葛 超，常晨蕾，姚 征，蘇 皓，2

（1.華北理工大學 電氣工程學院，河北 唐山 063210；2.華北理工大學 唐山市半導體集成電路重點實驗室，河北 唐山 063210）

0 引言

神經(jīng)網(wǎng)絡（Neural Network，NN）是一種典型的神經(jīng)元互連形成的復雜系統(tǒng)，表達一種類似于人腦的思維計算過程，因此，被廣泛用作計算工具。在過去的十幾年中，NN 已被應用于生物系統(tǒng)、化學反應、組合優(yōu)化等領(lǐng)域［1-3］。但是在實際的應用中，不可避免地會出現(xiàn)時滯［4-6］、攻擊［7-9］等問題，導致系統(tǒng)性能惡化，不穩(wěn)定的情況也時有發(fā)生。例如，文獻［10］中研究了一類具有離散時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡控制，構(gòu)造了一個新穎的泛函，利用杰森不等式處理積分項，推導其穩(wěn)定性條件，由于杰森不等式涉及的信息較少，結(jié)果保守性較大。文獻［11］中研究了在線性系統(tǒng)中控制器增益攝動存在的情況和離散時滯對線性系統(tǒng)性能的影響，利用杰森不等式來處理泛函求導過程中的積分不等式縮放問題，但該方法使系統(tǒng)過于理想化。

另外，大多數(shù)的系統(tǒng)都進行周期采樣，傳統(tǒng)的采樣會傳輸所有的采樣數(shù)據(jù)，導致資源浪費。為了解決資源浪費的問題，提出了一種新的觸發(fā)機制——事件觸發(fā)機制［12-14］，只有滿足設(shè)定的觸發(fā)條件，采樣數(shù)據(jù)才會被傳輸。因此，事件觸發(fā)機制的提出具有重大意義。文獻［15］中同時考慮了連續(xù)時間和離散時間事件檢測器，減少了資源的浪費，但是沒有考慮到非脆弱對控制器的影響。文獻［16］中考慮了離散和分布時滯對系統(tǒng)的影響，并且構(gòu)造了一個新穎的李雅普諾夫泛函；但它采用周期采樣，沒有考慮事件觸發(fā)機制，因此仍會發(fā)生資源浪費的現(xiàn)象。

受上述工作的啟發(fā)，本文研究了一類在采樣控制下具有離散和分布時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡指數(shù)同步問題。使用一個具有伯努利分布的變量來描述控制器增益攝動的發(fā)生是隨機的。利用采樣時刻鋸齒波信息，提出了一個新穎的雙邊泛函，并利用改進的不等式和凸優(yōu)化來處理積分問題，得到了保守性較低的穩(wěn)定性準則。

1 問題描述和事件觸發(fā)機制

1.1 問題描述

考慮具有混合時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的系統(tǒng)模型：

將式（1）視為主系統(tǒng)，則它的從系統(tǒng)可以用式（2）表示：

在實際應用中，不能保證所有的狀態(tài)變量到控制器的信號都是連續(xù)的，所以本文考慮采樣控制系統(tǒng)，u(t)為控制輸入，采樣瞬間為0 ＜t1＜t2＜… ＜tk＜tk+1＜… ＜∞，在傳感器上成功傳輸?shù)牟蓸有蛄斜硎緸棣?{0，t1h，t2h，…，tkh}，h為采樣周期，定義r(t)=y(t) -x(t)，進而得到主從同步誤差系統(tǒng)：

其中：f(r(t))=g(y(t)) -g(x(t))。

考慮到控制器參數(shù)攝動，本文構(gòu)造如下非脆弱控制器：

其中：K為控制器增益矩陣；ΔK(t)為控制器增益攝動，滿足ΔK(t)=HF(t)B，H、B為常數(shù)矩陣，F(xiàn)(t)是未知矩陣，滿足FT(t)F(t) ＜I；φ(t)滿足伯努利分布，見式（5）。

當φ∈[0，1]，可以獲得：

1.2 事件觸發(fā)機制

本文引入事件觸發(fā)機制，確定采樣數(shù)據(jù)是否通過事件觸發(fā)傳輸方案在通信網(wǎng)絡上進行傳輸，通過事件發(fā)生器檢測采樣瞬間與最后觸發(fā)的時間之間的采樣數(shù)據(jù)誤差。

事件觸發(fā)條件定義為：

其中：e(ikh)=r(ikh) -r(tkh)，表示狀態(tài)誤差；ikh=tkh+?h(?∈N)表示當前采樣時刻；r(tkh) ?r(t-τ(t)) -e(ikh)，并且λ∈(0，1)為常數(shù)；ψ為正的加權(quán)矩陣。當滿足式（7）時，將生成一個傳輸事件。

將零階保持器中的保持間隔劃分為一個子集Mζ=[ikh+τk，ikh+h+τk+1]，M=∪Mζ(ζ=0，1，2，…)。其 中：τ(t)=t-ikh，t∈Mζ。則式（4）被改寫為：

當t∈Mζ，分段線性函數(shù)滿足以下條件：

事件觸發(fā)機制比傳統(tǒng)的時間觸發(fā)機制節(jié)省網(wǎng)絡資源，它不需要連續(xù)檢測。另外，最小傳輸間隔包含至少一個采樣周期，防止芝諾行為的發(fā)生。

將控制器式（4）代入系統(tǒng)式（3）中，可得到如下同步誤差系統(tǒng)模型：

本文的目的是考慮非脆弱的控制器參數(shù)攝動，設(shè)計非脆弱控制器，使誤差系統(tǒng)穩(wěn)定，進而實現(xiàn)主從同步控制。

1.3 引理、定義及假設(shè)

引理1［17］存在對稱矩陣M和適當維數(shù)矩陣Y1、Y2，對于所有連續(xù)可微函數(shù)，滿足以下不等式條件：

引理3存在一個矩陣H滿足H=HT，具有相同維度的矩陣U1、U2，以下不等式成立：

對于所有滿足FT(t)F(t) ≤I，則存在一個標量ρ＞0，使以下不等式成立：

定義1如果誤差系統(tǒng)式（10）是指數(shù)穩(wěn)定的，則主系統(tǒng)式（1）和從系統(tǒng)式（2）將實現(xiàn)指數(shù)同步。存在兩個常數(shù)α和β使

2 控制器設(shè)計

本章建立了與時滯相關(guān)的指數(shù)穩(wěn)定條件。為了簡化書寫，定義了以下式子，其中：diag {…}為對角矩陣，I表示有適當維數(shù)的單位陣。

考慮控制器存在參數(shù)攝動的情況，通過以下定理得到控制器的設(shè)計方法。

定 理1給定標 量λ∈(0，1)，τM＞0，d＞0，α＞0，φ＞0，ω1和ω2，如果存在矩陣P＞0，Rm＞0(m=1，2)，ψ＞ 0，Sm＞0(m=3，4)，Zm＞0(m=1，2，3)，Vm＞0(m=1，2)，Q＞0，G、L、S1、S2、M1、M2、Y1、Y2是具有合適維度的矩陣，則在非脆弱控制器式（4）下，保證誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定，從而實現(xiàn)主系統(tǒng)式（1）和從系統(tǒng)式（2）的指數(shù)同步。

其中：定義Sym{A}=A+AT；row {…}為矩陣的行。

此外，本文設(shè)計的采樣控制器增益矩陣可以通過K=G-1L給出。

證明

對泛函進行求導，得到如下結(jié)果：

由引理2 可以得到：

根據(jù)假設(shè)1，對于任何合適的對角線矩陣V1、V2，都可以獲得如下不等式：

給定標量ω1、ω2和適當維數(shù)矩陣G，利用自由加權(quán)矩陣技術(shù)和式（6），很容易得到：

聯(lián)合式（11），得到：

由于定理1 和文獻［16］中的結(jié)論，可以很清楚地得到：

因此，給定正標量β，容易得到：

也可以等價為：

誤差系統(tǒng)式（10）隨衰減率α呈指數(shù)穩(wěn)定，這表明主系統(tǒng)式（1）和從系統(tǒng)式（2）是呈指數(shù)同步的。

本文構(gòu)造了一種新穎的泛函，不僅包括常規(guī)泛函，還包括雙邊泛函，S1、S2不一定是正定的，不僅考慮了區(qū)間[0，τ(t)]，還考慮了區(qū)間[τ(t)，τM]，推導出更嚴格的穩(wěn)定性判據(jù)。

現(xiàn)在文獻的工作中，大多數(shù)考慮在混合時滯下的非脆弱控制器同步控制，事件觸發(fā)尚未在此領(lǐng)域得到充分發(fā)展，在定理1 中，提出了一種隨機發(fā)生參數(shù)攝動的非脆弱控制器，服從伯努利分布。本文應用事件觸發(fā)機制降低對網(wǎng)絡資源的浪費，節(jié)省帶寬，通過LMI 工具箱求得控制器增益矩陣K和觸發(fā)參數(shù)ψ。

當控制器參數(shù)攝動消失時，可以得到如下的誤差系統(tǒng)：

推 論1 給定標 量λ∈(0，1)，τM＞0，η＞0，d＞0，α＞0，ω1，ω2，存在矩 陣P＞0，Rm＞0(m=1，2)，ψ＞0，Sm＞0(m=3，4)，Zm＞0 (m=1，2，3)，Vm＞0 (m=1，2)，Q＞0；G，S1，S2，M1，M2，Y1，Y2是具有適當維數(shù)的矩陣，滿足以下LMI：

在無參數(shù)攝動的控制器下，保證誤差系統(tǒng)式（24）指數(shù)穩(wěn)定從而實現(xiàn)主從同步。此外，采樣控制器增益矩陣K通過K=G-1L給出。

該推論的證明過程和定理1 類似，故省略。

當系統(tǒng)簡化為式（24）時，推論解決了文獻［16］包含的問題，并且得到了比文獻［16］更優(yōu)的結(jié)果。它們的推論也很容易在本文中得到。

3 數(shù)值例子

例1 考慮以下參數(shù)時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡：

誤差狀態(tài)響應如圖1 所示，控制輸入如圖2 所示，可以看出誤差系統(tǒng)最終趨于穩(wěn)定，所設(shè)計的帶有參數(shù)攝動的事件觸發(fā)控制器是有效的。從圖3 可以看出，當h=0.1，在8 s 內(nèi)只需向控制器發(fā)送44 個采樣信號，傳輸速率為55%，很容易看出，并不是所有信號都被傳輸。事件觸發(fā)機制可以減少傳輸點的數(shù)量，以節(jié)省通信資源。

圖2 例1的控制輸入曲線Fig.2 Control input curve of example 1

圖3 例1的傳輸瞬間和釋放間隔Fig.3 Transmission instants and release interval of example 1

例2 使用時滯神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的一個實際應用模型，稱為四罐系統(tǒng)，參數(shù)如下：

在本例中不考慮非脆弱性，利用推論，事件觸發(fā)機制被考慮為時間觸發(fā)機制，當W4=0 時，可以得到最大的α為2.37，與文獻［19］相比，指數(shù)衰減系數(shù)提升了0.16?？刂破髟鲆婢仃嘖為：

控制輸入信號和誤差狀態(tài)響應信號如圖4 和圖5 所示。在圖4 中，在控制器的作用下，誤差信號迅速趨近于零，這說明本文提出的方法是有效的。

圖4 例2的控制輸入曲線Fig.4 Control input curve of example 2

圖5 例2誤差系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線Fig.5 Error system state response curve of example 2

4 結(jié)語

本文研究了一類具有離散和分布式時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡在非脆弱事件觸發(fā)控制下的指數(shù)同步問題，提出了一種新的雙邊泛函，考慮了更多關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的狀態(tài)特征信息。此外，利用改進的不等式和凸組合，得到了較不保守的同步準則。目前，基于動態(tài)事件觸發(fā)的神經(jīng)網(wǎng)絡同步控制的研究還不夠成熟，特別是動態(tài)事件觸發(fā)的切換神經(jīng)網(wǎng)絡，是我們今后研究的主要內(nèi)容。