影響不大，這是因?yàn)樵谧赃m應(yīng)約束評(píng)估策略中，種群在約束可行域比例大于thr表明種群已大部分進(jìn)入該約束的可行域內(nèi)，無(wú)需頻繁對(duì)其進(jìn)行昂貴評(píng)估尋找可行域；相反，種群在約束可行域比例小于thr表明種群大部分在該約束的可行域外，需要通過昂貴評(píng)估引導(dǎo)演化方向，探索可行域。因此，自適應(yīng)約束評(píng)估策略節(jié)省的是種群掌握大部分可行域信息約束的昂貴評(píng)估次數(shù)，對(duì)算法進(jìn)入可行域的速度并沒有太大的影響，但節(jié)省的昂貴評(píng)估次數(shù)可以用來進(jìn)一步演化，增加演化代數(shù)，使算法找到更優(yōu)的解。

為進(jìn)一步分析自適應(yīng)約束評(píng)估策略與對(duì)所有約束進(jìn)行昂貴評(píng)估策略對(duì)算法性能的影響，本文以函數(shù)g01、g02、g06、g07、g09、g19為例，分析演化代數(shù)相同和昂貴評(píng)估次數(shù)相同兩種情況下自適應(yīng)約束評(píng)估策略與對(duì)所有約束進(jìn)行昂貴評(píng)估方式對(duì)算法性能的影響。設(shè)置演化代數(shù)為1 000，此時(shí)若對(duì)所有約束進(jìn)行昂貴評(píng)估，昂貴評(píng)估次數(shù)為1 000×(NC+1)；若執(zhí)行自適應(yīng)約束評(píng)估策略，昂貴評(píng)估次數(shù)小于等于1 000×(NC+1)。因此，在演化代數(shù)相同的情況下，自適應(yīng)約束評(píng)估策略可以減少昂貴評(píng)估次數(shù)。為保證比較結(jié)果的公平性，進(jìn)一步比較在昂貴評(píng)估次數(shù)相同的情況下自適應(yīng)約束評(píng)估策略算法的性能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示。

表3 自適應(yīng)約束評(píng)估策略性能調(diào)研Table 3 Influence investigation of adaptive constraint evaluation

表3 中，上標(biāo)“1”代表自適應(yīng)約束評(píng)估策略的SAEAs 演化代數(shù)與所有約束評(píng)估策略的SAEAs相同，均為1 000；上標(biāo)“2”代表自適應(yīng)約束評(píng)估策略的SAEAs昂貴評(píng)估次數(shù)與所有約束評(píng)估策略的SAEAs相同，均為1 000× (NC+1)。從表中結(jié)果可以看到，演化代數(shù)相同的情況下，自適應(yīng)約束評(píng)估策略的SAEAs并沒有在所有測(cè)試問題中比所有約束評(píng)估策略的SAEAs效果好。這是因?yàn)樽赃m應(yīng)約束評(píng)估策略的SAEAs在每一代中是自適應(yīng)地進(jìn)行約束選擇和昂貴評(píng)估，在一定的部分約束評(píng)估個(gè)體積累之后才進(jìn)行個(gè)體選擇并補(bǔ)全真實(shí)約束值和目標(biāo)值。相比所有約束評(píng)估策略的SAEAs，自適應(yīng)約束評(píng)估策略的SAEAs 對(duì)所選解真實(shí)信息的掌握有一定的延遲，演化受到預(yù)測(cè)誤差的影響。在演化代數(shù)相同的情況下，自適應(yīng)約束評(píng)估策略的SAEAs 所花費(fèi)的昂貴評(píng)估次數(shù)有所減少。當(dāng)自適應(yīng)約束評(píng)估策略的SAEAs的昂貴評(píng)估次數(shù)和所有約束評(píng)估策略的SAEAs相同時(shí)，效果均有明顯提升。這是因?yàn)樽赃m應(yīng)約束評(píng)估策略可以減少對(duì)可行域信息較多的約束的頻繁評(píng)估，節(jié)省的昂貴評(píng)估次數(shù)可以用來進(jìn)一步演化。因此，自適應(yīng)約束評(píng)估策略的SAEAs能夠有效提升算法性能。

4.4.3 自適應(yīng)約束評(píng)估的SAEAs性能驗(yàn)證

昂貴優(yōu)化是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性研究方向的原因之一是真實(shí)評(píng)估次數(shù)非常少。為驗(yàn)證SAEAs在求解昂貴優(yōu)化問題相對(duì)于傳統(tǒng)EAs的性能優(yōu)勢(shì)，本小節(jié)對(duì)傳統(tǒng)約束優(yōu)化算法（C2oDE）和本文設(shè)計(jì)的兩種自適應(yīng)約束評(píng)估的SAEAs（D-GPEME-CH、D-SA-C2oDE）在CEC2006 中25 次獨(dú)立運(yùn)行結(jié)果作對(duì)比分析，算法優(yōu)化的最優(yōu)解如表4所示，算法結(jié)束時(shí)的可行解情況如表5 所示。由于在上一小節(jié)已經(jīng)分析了代理模型處理昂貴等式約束的困難和在此領(lǐng)域的研究空白，這一小節(jié)不對(duì)帶有多個(gè)等式約束的函數(shù)進(jìn)行測(cè)試分析。

表4 自適應(yīng)約束評(píng)估的約束優(yōu)化SAEAs性能對(duì)比結(jié)果Table 4 Comparison results to validate effectiveness of adaptive constraint evaluation aided SAEAs for expensive constrained optimization

表5 CEC2006測(cè)試問題的可行解對(duì)比結(jié)果Table 5 Comparison results of feasibility in CEC2006

在表4中，p表示自適應(yīng)約束評(píng)估SAEAs與C2oDE威爾克遜秩和檢驗(yàn)的結(jié)果，+/-/≈表示顯著水平為0.05 的情況下，對(duì)應(yīng)SAEAs 比C2oDE 尋優(yōu)結(jié)果顯著好、顯著差和無(wú)明顯差異的次數(shù)。NaN+表示C2oDE無(wú)法找到可行解，而自適應(yīng)約束評(píng)估SAEAs 可以找到可行解，此時(shí)無(wú)法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)，但后者性能明顯優(yōu)于前者。NaN 表示C2oDE 和自適應(yīng)約束評(píng)估SAEAs 均未找到可行解，無(wú)法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)和算法性能比較。表5中rf是算法結(jié)束時(shí)種群中的可行解比例在25 次獨(dú)立運(yùn)行的均值；rs指所有運(yùn)行中算法在結(jié)束時(shí)成功找到可行解的比例。C2oDE（240 000）指算法適應(yīng)值評(píng)估次數(shù)為240 000×(NC+1)次，即原文設(shè)定的最大評(píng)估次數(shù)[33]；由于評(píng)估代價(jià)昂貴，本文設(shè)計(jì)的D-GPEME-CH 和D-SA-C2oDE 最大評(píng)估次數(shù)為1 000×(NC+1)，并將算法C2oDE 最大評(píng)估次數(shù)設(shè)置為1 000×(NC+1)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，以保證實(shí)驗(yàn)的公平性，比較在有限次真實(shí)目標(biāo)和約束評(píng)估次數(shù)下算法性能。

綜合表4 和表5 的結(jié)果可知，C2oDE（240 000）在真實(shí)評(píng)估次數(shù)非常多的時(shí)候，能夠在15 個(gè)測(cè)試問題中找到最優(yōu)解，并且在所有問題中都能找到可行解且算法結(jié)束時(shí)種群中可行解比例為1。為公平比較，將該算法最大評(píng)估次數(shù)調(diào)整為1 000×(NC+1)后，算法性能急劇下降，在4個(gè)問題中無(wú)法找到可行解且在找到可行解的問題中求解質(zhì)量不高。然而表4 顯示自適應(yīng)約束評(píng)估SAEAs 求解質(zhì)量有明顯提高，在15個(gè)測(cè)試函數(shù)中，D-GPEME-CH 和D-SA-C2oDE 均在11個(gè)函數(shù)中顯著優(yōu)于相同評(píng)估次數(shù)的C2oDE；在g01和g03 中，C2oDE 無(wú)法找到可行解，而D-GPEME-CH和D-SA-C2oDE均能找到質(zhì)量較好的可行解。同時(shí)，表5結(jié)果顯示，D-GPEME-CH和D-SA-C2oDE找到可行解的運(yùn)行次數(shù)和在算法結(jié)束時(shí)種群的可行解比例普遍比C2oDE 高。由此可見，D-GPEME-CH 和DSA-C2oDE在有限目標(biāo)和約束的真實(shí)評(píng)估次數(shù)內(nèi)能夠取得較好的可行解，在自適應(yīng)約束評(píng)估策略和代理模型的輔助下，比傳統(tǒng)EAs效果更好。

為進(jìn)一步說明本文設(shè)計(jì)的兩種算法相對(duì)于其他求解昂貴約束優(yōu)化問題算法的性能優(yōu)勢(shì)，本文以近兩年提出的代理模型輔助的部分評(píng)估演化算法（surrogateassisted partial-evaluation-based EA，SParEA）[37]、代理模型輔助的分類協(xié)同差分進(jìn)化算法（surrogate-assisted classification-collaboration DE，SACCDE）[38]為對(duì)比算法，在上述CEC2006 測(cè)試問題中進(jìn)行對(duì)比分析；另外，為了測(cè)試本文設(shè)計(jì)的兩種算法在較高維問題中的性能優(yōu)勢(shì)，本文增加在標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試集CEC2010[39]的30維問題的測(cè)試。正如在4.4.1小節(jié)中提到的昂貴等式約束處理的難度和當(dāng)前在此方面研究的空白，只測(cè)試CEC2010中不含等式約束的問題c01、c07、c08、c13、c14、c15。為保證實(shí)驗(yàn)公平性，測(cè)試算法的最大評(píng)估次數(shù)均設(shè)置為1 000×(NC+1)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表6所示。

表6 自適應(yīng)約束評(píng)估的SAEAs與其他SAEAs的性能對(duì)比Table 6 Comparison results of adaptive constraint evaluation aided SAEAs with other SOTA SAEAs

表6 中，p1 表示對(duì)比算法與D-GPEME-CH 的威爾克遜秩和檢驗(yàn)結(jié)果，p2 表示對(duì)比算法與D-SAC2oDE的威爾克遜秩和檢驗(yàn)結(jié)果。-/+/≈分別表示在顯著水平為0.05的情況下，對(duì)比算法明顯劣于、優(yōu)于本文設(shè)計(jì)的算法，或與本文設(shè)計(jì)的算法無(wú)明顯差別；最后一行總結(jié)對(duì)比算法與本文設(shè)計(jì)的兩種算法總體比較情況。從表中結(jié)果可以得出以下結(jié)論：（1）SACCDE在10個(gè)測(cè)試函數(shù)中顯著劣于D-GPEME-CH，在13個(gè)函數(shù)中顯著劣于D-SA-C2oDE。（2）SParEA 在9 個(gè)測(cè)試函數(shù)中顯著劣于D-GPEME-CH，在10 個(gè)函數(shù)中顯著劣于D-SA-C2oDE。（3）SACCDE 在CEC2010 的30維函數(shù)中大部分劣于D-GPEME-CH和D-SA-C2oDE；而SParEA 在CEC2010 的30 維函數(shù)中大部分優(yōu)于DGPEME-CH和D-SA-C2oDE。

上述結(jié)論是合理的。SACCDE 和SParEA 對(duì)所挑選的解進(jìn)行全部約束評(píng)估。在測(cè)試集2006 中，當(dāng)約束個(gè)數(shù)較多時(shí)，頻繁地評(píng)估可行域信息較多的約束對(duì)昂貴評(píng)估次數(shù)造成浪費(fèi)，限制了算法的演化程度；而D-GPEME-CH 和D-SA-C2oDE 采取了自適應(yīng)約束評(píng)估策略，僅對(duì)可行域信息較少的約束進(jìn)行評(píng)估，能夠有效避免昂貴約束評(píng)估的浪費(fèi)，使算法進(jìn)一步演化。而CEC2010測(cè)試集函數(shù)設(shè)計(jì)的初衷在于問題維度的可擴(kuò)展性，問題約束通常只有1個(gè)（c01,c07,c08）和3個(gè)（c13,c14,15），且約束的可行域較小，自適應(yīng)約束評(píng)估策略極大概率將所有的約束加入待評(píng)估集合，因此，D-GPEME-CH、D-SA-C2oDE和SACCDE、SParEA一致，對(duì)所挑選的解進(jìn)行了全部約束評(píng)估，并沒有發(fā)揮自適應(yīng)約束評(píng)估策略的優(yōu)勢(shì)。另外，SParEA使用了四種不同的代理模型對(duì)約束進(jìn)行擬合，準(zhǔn)確率相對(duì)于只采用一種模型的其他三種算法有所提升，因此在CEC2010測(cè)試問題中的性能表現(xiàn)較好。

4.4.4 運(yùn)行時(shí)間對(duì)比與分析

為進(jìn)一步說明SAEAs能夠提高求解昂貴優(yōu)化問題的效率，本小節(jié)對(duì)自適應(yīng)約束評(píng)估SAEAs 和傳統(tǒng)約束優(yōu)化EAs 的運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。由于昂貴工程問題使用的仿真軟件需要花費(fèi)幾個(gè)小時(shí)甚至幾十個(gè)小時(shí)進(jìn)行一次評(píng)估，且大部分都是商用軟件，本文通過對(duì)測(cè)試函數(shù)添加時(shí)間延遲來模擬昂貴評(píng)估。不失一般性，本文采取4個(gè)函數(shù)g01、g02、g03、g04，設(shè)置一次適應(yīng)值評(píng)估的時(shí)間延遲為0 s、1 s、10 s和100 s，記錄算法平均運(yùn)行一次所需時(shí)間，時(shí)間延遲為0 s，即算法真實(shí)運(yùn)行時(shí)間。為保證實(shí)驗(yàn)的公平性和有效性，D-GPEME-CH 和D-SA-C2oDE 的停止條件如4.2節(jié)所設(shè)，為1 000×(NC+1)次，而C2oDE的停止條件為搜索結(jié)果達(dá)到兩種算法的平均值，即算法性能達(dá)到和自適應(yīng)約束SAEAs相近，此時(shí)進(jìn)行的評(píng)估次數(shù)分別是126 500×(9+1)(g01)、108 050×(2+1)(g02)、135 950×(1+1)(g03)、137 300×(6+1)(g04)，顯然，消耗的評(píng)估次數(shù)均遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1 000×(NC+1)。運(yùn)行時(shí)間記錄如表7所示。

表7 不同時(shí)間延遲的運(yùn)行時(shí)間對(duì)比結(jié)果Table 7 Comparison results of execution time with different time delays

表7 中效率提升的計(jì)算是由C2oDE 運(yùn)行時(shí)間減自適應(yīng)約束評(píng)估SAEAs 時(shí)間的差，除以C2oDE 運(yùn)行時(shí)間所得。當(dāng)時(shí)間延遲為0 s 時(shí)，可以看到自適應(yīng)約束評(píng)估SAEAs 比C2oDE 運(yùn)行時(shí)間長(zhǎng)，這是因?yàn)槟Ｐ陀?xùn)練時(shí)間相對(duì)簡(jiǎn)單函數(shù)評(píng)估較長(zhǎng)，且維度越高，問題越復(fù)雜，訓(xùn)練時(shí)間越長(zhǎng)；而真實(shí)函數(shù)評(píng)估所需時(shí)間非常短，因此在運(yùn)行時(shí)間對(duì)比上并沒有優(yōu)勢(shì)。然而，當(dāng)單次適應(yīng)值評(píng)估有時(shí)間延遲后，自適應(yīng)約束評(píng)估SAEAs 運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)比C2oDE 效率提升在94%以上，其中91.67%的測(cè)試?yán)有侍嵘?8%以上。這是因?yàn)槟Ｐ偷挠?xùn)練和預(yù)測(cè)時(shí)間相對(duì)昂貴函數(shù)評(píng)估較短，在代理模型的輔助下，真實(shí)適應(yīng)值評(píng)估次數(shù)大大減少，由此減少了評(píng)估時(shí)間，加快算法運(yùn)行效率。隨著時(shí)間延遲的增大，自適應(yīng)約束評(píng)估SAEAs 的時(shí)間優(yōu)勢(shì)更加明顯，效率提升幅度更大。

4.4.5 工業(yè)問題優(yōu)化結(jié)果與分析

為進(jìn)一步證明自適應(yīng)約束評(píng)估SAEAs在工業(yè)中有良好的應(yīng)用前景，本小節(jié)在碟形彈簧設(shè)計(jì)優(yōu)化（BS）、散貨船設(shè)計(jì)優(yōu)化（BCD）、轎車側(cè)面碰撞優(yōu)化（CSI）和螺旋彈簧設(shè)計(jì)優(yōu)化（HS）問題中將設(shè)計(jì)的兩種算法與傳統(tǒng)約束優(yōu)化方法C2oDE 進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，并進(jìn)行威爾克遜秩和檢驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表8所示。

表8 工業(yè)優(yōu)化問題的實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果Table 8 Comparison results in engineering optimization problems

由表8 中結(jié)果可得，D-GPEME-CH 和D-SAC2oDE均取得比C2oDE好的結(jié)果。特別地，顯著水平為0.05 時(shí)，D-GPEME-CH 在兩個(gè)問題中顯著好于C2oDE，D-SA-C2oDE在四個(gè)問題中均顯著好于C2oDE。因此，本文設(shè)計(jì)的兩種自適應(yīng)約束評(píng)估SAEAs 能夠?qū)λ膫€(gè)工業(yè)約束優(yōu)化問題進(jìn)行有效求解，在自適應(yīng)約束評(píng)估策略的輔助下，能夠提升對(duì)可行域搜索的成功率，表現(xiàn)出其在昂貴復(fù)雜工業(yè)約束優(yōu)化問題中較好的應(yīng)用前景。

4.5 理論分析

首先在性能方面，算法的性能受演化程度影響，自適應(yīng)約束評(píng)估策略從演化程度提升算法性能?，F(xiàn)有的處理昂貴約束方法大都是對(duì)每個(gè)候選解進(jìn)行全部約束和目標(biāo)評(píng)估，即每一代消耗NC+1 次昂貴評(píng)估，對(duì)應(yīng)的演化程度為maxFES/(NC+1)。而在自適應(yīng)約束評(píng)估策略中，算法根據(jù)當(dāng)前種群對(duì)可行域信息的掌握程度自適應(yīng)決定評(píng)估約束。具體地，本文將約束分為三大類：第一類是初始化隨機(jī)采樣種群在可行域內(nèi)比例達(dá)到評(píng)估閾值thr，算法很容易找到可行解，在自適應(yīng)約束評(píng)估策略中不會(huì)被選擇做昂貴評(píng)估；第二類是初始化隨機(jī)采樣種群在可行域內(nèi)比例小于評(píng)估閾值thr，且算法非常難找到可行解，在自適應(yīng)約束評(píng)估策略中被頻繁選擇做昂貴評(píng)估；第三類是初始化隨機(jī)采樣種群在可行域內(nèi)比例小于評(píng)估閾值thr，但隨著演化種群在可行域內(nèi)比例會(huì)達(dá)到評(píng)估閾值thr，即演化前期被頻繁選擇做昂貴評(píng)估，演化后期不會(huì)被選擇做昂貴評(píng)估。當(dāng)問題的約束都是第一類時(shí)，部分評(píng)估過程中沒有約束被選擇進(jìn)行昂貴評(píng)估；全部評(píng)估過程對(duì)所有約束和目標(biāo)值進(jìn)行昂貴評(píng)估，因此演化程度為[maxFES/(NC+1)]×(Gap+1)，其中，如第2 章描述，Gap是需進(jìn)行信息補(bǔ)全的代數(shù)，它決定著算法進(jìn)行種群和代理模型更新的頻率，因此Gap≥1。此時(shí)，算法演化程度滿足以下關(guān)系：

這時(shí)，自適應(yīng)約束評(píng)估策略的演化代數(shù)與所有約束評(píng)估策略的演化代數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，Gap越大，演化代數(shù)越多，演化程度越高。當(dāng)問題的約束都是第二類時(shí)，部分評(píng)估過程中所有約束被選擇進(jìn)行昂貴評(píng)估；全部評(píng)估過程僅對(duì)目標(biāo)值進(jìn)行昂貴評(píng)估，因此演化程度為[maxFES/(NC×Gap)]×(Gap+1)。結(jié)合Gap≥1，算法演化程度滿足以下關(guān)系：

因此，在所有約束被選擇進(jìn)行昂貴評(píng)估的情況下，自適應(yīng)約束評(píng)估策略的SAEAs的演化程度都比對(duì)所有約束進(jìn)行昂貴評(píng)估的SAEAs 高。也就是說，自適應(yīng)約束評(píng)估策略在最差情況下每一代消耗的昂貴評(píng)估次數(shù)也比所有約束進(jìn)行昂貴評(píng)估的方法少，演化程度高。當(dāng)問題的約束為第三類時(shí)，或者包含這三類中的多類約束時(shí)，演化程度在區(qū)間{[maxFES/(NC×Gap)]×(Gap+1)，[maxFES/(NC+1)]×(Gap+1)}內(nèi)，因此，在求解包含不同類型約束的問題時(shí)，自適應(yīng)約束評(píng)估策略能夠在少量評(píng)估次數(shù)下自適應(yīng)評(píng)估昂貴約束，提升算法性能。

其次在運(yùn)行時(shí)間方面，由4.4.4小節(jié)知，C2oDE取得和D-GPEME-CH、D-SA-C2oDE 在1 000×(NC+1)次評(píng)估相近的效果需100倍以上評(píng)估次數(shù)，為方便說明，記C2oDE 評(píng)估次數(shù)為1 000×times×(NC+1)，其中，times是達(dá)到相近效果所用評(píng)估倍數(shù)。由于CEC2006 函數(shù)并非昂貴優(yōu)化問題，在時(shí)間延遲為0 s時(shí)，模型的訓(xùn)練和預(yù)測(cè)時(shí)間占支配地位，因此C2oDE運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)較短。當(dāng)對(duì)真實(shí)評(píng)估加上時(shí)間延遲td模擬昂貴約束優(yōu)化時(shí)，評(píng)估時(shí)間占支配地位。此時(shí)，DGPEME-CH、D-SA-C2oDE所需的評(píng)估時(shí)間為1 000×(NC+1)×td，而C2oDE所需的評(píng)估時(shí)間為1 000×times×(NC+1)×td，效率提升如下：

由此可知，基于代理模型的算法的效率提升與傳統(tǒng)算法所需評(píng)估次數(shù)有關(guān)，所需評(píng)估次數(shù)越多，效率提升越大。由表7可知，本文算法的效率提升均在94%以上，且大部分達(dá)到98%。

4.6 算法對(duì)比分析

本文從兩個(gè)思路出發(fā)設(shè)計(jì)兩種基于自適應(yīng)約束評(píng)估策略的約束優(yōu)化SAEAs，D-GPEME-CH 和DSA-C2oDE，二者具有一定的相似性。首先，二者都采用高斯過程回歸模型作為代理，在昂貴約束和目標(biāo)的擬合上沒有本質(zhì)區(qū)別；其次，二者都采用自適應(yīng)約束評(píng)估策略對(duì)昂貴約束進(jìn)行處理，在演化過程中都能夠自適應(yīng)決定評(píng)估的約束，節(jié)省的評(píng)估次數(shù)用來進(jìn)一步演化，相對(duì)于傳統(tǒng)約束優(yōu)化算法能夠在有限次真實(shí)評(píng)估下找到優(yōu)勝解。

然而，這兩個(gè)算法在演化算子上也存在一定的差異性。D-GPEME-CH是基于代理模型輔助的無(wú)約束演化算法加入約束處理技術(shù)設(shè)計(jì)的，本身的演化算子為DE/best/1，無(wú)需處理約束；而D-SA-C2oDE 是由無(wú)代理模型的約束優(yōu)化算法加入代理模型的輔助設(shè)計(jì)的，采用的是復(fù)合差分進(jìn)化算法，并設(shè)計(jì)有良好的約束處理技術(shù)。因此，D-GPEME-CH 在對(duì)可行域的搜索和收斂能力上較D-SA-C2oDE 差，算法性能不如后者，這也體現(xiàn)在CEC2006 及工業(yè)優(yōu)化問題的測(cè)試結(jié)果中。相對(duì)應(yīng)地，D-SA-C2oDE 的演化算子較為復(fù)雜，導(dǎo)致D-SA-C2oDE 的運(yùn)行時(shí)間普遍較DGPEME-CH 長(zhǎng)，這體現(xiàn)在運(yùn)行時(shí)間對(duì)比與分析的實(shí)驗(yàn)中。但是，即使二者在性能和時(shí)間上有所差異，在真實(shí)評(píng)估次數(shù)非常有限的情況下，它們都比傳統(tǒng)無(wú)代理模型輔助的約束優(yōu)化算法有更好的搜索能力和更高效的求解時(shí)長(zhǎng)。事實(shí)上，無(wú)論從哪個(gè)思路出發(fā)設(shè)計(jì)約束優(yōu)化SAEAs都有挑戰(zhàn)。

（1）從基于代理模型輔助的無(wú)約束優(yōu)化算法思路出發(fā)，由于昂貴約束的加入，需要考慮如何合理處理約束。昂貴約束與昂貴目標(biāo)性質(zhì)不同，約束不需尋找最優(yōu)值，只要在可行域內(nèi)的解都是滿足的；另外，在多目標(biāo)或超多目標(biāo)的優(yōu)化問題中，目標(biāo)的個(gè)數(shù)往往小于5，而約束個(gè)數(shù)大于10的優(yōu)化問題是非常多的，這使得可行域空間變得極其復(fù)雜，在利用代理模型擬合約束時(shí)要考慮如何對(duì)復(fù)雜約束進(jìn)行有效處理。

（2）從無(wú)代理模型輔助的約束優(yōu)化算法思路出發(fā)，代理模型的加入需要考慮如何選擇代理模型，如何使用代理模型以及如何對(duì)模型進(jìn)行有效管理。代理模型的預(yù)測(cè)結(jié)果相比真實(shí)評(píng)估有一定的誤差，如何降低預(yù)測(cè)誤差的負(fù)面影響，是這類問題的研究重點(diǎn)。同時(shí)，當(dāng)約束個(gè)數(shù)增加時(shí)，如何降低模型管理負(fù)荷，提高算法運(yùn)行效率也需進(jìn)行考慮。

因此，當(dāng)前約束優(yōu)化SAEAs 的設(shè)計(jì)仍然存在很多挑戰(zhàn)，對(duì)于昂貴約束優(yōu)化問題的求解仍有較大的研究空間。

5 總結(jié)與展望

本文提出了一種新的自適應(yīng)約束評(píng)估策略來自適應(yīng)地進(jìn)行個(gè)體選擇、約束選擇和昂貴評(píng)估。為驗(yàn)證該策略在約束優(yōu)化SAEAs 中的作用，本文分別從代理模型輔助的無(wú)約束優(yōu)化算法和無(wú)代理模型的傳統(tǒng)約束優(yōu)化算法兩個(gè)思路出發(fā)，設(shè)計(jì)兩種自適應(yīng)約束評(píng)估SAEAs：D-GPEME-CH和D-SA-C2oDE。通過在測(cè)試集CEC2006和四個(gè)工業(yè)優(yōu)化問題中的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及理論分析，表明本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)約束評(píng)估SAEAs 能夠在較短時(shí)間內(nèi)有效求得可行解，降低求解昂貴約束優(yōu)化問題的時(shí)間成本，在復(fù)雜的昂貴工業(yè)約束優(yōu)化問題中有較好的應(yīng)用前景。

在今后的研究中，可以就如何利用局部模型對(duì)已有信息進(jìn)一步開發(fā)，加快算法對(duì)可行域的探索，提高算法求解質(zhì)量展開進(jìn)一步研究。