張美鈺 胡典順

【摘 要】 以2022年高考全國甲卷、全國乙卷、新高考Ⅰ卷等9套試卷的三角函數(shù)試題為研究對象，從題型分值、知識內(nèi)容、難度水平、基本技能、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)五個(gè)方面進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.發(fā)現(xiàn)：三角函數(shù)試題在2022年高考題型結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，分值占比升高，內(nèi)容注重基礎(chǔ)理解和知識交叉，綜合題型增多，難度水平提升，主要考查理解、推理、運(yùn)算等基本技能，重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).基于此給出教學(xué)建議：回歸教材教學(xué)，注重知識本質(zhì)；合理平衡難度，構(gòu)建知識體系；靈活運(yùn)用知識，堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向.

【關(guān)鍵詞】 2022年高考；三角函數(shù)；試題分析

1 問題提出

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)函數(shù)主題中的內(nèi)容，作為描述周期運(yùn)動、解決實(shí)際問題的初等函數(shù)模型，以完整的知識體系啟發(fā)學(xué)生思維，發(fā)展核心素養(yǎng)，是結(jié)合其它知識考查學(xué)生綜合運(yùn)用能力的良好載體.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”）對三角函數(shù)的學(xué)習(xí)要求為：“在用銳角三角函數(shù)刻畫直角三角形中邊角關(guān)系的基礎(chǔ)上，借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，體會引入弧度制的必要性；用幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的方法研究三角函數(shù)的周期性、奇偶性 （對稱性）、單調(diào)性和最大（小）值等性質(zhì)；探索和研究三角函數(shù)之間的一些恒等關(guān)系；利用三角函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題.”［1］

2022年高考三角函數(shù)試題遵循課程標(biāo)準(zhǔn)要求，在強(qiáng)化基礎(chǔ)考查的同時(shí)突出核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”［2］的命題理念，推進(jìn)了新高考教育評價(jià)體系的進(jìn)一步改革.本文將針對題型分值、知識內(nèi)容、難度水平、基本技能、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)5個(gè)方面進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，給出三角函數(shù)的教學(xué)建議，以期適應(yīng)新高考改革的命題走勢.

2 研究框架

2.1 題型分值

三角函數(shù)在高考試卷中的分?jǐn)?shù)占比體現(xiàn)考核價(jià)值與重要程度，本文對比了其在2021年與2022年9套試卷（全國甲卷文理科、乙卷文理科、新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷、北京卷、浙江卷及天津卷）的分值情況，并對2022年各題型分值分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì).

2.2 知識內(nèi)容

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)及高考考查知識點(diǎn)分布，將三角函數(shù)模塊所含內(nèi)容進(jìn)行知識點(diǎn)劃分及編碼，如表1所示.其中，用A1表示三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）定義，B2表示三角函數(shù)周期性.試題中涉及的其他領(lǐng)域知識點(diǎn)不屬于三角函數(shù)研究范圍，統(tǒng)計(jì)時(shí)單獨(dú)列出.

2.3 難度水平

根據(jù)SOLO理論，通過研究個(gè)體解答題目時(shí)需要回憶的知識點(diǎn)及具備的聯(lián)系運(yùn)用各知識點(diǎn)的能力，可以判斷學(xué)生順利解決題目思維所處的水平，進(jìn)而得到試題的能力層次和難度系數(shù)［3］.基于此，本文將高考試題的難度水平分為四個(gè)層次：單一結(jié)構(gòu)層次（U）、多元結(jié)構(gòu)層次（M）、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次（R）、抽象拓展結(jié)構(gòu)層次（E），難度系數(shù)依次升高.現(xiàn)以乙卷理科第11題為例，進(jìn)行題目難度水平的分析與判定說明.

（乙卷理科第11題）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過F1作D的切線與C的兩支交于M，N兩點(diǎn)，且cos∠F1NF2=35，則C的離心率為（? ）.

A.52?????? B. 32

C. 132???? D. 172

分析 該題將三角函數(shù)與雙曲線結(jié)合，考查的知識點(diǎn)有三角函數(shù)求值、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式、正弦定理及雙曲線定義.通過畫圖，借助幾何直觀鎖定兩個(gè)關(guān)鍵三角形，由已知條件聯(lián)系三角函數(shù)公式求解未知角的三角函數(shù)值，進(jìn)而結(jié)合正弦定理和雙曲線定義求解.考查學(xué)生牢固記憶知識點(diǎn)和巧妙聯(lián)系的解題能力，對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)提出較高要求.因此，該題屬于抽象拓展結(jié)構(gòu)層次，難度水平較高.

2.4 基本技能

基本技能是獲得知識的前提，也是從知識掌握到數(shù)學(xué)能力形成與發(fā)展的中間環(huán)節(jié)［4］，關(guān)于數(shù)學(xué)技能的研究較少，現(xiàn)有相關(guān)文獻(xiàn)對基本技能的劃分有兩種，第一種分為心智技能與動作技能，第二種分為知識型技能、法則型技能和方法型技能［5］［6］.基于心智技能形成的原型定向、操作、內(nèi)化三階段模型和動作技能外顯可見的特征，本文結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)中學(xué)業(yè)質(zhì)量水平在知識技能上的質(zhì)量描述，概括提出學(xué)生在解答高中階段數(shù)學(xué)試題時(shí)應(yīng)具備的基本技能，見表2.

為了研究框架的一致性，將一道題目考查的基本技能水平按照解題使用的技能個(gè)數(shù)分為三個(gè)層次，見表3.由于理解為必備技能，故將使用2～3個(gè)技能設(shè)置為水平一.基于此，對2022年高考三角函數(shù)試題涉及的基本技能及水平進(jìn)行判斷和統(tǒng)計(jì)分析.

2.5 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

本文依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及素養(yǎng)表現(xiàn)三水平，基于喻平從知識學(xué)習(xí)層面的劃分，采用數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價(jià)指標(biāo)框架［7］統(tǒng)計(jì)分析2022年高考三角函數(shù)試題素養(yǎng)在知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新水平上的表現(xiàn).通過量化賦值，探究不同核心素養(yǎng)的考查程度，對試卷進(jìn)行比較分析，以便更加有針對性地對三角函數(shù)展開教學(xué)與學(xué)習(xí)，以新高考Ⅰ卷第6題為例進(jìn)行賦值說明.

（新高考Ⅰ卷第6題）記函數(shù)f（x）=sinωx+π4+b（ω>0）的最小正周期為T.若2π3<T<π，且y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)3π2，2中心對稱，則fπ2=（? ）.

Ａ.1?? B. 32?? C. 52?? D. 3

賦值說明：該題是一道5分的選擇題，主要考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì).學(xué)生需要明確問題情境是先求參數(shù)再求值，知道解析式中參數(shù)含義，對新的對稱點(diǎn)進(jìn)行簡單推理，結(jié)合范圍進(jìn)行運(yùn)算得到結(jié)果.本題主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，賦值為：MA1－1.5、LR1－1.5、MO2－2，分別代表本題考查了知識理解水平下的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、知識理解水平下的邏輯推理素養(yǎng)、知識遷移水平下的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，賦值分?jǐn)?shù)根據(jù)重要程度給出.

3 統(tǒng)計(jì)結(jié)果及分析

根據(jù)研究框架，將統(tǒng)計(jì)結(jié)果分為試題命制和核心素養(yǎng)考查兩部分進(jìn)行分析.

3.1 試題命制分析

在2022年9套高考試卷中，三角函數(shù)所占分?jǐn)?shù)在15～28分之間，占整套試卷總分的10.0%～18.6%，平均分為20.8分.與2021年各套試卷總分情況相比如圖1所示，可以看出，除新高考Ⅰ卷外，各套試卷總分均有上升.圖2是2022年三角函數(shù)在各題型的分值分布情況，整體來看，題型結(jié)構(gòu)為1～3道選擇題，0或1道填空題，0或1道解答題，基本每套試卷至少保證了2道封閉型試題與1道開放型試題的考查，在唯一沒有主觀題的甲卷中，三角函數(shù)則出現(xiàn)在了選擇和填空壓軸的位置，題型結(jié)構(gòu)穩(wěn)定.由此可見，三角函數(shù)以相當(dāng)重的分量出現(xiàn)在高考試卷中，考查比例有所提高，通過主觀與客觀相結(jié)合的方式評價(jià)學(xué)生的必備知識與技能素養(yǎng)，部分試題以多選題的形式發(fā)揮了提高試卷得分率的功能.天津卷的壓軸選擇題呈現(xiàn)出多選形態(tài)，體現(xiàn)了自命題試卷趨同于全國卷的命題趨勢，是逐步推進(jìn)新高考改革的表現(xiàn).

根據(jù)第二部分的研究框架，對2021年和2022年三角函數(shù)試題進(jìn)行知識內(nèi)容、難度水平和基本技能的統(tǒng)計(jì)，文理科重復(fù)試題只出現(xiàn)1次，限于篇幅只給出2022年試題統(tǒng)計(jì)情況，具體內(nèi)容見表4.

三角函數(shù)知識點(diǎn)頻數(shù)分布如圖3、圖4所示，兩年試題總體上考查圖象及性質(zhì)次數(shù)最多，恒等變換和解三角形次之，概念最少，2022年未出現(xiàn)應(yīng)用題型，2021年僅涉及1道.三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)主要在封閉型試題中考查，恒等變換分布較均勻，概念作為必備知識出現(xiàn)在各個(gè)題型中.選擇題以圖象及性質(zhì)和恒等變換為重點(diǎn)，解答題較為固定，以解三角形為主要載體，結(jié)合恒等變換公式的靈活運(yùn)用和周長面積考查.此外，2022年大幅增加三角函數(shù)與其它章節(jié)知識的綜合考查，涉及單調(diào)性、雙曲線、基本不等式以及初等函數(shù)二級結(jié)論等多個(gè)方面，學(xué)生需要掌握多個(gè)領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識和解題通法，實(shí)現(xiàn)從思考單一因素到兼顧多個(gè)因素的思維跨越.2022年三角函數(shù)試題情境均為數(shù)學(xué)情境，但據(jù)往年命題特點(diǎn)，三角函數(shù)逐漸與現(xiàn)實(shí)、科學(xué)及數(shù)學(xué)文化相聯(lián)系，增強(qiáng)了應(yīng)用性與創(chuàng)新性，課程標(biāo)準(zhǔn)也“強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力，注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透”［1］，教師及學(xué)生應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注.

對2021年和2022年試卷的三角函數(shù)試題所處SOLO結(jié)構(gòu)層次進(jìn)行判定分析，由于題目數(shù)量繁多具體過程不再一一列出，繪制難度水平題量分布雷達(dá)圖，如圖5.可以看到2022年較2021年U水平減少，M、E水平增多，R水平題量穩(wěn)定，符合三角函數(shù)出現(xiàn)在壓軸題位置的現(xiàn)狀，難度適當(dāng)提升，但也使得更多學(xué)生可以上手求解壓軸題，揭下其不可靠近的“神秘面紗”，發(fā)揮了試題的評價(jià)作用.三角函數(shù)這一本來在高考中穩(wěn)定拿分的知識模塊，在2022年有所改變，送分題減少，難度水平從簡單、中等轉(zhuǎn)變?yōu)橹械?、中上等，更加注重學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解和靈活運(yùn)用.涉及其他領(lǐng)域知識的復(fù)合型題目增多，考查學(xué)生完整知識體系，聚焦學(xué)生的關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng).三角函數(shù)已經(jīng)不再是一成不變的拿分“堡壘”，試題逐漸破除套路，改變分布結(jié)構(gòu)，注重知識整合，建構(gòu)完整體系［8］，是教師和學(xué)生不可掉以輕心的“重頭戲”.

繪制基本技能應(yīng)用頻數(shù)條形圖和水平題量分布圖，如圖6、圖7所示.可以看出，三角函數(shù)題目求解涉及的基本技能水平主要為水平一和水平二，即每道題用到的技能個(gè)數(shù)不多于5個(gè).其中，理解、推理、運(yùn)算技能使用次數(shù)最高，符合三角函數(shù)自身具有抽象性和計(jì)算性的特點(diǎn)，作圖技能和識圖技能考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用，突出三角函數(shù)圖象的作用，建模求解技能體現(xiàn)在函數(shù)、不等式等模型的應(yīng)用上，是學(xué)生解決復(fù)合問題的關(guān)鍵.

3.2 核心素養(yǎng)考查分析

將2022年題目賦值結(jié)果進(jìn)行整理，計(jì)算六大核心素養(yǎng)在知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新水平賦分匯總占三角函數(shù)總分的權(quán)重，得到表5.以MA2在甲卷理科中的權(quán)重0.05為例，由該卷數(shù)學(xué)抽象在知識遷移水平的考查分1分除以三角函數(shù)總分20分計(jì)算得出.綜合來看，三角函數(shù)主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，在部分題目中對直觀想象和數(shù)學(xué)建模有所涉及.

由圖8可以看到，數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理在知識遷移上的考查多于知識理解，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模則相反，直觀想象持平.三角函數(shù)知識體系自身并不復(fù)雜，更多傾向于提升學(xué)生的運(yùn)算能力和公式變換的推理能力，所以在運(yùn)算推理方面對學(xué)生提出更高要求，而數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模是對學(xué)生理性思維和應(yīng)用能力考查的體現(xiàn)，在三角函數(shù)中傾向于簡單運(yùn)用，有一定掌握即可.直觀想象在數(shù)形結(jié)合的題目中出現(xiàn)，數(shù)據(jù)分析在三角函數(shù)內(nèi)容中不涉及.各類素養(yǎng)對知識創(chuàng)新水平的考查都很少，體現(xiàn)了高考強(qiáng)化基礎(chǔ)考查、突出關(guān)鍵能力的命題特點(diǎn).

2022年各套試卷中三角函數(shù)體現(xiàn)的素養(yǎng)分布如圖9所示，可以看到，甲卷考查的素養(yǎng)類型最為全面，且考查比例較為均勻，是學(xué)生全面發(fā)展在核心素養(yǎng)層面的良好體現(xiàn).乙卷與新高考Ⅰ卷均涉及四種素養(yǎng)的考查，是綜合考慮難度水平與合理評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的良好命題方式.浙江卷與其余試卷的側(cè)重點(diǎn)有所不同，對于邏輯推理的考查占比最大，更加關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維的表現(xiàn)與提升，而其余試卷則重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的運(yùn)算能力，這為各地區(qū)關(guān)于三角函數(shù)教學(xué)與學(xué)習(xí)的重點(diǎn)提供參考.

核心素養(yǎng)的落實(shí)是立德樹人的根本要求，三角函數(shù)承擔(dān)著培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要作用.學(xué)生對三角函數(shù)概念和公式進(jìn)行理解記憶，構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型，有利于發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)；合理選擇三角恒等變換公式，靈活處理，正確計(jì)算，落實(shí)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；解題常用數(shù)形結(jié)合思想，通過圖形、圖象在頭腦中建構(gòu)三角形相關(guān)元素的動態(tài)聯(lián)結(jié)和函數(shù)圖象的變化特征，發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng).

4 結(jié)論與建議

4.1 結(jié)論

2022年高考三角函數(shù)題型結(jié)構(gòu)良好，在總題量中分值占比升高，難題增多，中等偏上的題目占大多數(shù).全國卷文理科部分題目相同，難度差距縮小.三角函數(shù)打破通常只出現(xiàn)在簡單、中檔題的命題規(guī)律，減少了“送分題”.內(nèi)容考點(diǎn)注重基礎(chǔ)知識的理解和不同章節(jié)知識的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生通性通法的掌握，體現(xiàn)能力思維.三角函數(shù)針對數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)進(jìn)行重點(diǎn)考查，對運(yùn)算和推理能力提出高要求，涉及直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).2022年高考是針對“死記硬背”“題海戰(zhàn)術(shù)”的一次反套路化出題，彰顯出三角函數(shù)在高考評價(jià)中的重要作用.

4.2 教學(xué)建議

（1）回歸教材教學(xué)，注重知識本質(zhì).

技巧速解不能解決所有題型，盲目刷題只會事倍功半，增加學(xué)生負(fù)擔(dān).高考試題常常在教材習(xí)題的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式與提升，在提倡“雙減”的今天，回歸教材內(nèi)容，關(guān)注知識本質(zhì)，是高考體現(xiàn)的命題趨勢，也是應(yīng)對反套路化試題的最好辦法.三角函數(shù)內(nèi)容考點(diǎn)穩(wěn)定，但考查方式靈活多變，突出本質(zhì)，要求學(xué)生有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識、基本技能和良好的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.教師應(yīng)以教材為起點(diǎn)，研課研題，變式變形，系統(tǒng)化講解各專題知識，推進(jìn)單元教學(xué)設(shè)計(jì)，按照知識的本質(zhì)特征和邏輯關(guān)系層層遞進(jìn)，精心設(shè)計(jì)題目，走在學(xué)生前面，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)步高效.學(xué)生在深刻把握本質(zhì)和針對性練習(xí)的基礎(chǔ)上，才能充分提升技能，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，在復(fù)雜多變的試題面前“撥云開霧”.

（2）合理平衡難度，構(gòu)建知識體系.

高考試題新穎多變，但很少有偏題怪題，題目難度的升高體現(xiàn)在通性通法的融會貫通和知識體系的完整考查.根據(jù)2022年和往年命題規(guī)律，高考通常綜合多個(gè)一級知識點(diǎn)進(jìn)行出題，并會結(jié)合不同主題知識創(chuàng)新發(fā)散.學(xué)生需要在理解條件和推理分析后，通過已有知識經(jīng)驗(yàn)判斷該題類型和解決方法，如2022年甲卷理科11題，審題后可知是整體代入和數(shù)形結(jié)合求解參數(shù)范圍的常見題型;再如新高考Ⅰ卷18題第2小問，是邊角互換結(jié)合三角恒等變換公式并跨章節(jié)考查不等式的內(nèi)容，要求學(xué)生熟能生巧地運(yùn)用知識.這啟示教師應(yīng)在教學(xué)中平衡好各章節(jié)內(nèi)容的深度，保證難度設(shè)計(jì)的科學(xué)合理，注意知識的廣度，幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系，這樣學(xué)生才能在綜合題目中統(tǒng)籌各知識點(diǎn)，進(jìn)行信息整合，大膽猜想，提出解題策略.

（3）靈活運(yùn)用知識，堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向.

三角函數(shù)知識類型豐富，涉及公式繁多，出題變化多樣，學(xué)生應(yīng)以不變應(yīng)萬變，靈活備考.教師要指出，求值時(shí)觀察已知角與目標(biāo)角之間關(guān)系的重要性，傳授學(xué)生拆湊拼補(bǔ)的配角技巧，拒絕公式的死記硬背，引導(dǎo)學(xué)生正逆交替、活用定理，挖掘題目背后的隱含條件.學(xué)生在長期活躍的數(shù)學(xué)解題思維中，才能逐漸學(xué)會靈活運(yùn)用知識，根據(jù)問題情境作變換轉(zhuǎn)化，突破三角函數(shù)問題的思維障礙，使三角函數(shù)成為高考中的得分要點(diǎn).在素養(yǎng)導(dǎo)向下，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生解題過程中的能力表現(xiàn)，審視思維缺口，引導(dǎo)邏輯融洽，讓學(xué)生能夠根據(jù)具體問題探索論證思路，而非只是套路做題.面對試題“七十二變”，自有知識和方法的“金箍棒”來應(yīng)對解決.

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作者簡介 張美鈺（1999— ），女，內(nèi)蒙古呼和浩特人，研究生;主要從事數(shù)學(xué)教育研究.

胡典順（1965— ），男，湖北孝感人，教授、博士生導(dǎo)師;主要從事數(shù)學(xué)課程原理、數(shù)學(xué)教學(xué)原理、數(shù)學(xué)教師教育研究.