彭詩(shī)棋 林欣茹 彭子恒

（中國(guó)核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院 四川省成都市 610213）

自倫琴發(fā)現(xiàn)X 射線以來，它已逐步在許多領(lǐng)域有了越來越多的應(yīng)用，X 射線光學(xué)的飛速發(fā)展也催生了一個(gè)重要的門類——導(dǎo)管X 光學(xué)[1,2,3,4]。隨著研究領(lǐng)域的不斷拓展、各領(lǐng)域研究的不斷深入以及研究者們對(duì)數(shù)據(jù)精度要求的不斷提高，實(shí)踐對(duì)導(dǎo)管X 光器件的性能也有了越來越高的要求。導(dǎo)管X 光學(xué)領(lǐng)域也逐漸發(fā)展出了更復(fù)雜、更具有針對(duì)性的各種新型器件來。通過對(duì)X 射線在不同形狀、不同曲率的導(dǎo)管中的傳輸規(guī)律的研究，來研究各類導(dǎo)管X 光器件對(duì)X 光的傳輸特性，進(jìn)而引導(dǎo)器件的設(shè)計(jì)理念和制造工藝的改進(jìn)，越來越成為導(dǎo)管X光學(xué)領(lǐng)域研究的一個(gè)重要方向[5,6]。

對(duì)毛細(xì)管X 光透鏡的光線追蹤的模擬計(jì)算，可以優(yōu)化、指導(dǎo)毛線管X 光透鏡的設(shè)計(jì)與研制，具有很重要的實(shí)踐意義。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 椎管的幾何描述與光線追跡過程

相較于透鏡而言，椎管的幾何特性不難描述，由于它的內(nèi)管壁是圓錐曲面中的一段，因此只需要將該圓錐曲面的表達(dá)形式求解出來就可以了。如圖1 建立坐標(biāo)系，設(shè)光源到椎管入口處的距離為D，椎管長(zhǎng)度為L(zhǎng)，椎管入口半徑為R1，出口半徑為R2。

圖1：椎管坐標(biāo)系的建立

易知在任意z處管內(nèi)壁的表達(dá)式為：

在該處管壁的單位外法矢量為：

其中：mx=2x，my=2y，

再?gòu)墓庠春妥倒苋肟诮孛嫔细麟S機(jī)取一點(diǎn)，確定出入射光線的方向向量及入射光線所在直線的方程，將該方程與式（2）聯(lián)立，可得一個(gè)關(guān)于z的一元二次方程，直接求解便可得到光線所在直線與椎管管壁的交點(diǎn)。再求出反射光線向量，迭代循環(huán)。

1.2 傳輸效率及光強(qiáng)分布

在光源的范圍內(nèi)及子管入口的范圍內(nèi)分別隨機(jī)取N個(gè)點(diǎn)，確定出N條隨機(jī)的入射光線，每條光線的權(quán)重為1，將上述追跡過程重復(fù)N次，則進(jìn)入彎管的總光強(qiáng)I0=N。

出射光光強(qiáng)分為兩個(gè)部分，直射光I1與反射光I2，I1與I2可表示為：

其中N1是直射光線的條數(shù)，N2是反射光線的條數(shù)，M是某條光線的反射次數(shù)，Rm(θm)是該條光線在子管管壁上發(fā)生第m 次反射時(shí)的反射系數(shù)。X射線在子管中的傳輸效率為出射光強(qiáng)與入射光強(qiáng)之比。

要模擬光斑形貌，就必須知道每一條出射光線打在接收屏上的具體位置。根據(jù)光線追跡法，求解出每一條光線的傳輸路徑，并且根據(jù)全反射條件，判斷它是否會(huì)在傳播過程中被管壁吸收，最終是否能從子管末端出射，被接收屏捕獲。記光線從子管出射前，在管內(nèi)最后一次反射時(shí)，反射光的方向向量為，路徑起點(diǎn)為(xsn,ysn,zsn)，接收屏距子管出口端的距離為f，可以求得光線打在屏上的位置坐標(biāo)為：

為了直觀上獲知椎管的焦距大小，本文模擬了椎管軸向（即z軸方向）上的光強(qiáng)分布。為能夠直觀地看到光強(qiáng)沿軸向的分布，就必須將光強(qiáng)分布的圖像顯示在顯示屏上。為此，把椎管及椎管外一部分空間所在的平面劃分成1313×153 個(gè)區(qū)域，設(shè)這個(gè)平面的左頂角坐標(biāo)為(pl,maxp)，右底角為(pr,minp)。并在Delphi 7 中建立一個(gè)1313×153 的圖像框來圖像顯示每個(gè)區(qū)域中光想強(qiáng)度的大小。為了獲知每一個(gè)像素點(diǎn)的顏色深淺，還必須生成一個(gè)1313×153 的矩陣來控制。該矩陣記錄了每個(gè)區(qū)域內(nèi)所通過的光路的條數(shù)。

光線在管內(nèi)傳播時(shí)，其路徑是由大量的線段組成，這些線段的起點(diǎn)是光線上一次反射的反射點(diǎn)，終點(diǎn)是光線下一次反射的反射點(diǎn)。先將其中某一段線段單獨(dú)提出來研究。假設(shè)該段線段的起點(diǎn)坐標(biāo)是(xs,ys,zs)，終點(diǎn)坐標(biāo)為(xc,yc,zc)，將該線段投影在zox平面上（如圖2所示）。

圖2：椎管軸向光強(qiáng)分布求解示意圖

圖3：椎管傳輸效率測(cè)量的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

起點(diǎn)所在區(qū)域所對(duì)應(yīng)的像素點(diǎn)為(pix_zs,pix_xs)（pix_zs和pix_xs都是整數(shù)），由幾何關(guān)系可知：

同理，終點(diǎn)所在區(qū)域?qū)?yīng)的像素點(diǎn)(pix_zc,pix_xc)（pix_zs和pix_xs也都是整數(shù)）也可求得。

3．1 佛山各區(qū)兒童行為問題檢出率無差異 本次調(diào)查的1 695名佛山市兒童，行為問題檢出率為11．8%，與國(guó)內(nèi)外報(bào)告基本一致，比深圳的兒童問題檢出率13．97%稍低［3］，國(guó)外兒童問題發(fā)生率5%～15%，全國(guó)4～16歲兒童少年行為問題檢出率10．78%～15．16%［2］。

除了這兩個(gè)區(qū)域外，起點(diǎn)與終點(diǎn)連線間的所有區(qū)域，該線段都會(huì)經(jīng)過，所以這些區(qū)域所對(duì)應(yīng)的像素點(diǎn)都必須找出。在顯示屏上，這段光路所對(duì)應(yīng)的線段的斜率為：

所有位于(pix_zs,pix_zc)區(qū)間的pix_z，都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的pix_x，使得該像素點(diǎn)位于光路對(duì)應(yīng)的線段上，也就是說所有滿足條件的像素點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)矩陣中的元素項(xiàng)，值都加1。

這樣追蹤完N條光線的軌跡之后會(huì)得到一個(gè)數(shù)據(jù)存儲(chǔ)矩陣，該矩陣上的每個(gè)元素的值都對(duì)應(yīng)平面上相應(yīng)區(qū)域的光強(qiáng)。將其顯示在顯示屏上的圖像框中，就可以很直觀地看到沿軸向光強(qiáng)的分布情況。而在軸向光強(qiáng)分布圖中，光強(qiáng)最強(qiáng)的部分，就是焦點(diǎn)的位置。

2 模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較

2.1 傳輸效率的實(shí)驗(yàn)方案

測(cè)量椎管傳輸效率的裝置如圖2 所示，首先調(diào)節(jié)椎管準(zhǔn)直，使椎管的計(jì)數(shù)達(dá)到最大，記錄下此時(shí)的計(jì)數(shù)N1；將椎管移除，再在光源和探測(cè)器間放置一光闌，再次調(diào)節(jié)使探測(cè)器計(jì)數(shù)達(dá)到最大，記此時(shí)的計(jì)數(shù)為N2?？梢酝茖?dǎo)出椎管的傳輸效率為：

其中，S1為椎管入口的面積，S2為光闌通光的面積，D1為椎管入口處距光源的距離，D2為光闌距光源的距離。

2.2 椎管的傳輸效率

為了驗(yàn)證模擬的準(zhǔn)確性，將模擬結(jié)果與滕玥鵬等[8]所得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相對(duì)比。滕玥鵬等對(duì)一根長(zhǎng)12cm 的椎管進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。該椎管入口端內(nèi)徑60μm，出口端內(nèi)徑30μm。實(shí)驗(yàn)使用Cu靶（X射線能量為8.04keV）微焦斑（焦斑直徑為50μm）光源。實(shí)驗(yàn)測(cè)得該椎管的傳輸效率為13.86%。在相同條件下，該根椎管的傳輸效率模擬結(jié)果為14.32%?？梢钥闯鰧?shí)驗(yàn)結(jié)果與模擬結(jié)果符合得很好。

2.3 焦距與焦深測(cè)量的實(shí)驗(yàn)方案

測(cè)量椎管焦距的實(shí)驗(yàn)裝置如圖4 所示，將光源、椎管、刀口及探測(cè)器按如圖的順序安放，調(diào)節(jié)準(zhǔn)直后。從定義上可知，焦距即為光斑最小的點(diǎn)到椎管出口端的距離。測(cè)量焦斑大小的方法采用刀口掃描，將刀口放置于椎管出口與探測(cè)器間的某一位置處，調(diào)節(jié)刀口高度，使其剛好完全遮住椎管末端出射的光，此時(shí)探測(cè)器計(jì)數(shù)為0；然后按一定步長(zhǎng)向下調(diào)節(jié)刀口，依次記錄每移動(dòng)一步探測(cè)器的計(jì)數(shù)；將所得數(shù)據(jù)繪制在曲線圖中，可得此處光強(qiáng)的積分曲線，再由積分曲線得到光強(qiáng)的微分曲線，微分曲線的半高寬即為光斑大小。再將刀口位置移動(dòng)至椎管末端與探測(cè)器間的其他位置，不斷重復(fù)上述步驟，直到找出焦斑最小的位置為止，此時(shí)刀口距椎管末端的距離即為椎管的焦距。

圖4：椎管焦距測(cè)量的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

2.4 焦距與焦深

滕玥鵬等還對(duì)出口端的束斑大小進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)量。實(shí)驗(yàn)在距出口端2.5mm 處開始測(cè)量，以0.5mm 為步長(zhǎng)，測(cè)量了一組數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，光束經(jīng)該椎管傳輸之后在距椎管出口端25.mm 外呈發(fā)散狀。具體實(shí)驗(yàn)結(jié)果見圖5。

圖5：束斑大小隨椎管距出口的距離的變化

圖6：光強(qiáng)在文獻(xiàn)中椎管的光線傳播方向上分布情況示意圖

在同樣的條件下，模擬得到的光強(qiáng)在光線傳播路方向的分布情況。在椎管出口端的光線也成發(fā)散狀（見:6）。模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

上述文獻(xiàn)中所使用的椎管在出口端光線近乎發(fā)散狀，且文獻(xiàn)中未確切告知該椎管焦距的具體值。為了進(jìn)一步驗(yàn)證程序?qū)ψ倒茌S向上光強(qiáng)分布的模擬的準(zhǔn)確性，文章對(duì)一個(gè)椎管進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。椎管入口端內(nèi)徑為630μm，出口端內(nèi)徑為620μm，管長(zhǎng)120mm。實(shí)驗(yàn)使用實(shí)驗(yàn)室Cu 靶微焦斑光源，X 射線能量8.04keV，光源距椎管入口端距離為29mm。實(shí)驗(yàn)測(cè)得椎管出口端焦距為20mm。在相同條件下進(jìn)行模。光束在距出口端20mm前后有明顯的匯聚。模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，這說明模擬的準(zhǔn)確性較好，模擬結(jié)果的可信度較高。

3 小結(jié)

本文利用光線追跡法建立了椎管的數(shù)學(xué)模型，并模擬了光線在椎管中的傳播，得到光線在椎管中傳播的傳輸效率、椎管出口端的光斑形貌以及在光線傳播方形上光強(qiáng)的分布。模擬結(jié)果與是研究過吻合較好，說明了模型建立的合理性與模擬的可靠性。