朱紫睿,陳麗娟

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建 福州 350108)

0 引言

種群在斑塊間的擴(kuò)散對(duì)種群的生存發(fā)展有著重要影響,近幾年來(lái),學(xué)者們對(duì)種群擴(kuò)散模型的研究越來(lái)越多,并且得到了很多新穎的結(jié)果[1-7].例如,Huang等[8]研究了如下具有擴(kuò)散的雙斑塊模型,即

(1)

其中:N1和N2為斑塊1和2中物種的種群密度;參數(shù)D為擴(kuò)散強(qiáng)度;s反應(yīng)了擴(kuò)散的不對(duì)稱性.

學(xué)者們對(duì)單種群雙斑塊擴(kuò)散模型的研究也取得了很大進(jìn)展,文獻(xiàn)[7]中提出了具有加法Allee效應(yīng)的單種群雙斑塊擴(kuò)散模型,即

(2)

其中:x1和x2為斑塊1和2中物種的種群密度;m和a是Allee效應(yīng)常數(shù);D1(D2)代表從斑塊1(2)到斑塊2(1)的擴(kuò)散率.其研究結(jié)果表明: 加法Allee效應(yīng)和擴(kuò)散率會(huì)導(dǎo)致種群或持久生存或滅絕,并且兩個(gè)斑塊內(nèi)種群的總密度會(huì)隨著a和D1的增大而增大,隨m和D2的增大而減小,并且該系統(tǒng)存在鞍結(jié)分支.

(3)

1 平衡點(diǎn)的存在性

對(duì)于系統(tǒng)(3),將討論其平衡點(diǎn)的存在性,易知系統(tǒng)(3)始終有平衡點(diǎn)E0(0,0),其他平衡點(diǎn)可由以下方程組得到,即

(4)

為了得到系統(tǒng)的正平衡點(diǎn),考慮由方程組(4)得到的方程為

2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

系統(tǒng)(3)在點(diǎn)E0(0,0)處的雅可比矩陣為

所以系統(tǒng)(3)在E0(0,0)處的雅可比矩陣的行列式和跡分別為

(5)

則系統(tǒng)(5)變?yōu)?/p>

(6)

(7)

接下來(lái),繼續(xù)討論正平衡點(diǎn)E*(x12,x22)的穩(wěn)定性.系統(tǒng)(3)在點(diǎn)E*(x12,x22)處的雅可比矩陣為

綜上所述,可以得到以下定理.

接下來(lái)將通過圖1來(lái)驗(yàn)證定理2、推論1和推論2中的結(jié)論.

圖1 系統(tǒng)(3)的相圖

3 非線性出生率和擴(kuò)散的影響

下面分別討論非線性出生率和擴(kuò)散對(duì)總種群密度的影響.由于有

接下來(lái),通過數(shù)值模擬探究擴(kuò)散對(duì)種群總密度的影響,令a1=3,A=2,D2=d=b=r=1,發(fā)現(xiàn)T1隨著D1的增大而減小(具體見圖2(a)).令a1=3,A=2,D1=d=b=r=1,發(fā)現(xiàn)T1隨著D2的增大而增大(具體見圖2(b)).這是符合生態(tài)學(xué)意義的,D1(D2)是從斑塊1(2)到斑塊2(1)的擴(kuò)散率,當(dāng)沒有擴(kuò)散時(shí),斑塊2內(nèi)種群增長(zhǎng)率是負(fù)的.因此,當(dāng)D2變大時(shí),種群更容易從斑塊2擴(kuò)散到斑塊1中,即種群擴(kuò)散到增長(zhǎng)率更大的斑塊,從而種群總密度增大,反之,當(dāng)D1增大時(shí),種群容易從斑塊1擴(kuò)散到斑塊2中,這使得種群更容易滅絕,從而減少了種群總密度.

圖2 擴(kuò)散對(duì)系統(tǒng)(3)的種群總密度的影響

4 結(jié)論