王俊嶺,羅智榮,郭翠芳,劉 娟

(江西理工大學(xué)信息工程學(xué)院,江西 贛州341000)

1 引言

隨著信息技術(shù)的迅速發(fā)展,計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)已深入到社會(huì)生產(chǎn)、生活的方方面面,基于網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用程序也越來(lái)越多。計(jì)算機(jī)連接到網(wǎng)絡(luò)中越頻繁,病毒入侵的可能性就越大,計(jì)算機(jī)病毒也以種類(lèi)更多、隱蔽性更強(qiáng)、更加智能化和傳播途徑多元化的方式不斷進(jìn)化。計(jì)算機(jī)病毒的破壞性不容小覷,它們不僅給人類(lèi)帶來(lái)巨大的經(jīng)濟(jì)損失,甚至威脅到社會(huì)的安全穩(wěn)定。計(jì)算機(jī)病毒傳播能力強(qiáng)、數(shù)量多且危害大,儼然成為了當(dāng)今信息社會(huì)的重要威脅之一,如何控制計(jì)算機(jī)病毒的傳播已成為一項(xiàng)重要課題[1]。

由于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定了節(jié)點(diǎn)之間的連通性,因此網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)在促進(jìn)或抑制病毒擴(kuò)散方面起著重要作用。Ren等[2]建立了一種基于殺傷信號(hào)的計(jì)算機(jī)病毒傳播模型(SEIR-KS),從理論上分析了該模型的全部動(dòng)力學(xué)模型,獲得一個(gè)流行閾值,并通過(guò)應(yīng)用Routh-Hurwitz準(zhǔn)則和Lyapunov泛函方法,證明無(wú)病平衡和病毒平衡在局部和全局的漸進(jìn)穩(wěn)定。Yang等[3]研究了在可移動(dòng)存儲(chǔ)介質(zhì)中網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋵?duì)計(jì)算機(jī)病毒傳播的影響,文中提出了一種新穎的基于網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算機(jī)病毒傳播模型,并得出較小的最大節(jié)點(diǎn)度或較大的冪律指數(shù)都有利于遏制病毒的傳播。蔡秀梅[4]致力于分析計(jì)算機(jī)病毒傳播的內(nèi)在特性,分別考慮計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中的內(nèi)部和外部因素對(duì)病毒傳播的影響,從不同角度建立兩種能反映計(jì)算機(jī)病毒傳播規(guī)律的動(dòng)力學(xué)模型,并通過(guò)理論推導(dǎo)和數(shù)值仿真對(duì)模型進(jìn)行分析。

Peng等[5]在SIS模型中提出,只有當(dāng)相應(yīng)的參數(shù)化鄰域(PAM)的光譜半徑小于1時(shí),該流行病會(huì)消失,并基于此結(jié)果,評(píng)估免疫策略的效率。Ahn和Hassibi等[6]研究了離散時(shí)間和連續(xù)時(shí)間的SIS模型在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播動(dòng)態(tài),同時(shí)考慮了多個(gè)模型的無(wú)病平衡狀態(tài)(DFE)和非疾病自由平衡(NDFE),并確定了NDFE的存在性,唯一性和穩(wěn)定性條件。Fall等[7]在連續(xù)時(shí)間的SIS模型上,對(duì)確定性分區(qū)流行病學(xué)模型的整體穩(wěn)定性結(jié)果進(jìn)行了調(diào)查,并對(duì)無(wú)病平衡(DFE)和非疾病自由平衡(NDFE)導(dǎo)出了充分的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性條件。Reciado等[8]針對(duì)連續(xù)時(shí)間的SIS模型,提出了凸框架,來(lái)滿(mǎn)足不同級(jí)別疫苗接種資源的最優(yōu)分配,并將其應(yīng)用于真實(shí)的在線(xiàn)社交網(wǎng)絡(luò)。

上述研究都在靜態(tài)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上研究病毒傳播,但是無(wú)法捕獲病毒在網(wǎng)絡(luò)中的動(dòng)態(tài)特性,因此有必要研究隨時(shí)間變化的網(wǎng)絡(luò)中的病毒動(dòng)態(tài)。Prakash等人[9]將離散時(shí)間的SIS模型擴(kuò)展為具有時(shí)變結(jié)構(gòu)的模型,通過(guò)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(NLDS)對(duì)其進(jìn)行近似求解,在一定條件下得出時(shí)變圖的流行閾值,并通過(guò)展示有效的啟發(fā)式方法來(lái)展示閾值有效性。Bokharaie等人[10]考慮了非均質(zhì)情況下的SIS模型,并且使用矩陣族的聯(lián)合光譜半徑的概念,提供了病毒徹底消除的條件。但現(xiàn)有動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)模型研究中均未考慮計(jì)算機(jī)病毒的隔離與傳統(tǒng)病毒隔離的重要差異。

Zhang[15]等人主要研究了最優(yōu)動(dòng)態(tài)對(duì)策和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)病毒擴(kuò)散和最佳動(dòng)態(tài)對(duì)策的綜合影響,提出了一種新型的異構(gòu)傳播模型及最優(yōu)控制問(wèn)題。祝清意[16]為了研究脈沖控制對(duì)病毒傳播的影響,在前人模型的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)帶脈沖控制的時(shí)滯SIR模型,求得了該模型的無(wú)毒周期解,給出了無(wú)毒周期解的全局吸引性條件和該系統(tǒng)的一致持久性條件,對(duì)于確立合理的計(jì)算機(jī)殺毒軟件更新時(shí)間具有重要意義。楊櫓星[17]研究表明可以根據(jù)節(jié)點(diǎn)的個(gè)性化特點(diǎn),最合算的分配補(bǔ)丁,在病毒控制策略方面以更小的代價(jià),盡量減小網(wǎng)絡(luò)病毒所造成的損失。Wan等[13]研究了通過(guò)利用拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在網(wǎng)絡(luò)中分配有限的控制資源,并使用特征值敏感度思想以及采用拉格朗日乘子的約束優(yōu)化方法,最大程度的抑制病毒的傳播。Enns等[14]研究了在網(wǎng)絡(luò)圖結(jié)構(gòu)中刪除相關(guān)聯(lián)系,并對(duì)移動(dòng)連接的數(shù)量加以限制,從而使節(jié)點(diǎn)感染病毒的數(shù)量最小化。這種方法取得了較好的結(jié)果,有效的抑制了病毒的傳播。

本文主要研究在無(wú)標(biāo)度動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)中,根據(jù)病毒的特殊屬性以及影響計(jì)算機(jī)病毒傳播的關(guān)鍵因素,結(jié)合博弈論從宏觀層面建立刻畫(huà)病毒傳播行為的動(dòng)力系統(tǒng)模型,分析病毒的傳播規(guī)律,制定有效的策略抑制病毒傳播。

2 基于動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的病毒模型

2.1 傳統(tǒng)SEIR病毒模型

傳統(tǒng)的SEIR模型在SIR模型的基礎(chǔ)上增加了具有潛伏狀態(tài)的倉(cāng)室,該模型包括易感者(S)、潛伏者(E)、感染者(I)、恢復(fù)者(R)。潛伏者是指計(jì)算機(jī)已經(jīng)被侵入了病毒代碼,一開(kāi)始處于潛伏狀態(tài),并沒(méi)有表現(xiàn)出病毒特征,也不具有傳播性,并不會(huì)對(duì)其它節(jié)點(diǎn)造成破壞,但一旦爆發(fā)將產(chǎn)生巨大破壞。傳統(tǒng)SEIR模型的數(shù)學(xué)描述如下

(1)

式(1)中,單位時(shí)間內(nèi)易感者接觸感染者后以概率轉(zhuǎn)化為潛伏者,易感者轉(zhuǎn)化為潛伏者的數(shù)量為。處于潛伏期的病毒爆發(fā)后以概率轉(zhuǎn)化為感染者,潛伏者轉(zhuǎn)化為感染者的數(shù)量為。當(dāng)采用某種方式清除了潛伏者中的病毒后以概率轉(zhuǎn)化為易感者,潛伏者轉(zhuǎn)化為易感者的數(shù)量為。感染者采取某種措施清除病毒并獲得永久免疫后以概率轉(zhuǎn)化為恢復(fù)者,感染者轉(zhuǎn)化為恢復(fù)者的數(shù)量為。本模型不考慮外部因素對(duì)于計(jì)算機(jī)病毒傳播的影響。SEIR模型變化如圖1所示。

圖1 SEIR模型

2.2 動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)SEIR模型建立

本文研究了處于發(fā)展階段的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中,計(jì)算機(jī)的數(shù)量隨時(shí)間呈動(dòng)態(tài)變化。采用計(jì)算機(jī)動(dòng)力學(xué)倉(cāng)室建模的方法,在傳統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上建立了SEIR計(jì)算機(jī)病毒傳播模型,研究計(jì)算機(jī)病毒傳播的過(guò)程。

SEIR系統(tǒng)中各個(gè)節(jié)點(diǎn)與自身狀態(tài)、鄰居節(jié)點(diǎn)、網(wǎng)絡(luò)環(huán)境有一定的聯(lián)系。結(jié)合動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn),加入動(dòng)態(tài)變化的接入移除概率。單位時(shí)間內(nèi),進(jìn)入系統(tǒng)的任何計(jì)算機(jī)都是易感節(jié)點(diǎn),進(jìn)入系統(tǒng)的速率設(shè)為A;系統(tǒng)中,各個(gè)節(jié)點(diǎn)因計(jì)算機(jī)損壞、用戶(hù)下線(xiàn)等原因移除網(wǎng)絡(luò)的速率為d,感染狀態(tài)的計(jì)算機(jī)移出系統(tǒng)速率b,因此,感染狀態(tài)計(jì)算機(jī)移出網(wǎng)絡(luò)的速率為b+d;由于安裝殺毒軟件等原因,易感者以速率轉(zhuǎn)化為具有免疫能力的恢復(fù)者,潛伏者和感染者轉(zhuǎn)化為移出者的概率分別為和;計(jì)算機(jī)病毒觸發(fā)后,潛伏者以概率轉(zhuǎn)化為感染者。

模型中,S(t)表示t時(shí)刻,系統(tǒng)中易感染狀態(tài)的計(jì)算機(jī)數(shù)量;E(t)表示t時(shí)刻,系統(tǒng)中潛伏狀態(tài)的計(jì)算機(jī)數(shù)量;I(t)表示t時(shí)刻,系統(tǒng)中感染狀態(tài)的計(jì)算機(jī)數(shù)量;R(t)表示t時(shí)刻,系統(tǒng)中恢復(fù)狀態(tài)的計(jì)算機(jī)數(shù)量;N(t)表示t時(shí)刻,系統(tǒng)中所有狀態(tài)計(jì)算機(jī)數(shù)量的總和。用公式描述為

S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=N(t)

(2)

其中,模型用微分方程描述如下

(3)

因?yàn)镽(t)=N(t)-S(t)-E(t)-I(t),式(3)可以簡(jiǎn)化為如下微分方程:

(4)

其中,系統(tǒng)(3)的方程組的初始條件為S(0)≥0,E(0)≥0,I(0)≥0,R(0)≥0,則系統(tǒng)的可行域?yàn)棣?{(S,E,I):0≤S,E,I≤A/d,S+E+I≤A/d}。

2.3 病毒模型分析

SEIR模型中具有n個(gè)節(jié)點(diǎn),即有n臺(tái)計(jì)算機(jī)處于互聯(lián)狀態(tài)。假設(shè)病毒在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中傳播,其中任意一臺(tái)計(jì)算機(jī)的感染率i的變化速率如下

(5)

(6)

其中,B=diag(βi,…,βn),符號(hào)diag(·,…,·)為創(chuàng)建一個(gè)矩陣,其中所有參數(shù)都位于對(duì)角線(xiàn)上。A是網(wǎng)絡(luò)圖結(jié)構(gòu)的鄰接矩陣,p(t)=diag(p1(t),…,pn(t)),D=diag(δ1,…,δn)。將式(6)中的模型的時(shí)變擴(kuò)展,即

(7)

其中,A(t)是時(shí)間函數(shù)。

2.4 病毒模型的無(wú)病平衡狀態(tài)

定理1:設(shè)?iβi=β,BA(t)-D的最大特征值始終小于0,即supt≥0λ1(BA(t)-D)<0,且A(t)在t上是分段連續(xù)且有界的,則無(wú)病平衡總在全局范圍內(nèi)呈指數(shù)穩(wěn)定。

≤pT(BA(t)-D)p

≤λ1(BA(t)-D)‖p‖2

≤(supt≥0λ1(BA(t)-D))‖p‖2≤0

(8)

由于每個(gè)pi(t)是一個(gè)概率,構(gòu)造(p(t)BA(t))ij≥0,?i,j,因此第一個(gè)不等式成立。第二個(gè)不等式由Rayleigh-Ritz定理成立,因?yàn)楫?dāng)?iβi=β時(shí),BA(t)-D是對(duì)稱(chēng)陣。第三個(gè)不等式根據(jù)最大值來(lái)定義。因此,由于系統(tǒng)在t中是分段連續(xù)的,而局部Lipschitz條件在?tp(t),p≥0中是連續(xù)的,所以由文獻(xiàn)[11]中的定理2,該系統(tǒng)快速收斂到原點(diǎn)。

定理2:若BA(t)-D的最大特征值始終小于0,即supt≥0λ1(BA(t)-D)<0,且A(t)是連續(xù)可微并且有界的,則無(wú)病平衡呈全局漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明:當(dāng)(p(t)BA(t))ij≥0?i,j,通過(guò)構(gòu)造:

(9)

3 病毒傳播模型的模擬

3.1 病毒模型分析

對(duì)于仿真,節(jié)點(diǎn)的位置和速度都是隨機(jī)的初始條件。初始感染率p(0)的設(shè)置通過(guò)隨機(jī)選擇媒介的一個(gè)子集并完全感染它們實(shí)現(xiàn),即設(shè)置pi(0)=1,?i∈I,其余節(jié)點(diǎn)是完全健康狀態(tài),即pj(0)=0,?j?I.鄰接矩陣A(t)根據(jù)節(jié)點(diǎn)相對(duì)位置構(gòu)成,半徑為r。節(jié)點(diǎn)被限制在一個(gè)固定的區(qū)域,并遵循不同的速度更新。

在本節(jié)中,建立一個(gè)具有100個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),每個(gè)節(jié)點(diǎn)與網(wǎng)絡(luò)圖中的任意若干節(jié)點(diǎn)相連。在系統(tǒng)中隨機(jī)選擇4個(gè)節(jié)點(diǎn),使其感染病毒,并且網(wǎng)絡(luò)圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)都具有一定的治愈率和感染率。在一定的時(shí)間步數(shù)內(nèi),系統(tǒng)中的節(jié)點(diǎn)最終都被治愈。參見(jiàn)圖2。

圖2 動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)變化圖

圖2截取了網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)被感染和治愈的過(guò)程中的四個(gè)階段,(a)為初始階段,(b)(c)為中間階段,(d)為最終階段。分別展示了四個(gè)階段中易感節(jié)點(diǎn)和感染節(jié)點(diǎn)的情況。

圖3給出了網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中易感者和感染者隨時(shí)間變化的數(shù)量曲線(xiàn)圖,其中(a)(b)(c)(d)分別對(duì)應(yīng)圖3中網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖。粗線(xiàn)曲線(xiàn)代表易感節(jié)點(diǎn),細(xì)線(xiàn)曲線(xiàn)代表感染節(jié)點(diǎn)。從細(xì)線(xiàn)曲線(xiàn)看可以看出,在系統(tǒng)4個(gè)節(jié)點(diǎn)被感染并以一定的感染率感染附近節(jié)點(diǎn)的情況下,初始階段被感染節(jié)點(diǎn)呈上升趨勢(shì),易感節(jié)點(diǎn)成下降趨勢(shì),但在一定的治愈率的條件下,最終感染節(jié)點(diǎn)都被治愈,系統(tǒng)最終進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。

圖3 系統(tǒng)中易感與感染節(jié)點(diǎn)變化曲線(xiàn)

3.2 恒定漂移理論

通過(guò)考慮不同的動(dòng)力學(xué)模型可以得出定理1的若干推論。對(duì)于仿真,鄰接矩陣A(t)取決于節(jié)點(diǎn)的位置,即時(shí)間函數(shù)。使用Horn等的定義,對(duì)于某個(gè)半徑r,可以通過(guò)以下方式設(shè)置aij(t)

(10)

其中,x(t)∈Rd。

其中φ是常數(shù)向量,求解這個(gè)微分方程并將其帶入(10),矩陣A(t)變?yōu)?/p>

(11)

若這些節(jié)點(diǎn)具有恒定的漂移,則它們最終將浮動(dòng)的足夠遠(yuǎn)。假設(shè)系統(tǒng)中的節(jié)點(diǎn)具有非零的治愈率,那么,最終系統(tǒng)中的病毒將被徹底清除。

推論1:給定固定的T,如果supt≥0λ1(BA(t)-D)<0,?t>T(B=βI)則無(wú)病平衡呈全局指數(shù)漸進(jìn)穩(wěn)定狀態(tài)。

該系統(tǒng)的線(xiàn)性離散時(shí)間公式為

pk+1=(I-D+BAK)pk

(12)

命題1:考慮式(12)中的模型。如果Ak是獨(dú)立且均勻分布的隨機(jī)變量,并且supkE[ln(σ1(I-D+BAk))]<0,則無(wú)病平衡點(diǎn)可確定為全局漸進(jìn)穩(wěn)定狀態(tài)。

證明:由于supkE[ln(σ1(I-D+BAk))]<0并且Ai為i.i.d,根據(jù)強(qiáng)大數(shù)定律,存在c<0,使得

(13)

(14)

因此對(duì)于任意p0,

(15)

4 基于博弈策略的SIQR病毒隔離控制

針對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的計(jì)算機(jī)病毒控制,目前無(wú)論是技術(shù)領(lǐng)域還是模型領(lǐng)域,對(duì)于一些新型病毒的檢測(cè)與防御都存在欠缺。大多數(shù)的網(wǎng)絡(luò)中的計(jì)算機(jī)病毒控制技術(shù),都是以治愈為主,存在嚴(yán)重的滯后性。而現(xiàn)在的網(wǎng)絡(luò)隔離防止方法對(duì)網(wǎng)絡(luò)流量造成了嚴(yán)重的影響,例如針對(duì)不變的網(wǎng)絡(luò)地址、維護(hù)特別指定的子網(wǎng),都存在很多問(wèn)題。本文在不隔離全部節(jié)點(diǎn)的基礎(chǔ)上,建立模型倉(cāng)室,利用博弈策略對(duì)計(jì)算機(jī)中的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行單獨(dú)隔離,建立了一種基于博弈策略的SIQR病毒隔離控制模型。這個(gè)模型可以有效的解決現(xiàn)有的隔離方法存在的問(wèn)題。

隔離技術(shù)[13,14]是指對(duì)于節(jié)點(diǎn)密集的系統(tǒng),將節(jié)點(diǎn)分成不同的組,在空間上將它們限制在單獨(dú)的區(qū)域內(nèi)。由于計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),而網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中的計(jì)算機(jī)病毒傳播也與這種結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。同時(shí),網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中的計(jì)算機(jī)病毒的傳播會(huì)對(duì)網(wǎng)絡(luò)資源的最佳利用產(chǎn)生影響,因此,通過(guò)控制病毒的傳播來(lái)最大化網(wǎng)絡(luò)資源的利用,是本節(jié)研究?jī)?nèi)容的關(guān)鍵。通過(guò)建立基于SIQR的病毒隔離模型,將系統(tǒng)建立為五個(gè)倉(cāng)室,將不同的狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)隔離在不同的倉(cāng)室內(nèi),從而達(dá)到控制病毒傳播,治愈感染節(jié)點(diǎn),讓系統(tǒng)處于平衡穩(wěn)定狀態(tài)的目的。

4.1 病毒控制模型

本節(jié)基于SIQR模型,建立了基于博弈策略的病毒控制模型。在SIQR病毒模型中,易感節(jié)點(diǎn)的感染概率為βi,恢復(fù)率為γ。節(jié)點(diǎn)可實(shí)施隔離(Q)或者保持正常狀態(tài)(N)。基于博弈理論來(lái)說(shuō),隔離節(jié)點(diǎn)可視為合作者,正常狀態(tài)節(jié)點(diǎn)可視為叛逃者,不同狀態(tài)下有不同的感染率βi。假設(shè)隔離節(jié)點(diǎn)的感染概率比正常狀態(tài)節(jié)點(diǎn)的感染概率低,即βQ<βN。本節(jié)將SIQR模型擴(kuò)展為五部分SQ,SN,IQ,IN,R。

本節(jié)病毒控制模型允許交叉交互,并采用感知支付(π)的博弈論概念,將其未來(lái)的策略采用基于當(dāng)前策略的感知風(fēng)險(xiǎn)。合作者預(yù)計(jì)遭受感知的成本為Ω,這代表所造成的損失,同時(shí)降低了感染率,這會(huì)給合作者帶來(lái)衡定收益,即

πQ=-Ω

(16)

同時(shí),叛逃者由其感染概率乘以可感知的疾病成本參數(shù)δ而具有可感知的風(fēng)險(xiǎn),即

πN=-δβNI

(17)

按照演化的博弈動(dòng)力學(xué),給定主體i,j策略的概率與它們的收益πi有關(guān),由Epperlein規(guī)則

(18)

在每個(gè)時(shí)間間隔(S或I)內(nèi)使用任何類(lèi)型的合作策略(Q)和叛逃策略(N),并將其乘以策略i或j之間的策略轉(zhuǎn)換概率Θ(πi,πj)。這等效于使用均值逼近的演化博弈動(dòng)力學(xué)的主方程(對(duì)于每個(gè)隔室),對(duì)于策略轉(zhuǎn)化率,定義為

Φs=SQ(SN+IN)Θ(πQ,πN)-SN(SQ+IQ)Θ(πN,πQ)

(19)

ΦI=IQ(SN+IN)Θ(πQ,πN)-IN(SQ+IQ)Θ(πN,πQ)

(20)

其中,φs是SQ節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為SN的速率(對(duì)于φI則相反)。從感染動(dòng)力學(xué)來(lái)說(shuō),假設(shè)βa,βN>βa>βQ。其中,βN是叛逃者相互作用的感染率,βQ是合作者相互作用的感染率,合作者與叛逃者之間通過(guò)感染率βa相互作用。本節(jié)設(shè)置βa=a(βN+βQ)/2,即βQ和βN的平均值,該平均值由外部控制參數(shù)1>a>0加權(quán)。假設(shè)所有節(jié)點(diǎn)的恢復(fù)率相同,則SIQR模型的動(dòng)力學(xué)方程如下

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

其中,τ是與流行病的時(shí)間尺度相關(guān)的耦合參數(shù),用于控制節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)變策略的速度。實(shí)驗(yàn)中,采用策略時(shí)間尺度τ=1。如圖4所示,Sd為SQ倉(cāng)室中,處于易感狀態(tài)的合作節(jié)點(diǎn)的數(shù)量變化曲線(xiàn);Sc為SN倉(cāng)室中,處于易感狀態(tài)的叛逃節(jié)點(diǎn)的數(shù)量變化曲線(xiàn);id為IQ倉(cāng)室中,處于感染狀態(tài)的合作節(jié)點(diǎn)的數(shù)量變化曲線(xiàn);ic為IN倉(cāng)室中,處于感染狀態(tài)的叛逃節(jié)點(diǎn)的數(shù)量變化曲線(xiàn)。系統(tǒng)正設(shè)置總共節(jié)點(diǎn)數(shù)為2000,潛伏期設(shè)為40,初始感染者設(shè)為10,每個(gè)倉(cāng)室可容納的隔離數(shù)為400。

圖4 倉(cāng)室SQ,SN,IQ,IN,R中數(shù)量隨時(shí)間變化情況。

從圖中可以看出,隨著時(shí)間的變化,在一定的治愈率的條件下,病毒倉(cāng)室內(nèi)感染節(jié)點(diǎn)的密度隨時(shí)間的增加而減小,網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中的治愈節(jié)點(diǎn)最終都被收斂到R倉(cāng)室中,說(shuō)明計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中的病毒得到了有效的控制,系統(tǒng)趨于平衡穩(wěn)定狀態(tài)。

圖5中展示了SIQR模型中,在不區(qū)分合作節(jié)點(diǎn)與叛逃節(jié)點(diǎn)的情況下,感染節(jié)點(diǎn)、易感染節(jié)點(diǎn)和治愈節(jié)點(diǎn)隨時(shí)間的數(shù)量變化曲線(xiàn)。從圖中可以看出,隨著時(shí)間的變化,網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中感染節(jié)點(diǎn)在一定治愈率的條件下,被逐漸治愈,系統(tǒng)最終呈現(xiàn)無(wú)病平衡的穩(wěn)定狀態(tài)。

圖5 SEIR模型中各倉(cāng)室節(jié)點(diǎn)數(shù)量隨時(shí)間變化

5 總結(jié)

在本文的病毒仿真中,模擬了病毒在人群中傳播的仿真模型。系統(tǒng)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)分配大小為1的運(yùn)動(dòng)范圍參數(shù)。在初始時(shí)間內(nèi)隨機(jī)感染若干個(gè)節(jié)點(diǎn),節(jié)點(diǎn)在一定范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng),當(dāng)感染節(jié)點(diǎn)或潛伏期節(jié)點(diǎn)與易感節(jié)點(diǎn)距離小到一定的范圍后,易感節(jié)點(diǎn)被感染。易感節(jié)點(diǎn)在經(jīng)過(guò)發(fā)病期后被隔離,隔離后系統(tǒng)最終呈現(xiàn)無(wú)感染節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)定狀態(tài),病毒得到了有效的控制。

在基于博弈策略的SEIR病毒隔離控制模型中,將節(jié)點(diǎn)分成不同的組,并在空間上將它們限制在單獨(dú)的區(qū)域內(nèi)。由于計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中的病毒傳播與網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)密切相關(guān),通過(guò)有限的資源隔離來(lái)最大程度的控制病毒傳播是關(guān)鍵。實(shí)驗(yàn)中,策略時(shí)間尺度τ=1時(shí),病毒倉(cāng)室內(nèi)隨時(shí)間的增加而減小,計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中的病毒得到了有效的控制,系統(tǒng)趨于穩(wěn)定狀態(tài)。

本文在SEIR病毒模型的基礎(chǔ)上,根據(jù)病毒爆發(fā)時(shí)通常采取的隔離措施的實(shí)際情況,加入了基于博弈策略的隔離因素,建立了動(dòng)態(tài)計(jì)算機(jī)病毒網(wǎng)絡(luò)模型。通過(guò)進(jìn)行穩(wěn)定性分析、給出無(wú)病平衡條件、仿真,分析了模型中各影響因素在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)病毒傳播過(guò)程中所起到的控制作用,并根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果提出了有效措施,對(duì)防控病毒傳播可以起到重大的指導(dǎo)作用。