汪志濤，袁曉

（四川大學(xué)電子信息學(xué)院, 四川成都，610064）

0 引言

近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微積分作為熱門(mén)領(lǐng)域受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛研究，并逐步發(fā)展為數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要領(lǐng)域[1]。具有分?jǐn)?shù)階微積分運(yùn)算功能的電路與系統(tǒng)——分?jǐn)?shù)階電路與系統(tǒng)[2-3]的研究與應(yīng)用也越來(lái)越廣泛，尤其是具有任意實(shí)分?jǐn)?shù)階微積算子的分抗逼近電路[4]的研究。分抗元件是構(gòu)建分?jǐn)?shù)階電路與系統(tǒng)的核心部分，理想μ階分抗元的阻抗函數(shù)為：

式中，s是拉普拉斯變量，也稱為頻率運(yùn)算變量；μ是分抗元的運(yùn)算階，取值為分?jǐn)?shù)時(shí)，稱sμ為分?jǐn)?shù)階算子；F(μ)表示分抗元的集總特征值。

理想的分抗元是不存在的，目前在工程上，往往都是借助整數(shù)階元件(電阻、電容、電感等)構(gòu)建一個(gè)有限的無(wú)源二端電路網(wǎng)絡(luò)，使得該電路網(wǎng)絡(luò)在特定的頻段范圍內(nèi)具有理想分抗元的運(yùn)算特性[5～6]，這種電路網(wǎng)絡(luò)被稱為分抗逼近電路。經(jīng)典的分形分抗逼近電路, 如負(fù)半階Oldham 分形鏈類、任意階Liu-Kaplan 分形鏈、Carlson 分形格分抗逼近電路等。

本文的目的在于借助Multisim 軟件對(duì)經(jīng)典的分形分抗逼近電路進(jìn)行仿真分析，得出分抗逼近電路的幅頻特征和相頻特征曲線，將幅頻特征數(shù)據(jù)通過(guò)Matlab 進(jìn)行差分求導(dǎo)運(yùn)算得出分抗逼近電路的階頻特征曲線，并運(yùn)用蒙特卡羅法進(jìn)行容差分析，得出電路元器件參數(shù)對(duì)電路運(yùn)算性能的影響。從分?jǐn)?shù)階微積分運(yùn)算角度——運(yùn)算階特征和恒相特征兩方面考察分抗電路的運(yùn)算特性[7～9]。

1 分形分抗逼近電路理論分析

Oldham 等人在20 世紀(jì)70 年代初期引進(jìn)了一類具有負(fù)半階運(yùn)算特征的規(guī)則分形鏈結(jié)構(gòu)——Oldham Ⅰ型分形鏈電路[10～13]，原型電路及其迭代電路如圖1(a)和圖1(b)所示。文獻(xiàn)[4]根據(jù)對(duì)偶操作原理構(gòu)建出同樣具有負(fù)半階運(yùn)算性能的Ⅱ型、Ⅲ型、Ⅳ型分形鏈電路如圖1(c)，圖1(d)，圖1(e)所示。根據(jù)Oldham Ⅰ型分形鏈分抗迭代電路，由迭代算法公式算出它的輸入阻抗序列為：

圖1 Oldham 分形鏈類分抗逼近電路

如果令R=a，(Cs)-1=b，Z k(s)=xk，則得到一個(gè)代數(shù)迭代運(yùn)算公式：

式中代數(shù)函數(shù)F(x)(a≠b,x∈?+)稱為Oldham Ⅰ型鏈分抗的迭代函數(shù)，且函數(shù)F(x) 是收斂的，其不動(dòng)點(diǎn)r即迭代方程式(4)的正實(shí)根。

式(2)中當(dāng)k無(wú)窮大時(shí)的極限阻抗Z(s) 就是迭代函數(shù)F(x)的不動(dòng)點(diǎn)r(s)，即有：

式中，Ω0=1RC，是Oldham Ⅰ型鏈分抗的本征頻率。

從式(5)和式(7)可以直接看出，Oldham Ⅰ型鏈分抗逼近理想的負(fù)半階分抗不如Oldham Ⅰ型鏈分抗好，并且它們都是在低頻段逼近理想分抗。

式中F(y)稱為Oldham Ⅰ型鏈分抗的歸一化迭代函數(shù)。

表1 Oldham鏈分抗類電路的數(shù)學(xué)描述

2 分形分抗逼近電路仿真分析

Multisim14 電路仿真軟件提供了非常齊全的仿真與分析功能[15]，仿真分析方法主要有：交流掃描分析方法 (AC Sweep Analysis) 用于計(jì)算電路的頻率響應(yīng)，輸入信號(hào)源都將用設(shè)定頻率的正弦信號(hào)代替；蒙特卡羅分析 (Monte Carlo Analysis) 采用統(tǒng)計(jì)的方法分析元件特性對(duì)電路性能的影響；最壞情況分析 (Worst Case Analysis) 也是以統(tǒng)計(jì)分析的方式，來(lái)研究元件參數(shù)變化時(shí)可能對(duì)電路性能造成的最壞影響。其中蒙特卡羅分析方法和最壞情況分析方法是電子電路容差分析主要的兩種方法。

借助Multisim 電路仿真軟件，建立起Oldham Ⅰ型鏈分抗仿真電路如圖2 所示，電路中的電阻阻值R=1 k Ω，電容容值C=1μF時(shí)，初始迭代值Z0(s) =R= 1 k Ω。

圖2 Oldham Ⅰ型鏈分抗仿真電路

2.1 交流分析

在Multisim 中進(jìn)行交流掃描分析，設(shè)置交流分析的起始頻率為0.0001 Hz，截止頻率為10 kHz，掃描方式為默認(rèn)的十倍刻度掃描，每十倍頻采樣點(diǎn)數(shù)為100 個(gè)，垂直刻度選擇對(duì)數(shù)刻度，輸出中選定用于分析的變量為V(1) I(V1) ，既分抗電路的輸入阻抗，當(dāng)逼近級(jí)次數(shù)k分別為1、4、16、64、256 時(shí)，運(yùn)行后得到的幅頻特征曲線和相頻特征曲線數(shù)據(jù)導(dǎo)入到Excel 中，再通過(guò)Matlab 進(jìn)行數(shù)據(jù)處理得出OldhamⅠ型鏈分抗電路輸入阻抗隨迭代次數(shù)（逼近級(jí)次數(shù)）k變化的幅頻特征曲線和相頻特征曲線如圖3 (a)和圖3(b)所示，隨著迭代次數(shù)的增大，逼近電路原來(lái)越復(fù)雜，帶來(lái)的逼近帶寬也越來(lái)越大。其中虛直線是運(yùn)算階數(shù)μ=-1 2的理想分抗的頻域特征函數(shù)曲線。圖3 (c)的階頻特征曲線由幅頻特征微分所得，階頻特征和相頻特征可完全表征分抗逼近電路的運(yùn)算特性。對(duì)于一個(gè)給定的分抗與分?jǐn)?shù)階電路系統(tǒng)，考慮其運(yùn)算階才是首要的。經(jīng)過(guò)對(duì)比分析，通過(guò)Multisim 軟件進(jìn)行交流仿真分析所得頻域特征曲線與在Matlab 中數(shù)值求解所得的頻域特征曲線幾乎一致，由此可見(jiàn)在Multisim 中進(jìn)行仿真分析的可行性。

圖3 Oldham Ⅰ型鏈分抗頻域特征曲線

2.2 蒙特卡羅分析

在Multisim 軟件的分析菜單中選擇蒙特卡羅分析，圖2(a)所示的電路分別將電阻 1R阻值、電容 1C容值的容差范圍及其分布規(guī)律選擇正態(tài)高斯分布百分比為50，選擇交流分析類型，蒙特卡羅分析次數(shù)為5，輸出變量為V(1) I(V1) ，既分抗電路的輸入阻抗，啟動(dòng)并運(yùn)行后得到圖4 所示的OldhamⅠ型鏈分抗逼近電路 1R、1C標(biāo)稱值與有50%容差情況下的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)的曲線簇波形。由蒙特卡羅分析結(jié)果，可以看出當(dāng)元器件參數(shù)值按50%正態(tài)高斯分布規(guī)律隨機(jī)變化時(shí)，分抗電路的幅頻響應(yīng)及相頻響應(yīng)呈現(xiàn)了一定的分散性。

圖4 蒙特卡羅分析結(jié)果(k=1)

對(duì)應(yīng)容差分析電路的階頻特征曲線如圖5 所示，根據(jù)分析結(jié)果可知k=1 時(shí)電阻 1R參數(shù)容差相比于 1C參數(shù)容差對(duì)Oldham Ⅰ型鏈分抗逼近電路的運(yùn)算性能影響更大。對(duì)于改進(jìn)的Oldham型鏈分抗，從式(5) 和式(7)可以直接看出，Ⅰ型改進(jìn)型鏈分抗逼近理想的負(fù)半階分抗效果更好，上述的蒙特卡羅分析結(jié)果也是從仿真實(shí)驗(yàn)上證實(shí)了這一特性。

圖5 階頻特征曲線(k=1)

在圖2 (b)所示k=4 時(shí)的Oldham Ⅰ型鏈分抗逼近電路中分別將電阻 1R、2R、3R、4R阻值的容差范圍及其分布規(guī)律選擇正態(tài)高斯分布百分比為50，Multisim 軟件中其它仿真設(shè)置與k=1 時(shí)一致。根據(jù)運(yùn)行后得到的頻率響應(yīng)曲線簇波形，通過(guò)Matlab 進(jìn)行數(shù)據(jù)處理得到對(duì)應(yīng)容差分析電路的階頻特征曲線如圖6 (a)所示，可以看出電阻 1R取值分布對(duì)分抗電路的運(yùn)算階影響最大，電阻阻值越接標(biāo)稱值的一半時(shí)，對(duì)分抗逼近電路而言所帶來(lái)的逼近帶寬越大，并且越靠近初始電阻 0R的電阻參數(shù)容差對(duì)電路運(yùn)算階的影響越小，所以在工程中進(jìn)行電路設(shè)計(jì)時(shí)，對(duì)電阻 1R阻值的精度要求更嚴(yán)格，電阻 1R的容差越小越好。

圖6 容差分析階頻特征曲線(k=4)

再將k=4 時(shí)的Oldham Ⅰ型鏈分抗逼近電路中分別電容 1C、C2、3C、C4的參數(shù)容差范圍及其分布規(guī)律選擇正態(tài)高斯分布百分比為50，其它設(shè)置與對(duì)電阻進(jìn)行容差分析時(shí)一致。進(jìn)行蒙特卡羅分析后得到頻率響應(yīng)曲線簇波形，圖6 (b)為將數(shù)據(jù)導(dǎo)入Matlab 進(jìn)行處理后得到各個(gè)電容對(duì)應(yīng)容差分析的分抗電路的階頻特征曲線。經(jīng)過(guò)分析得出越靠近初始電阻 0R的電容參數(shù)容差對(duì)電路運(yùn)算階的影響越小，相反，1C的容差對(duì)電路運(yùn)算性能的影響最大，意味著在工程上設(shè)計(jì)分抗電路時(shí)，電容 1C的容差也是越小越好。

3 結(jié)論

由以上分析結(jié)果可以看出，利用Multisim 軟件可以方便快速地對(duì)分抗逼近電路進(jìn)行仿真，通過(guò)交流分析可以得出電路的幅頻特征和相頻特征，蒙特卡羅分析方法通過(guò)改變電路元件的參數(shù)，可以得到不同電路元件參數(shù)容差對(duì)電路運(yùn)算性能的影響，十分便于我們從分?jǐn)?shù)階微積分運(yùn)算的角度考察分抗電路的運(yùn)算特性，為分抗電路可靠性設(shè)計(jì)提供有意義的依據(jù)，從而節(jié)省設(shè)計(jì)時(shí)間與設(shè)計(jì)費(fèi)用，提高電子產(chǎn)品的設(shè)計(jì)效率。