范葉森,聶銳,何柏巖,楊癸庚

1.西安空間無線電技術(shù)研究所,西安 710100 2.天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,天津 300350 3.西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院,西安 710048

1 引言

星載環(huán)形網(wǎng)狀天線具有收縮比大、質(zhì)量輕、熱穩(wěn)定性優(yōu)良等特點,在通信和遙感領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用[1-3]。如圖1,環(huán)形網(wǎng)狀天線是一種典型張拉一體結(jié)構(gòu),設(shè)計人員通過對索網(wǎng)結(jié)構(gòu)內(nèi)部的索段施加預(yù)張力,在索網(wǎng)與桁架的協(xié)調(diào)變形作用下達(dá)到平衡態(tài)并形成預(yù)先設(shè)計的網(wǎng)面形狀[4-5]。工程經(jīng)驗和理論分析均表明,索段預(yù)張力分布對索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的固有頻率和網(wǎng)面精度保持性具有重要影響。在環(huán)形網(wǎng)狀天線索網(wǎng)預(yù)張力設(shè)計中,有兩個重要設(shè)計指標(biāo)[6-10]:型面精度和張力分布均勻性。型面精度用實際網(wǎng)面節(jié)點與理想網(wǎng)面節(jié)點坐標(biāo)的均方根誤差來表示。該數(shù)值越小,型面精度越好,越有利于實現(xiàn)良好的電性能[11];張力分布的均勻性一般用張力比(索段最大張力與最小張力的比值)來表示,張力比越小,越接近于1,張力分布的均勻性越好[12]。均勻的張力分布有助于天線在空間熱載荷環(huán)境中保持精度穩(wěn)定,進(jìn)而有助于天線電性能的保持[13-15]。

環(huán)形網(wǎng)狀天線索網(wǎng)預(yù)張力設(shè)計(索網(wǎng)找形)的目的是要尋找能使天線平衡狀態(tài)滿足高精度型面要求的一組特定的索網(wǎng)預(yù)張力配置方案[16]。當(dāng)前有關(guān)環(huán)形網(wǎng)狀天線預(yù)張力設(shè)計的研究,大多不考慮桁架柔性變形對網(wǎng)面形狀和張力分布的影響,而僅對索網(wǎng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行預(yù)張力設(shè)計。這種方法雖然也能實現(xiàn)滿足要求的型面精度,但由于設(shè)計階段忽略了環(huán)形桁架與柔性索網(wǎng)的協(xié)調(diào)變形,容易造成實際成型表面與設(shè)計型面的偏差,后期需要耗費大量的人力、物力進(jìn)行調(diào)試,且易導(dǎo)致索網(wǎng)內(nèi)部張力分布不均勻,不利于天線服役期間型面精度的保持[17]。此外,在計及桁架柔性變形的預(yù)張力設(shè)計研究方面仍存在一些問題:例如找形結(jié)果中不可避免地產(chǎn)生找形誤差、索網(wǎng)張力分布的均勻性難以保證、建模過程較復(fù)雜不利于工程應(yīng)用等[18]。目前關(guān)于網(wǎng)狀天線索網(wǎng)設(shè)計方法的文獻(xiàn)多針對軸對稱環(huán)形網(wǎng)狀天線開展研究,該類型天線主網(wǎng)邊界節(jié)點在同一平面,結(jié)構(gòu)形式較為簡單;而對于非對稱偏饋正圓形網(wǎng)狀天線,因其結(jié)構(gòu)形式不再滿足對稱性,該類型天線索網(wǎng)上的邊界節(jié)點并不完全在同一平面內(nèi),結(jié)構(gòu)形式較為復(fù)雜。在考慮桁架變形的非對稱偏饋環(huán)形網(wǎng)狀天線預(yù)張力求解過程中,現(xiàn)有預(yù)張力設(shè)計算法尚存在計算結(jié)果不收斂、局部或整體計算效率不理想等不足。

為了更好地滿足復(fù)雜網(wǎng)狀天線工程設(shè)計需求,本文提出一種計及桁架柔性的環(huán)形網(wǎng)狀天線綜合找形方法。充分考慮桁架與索網(wǎng)的協(xié)調(diào)變形效應(yīng),通過內(nèi)部索網(wǎng)設(shè)計與周邊桁架柔性變形的迭代,實現(xiàn)滿足高精度型面要求的索網(wǎng)預(yù)張力優(yōu)化配置。在算例分析中,本方法與基于剛性桁架假設(shè)的找形方法進(jìn)行對比,驗證了進(jìn)行預(yù)張力設(shè)計時計及桁架柔性的必要性以及本文設(shè)計方法的正確性和有效性。

2 求解方法

2.1 分析模型

圖1所示為環(huán)形桁架偏饋網(wǎng)狀天線,該類型天線主要由主網(wǎng)、副網(wǎng)、張力陣和桁架等部分組成。將桁架上環(huán)面中心設(shè)為坐標(biāo)原點o,在此建立全局坐標(biāo)系o-xyz。其中x軸指向桁架與支撐臂,z軸正向指向反射面開口方向,與桁架軸心線平行,三條坐標(biāo)軸的位置關(guān)系滿足右手定則。主網(wǎng)和副網(wǎng)在xoy平面內(nèi)的投影是確定的,通過桁架投影圓心的繩索投影被等分成10段,同時三角形平面的投影都是正三角形。

圖1 環(huán)形桁架偏饋網(wǎng)狀天線計算模型Fig.1 Calculation model of an offset-feed mesh reflector antenna

天線在展開過程中各鉸鏈為活動連接,展開到位后鉸鏈鎖定,桁架由機(jī)構(gòu)變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)。各鉸鏈的連接桿件為中空直桿,其材料屬性和內(nèi)、外徑不變,將每根桿件視為單個梁單元,各相互連接的桿件間具有共同節(jié)點。當(dāng)索段連接到桿件中部時,須在連接點處增加一個節(jié)點,即將該桿件劃分成兩個梁單元。桁架桿件在三維空間內(nèi)發(fā)生復(fù)雜變形,包括軸向變形以及兩個主平面內(nèi)的彎曲、扭轉(zhuǎn)等。

圖2為任意桁架單元e在局部坐標(biāo)系o′-x′y′z′下的示意圖。單元e的兩個節(jié)點分別為i和j,將節(jié)點i作為單元e局部坐標(biāo)系原點,x軸與桿件軸線方向重合。x′o′y′和x′o′z′為桿單元ij兩個彎曲主平面。對于任意梁單元,節(jié)點包含6個自由度(3個線位移和3個角位移)。故在局部坐標(biāo)系o′-x′y′z′中,節(jié)點i的位移向量可表示為:

(1)

圖2 桁架單元局部坐標(biāo)示意Fig.2 A truss element in the local coordinate system

同理,節(jié)點j的線位移和角位移向量可表示為:

(2)

梁單元e的節(jié)點在局部坐標(biāo)系下的位移可記為:

(3)

梁單元e在局部坐標(biāo)系下的剛度矩陣可表示為

式中:G為單元的剪切模量;Jp為單元的截面極慣性矩;Jx和Jy為主平面內(nèi)的截面慣性矩;lb為桁架桿件長度;Eb為桁架桿件的彈性模量;Ab為桁架桿件的截面積。

為獲得全局坐標(biāo)系o-xyz下的桁架載荷和節(jié)點位移基本方程,須將單元在局部坐標(biāo)系下的節(jié)點位移、單元剛度矩陣轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系。對于桁架單元e,令{δ)e為單元e在全局坐標(biāo)系下的位移向量,Te為局部坐標(biāo)系o′-x′y′z′到全局坐標(biāo)系o-xyz的變換矩陣,其位移的變換關(guān)系式可表示為:

{δ)e=Te{δ′)e

(5)

(6)

(7)

式中:φe為局部坐標(biāo)系o′-x′y′z′相對于全局坐標(biāo)系o-xyz的方向余弦矩陣。

(8)

在單元剛度矩陣基礎(chǔ)上,根據(jù)桁架各桿件連接關(guān)系,將單元剛度矩陣進(jìn)行總裝,得到環(huán)形網(wǎng)狀天線桁架結(jié)構(gòu)在全局坐標(biāo)系o-xyz下的剛度矩陣Ktruss。則桁架結(jié)構(gòu)的整體平衡方程可表示為:

Ktrussδtruss=Ftruss

(9)

式中:Ftruss為桁架在全局坐標(biāo)系o-xyz下的節(jié)點載荷向量;δtruss為桁架在全局坐標(biāo)系o-xyz下的節(jié)點位移向量。

2.2 索網(wǎng)預(yù)張力計算流程

本文提出的環(huán)形網(wǎng)狀天線預(yù)張力綜合設(shè)計算法將整個天線結(jié)構(gòu)分成兩部分:外部桁架和內(nèi)部索網(wǎng),如圖3所示。索網(wǎng)結(jié)構(gòu)與桁架相連的節(jié)點作為耦合節(jié)點處理,其它節(jié)點稱為自由節(jié)點;與桁架相連的繩索作為邊界繩索,其它繩索為內(nèi)部繩索。

索網(wǎng)體系與桁架結(jié)構(gòu)在耦合節(jié)點處相連,索網(wǎng)內(nèi)部施加預(yù)張力,邊界繩索必然會對桁架產(chǎn)生作用力,從而引發(fā)桁架彈性變形,桁架節(jié)點相對于初始位置發(fā)生偏移,邊界繩索作用力減小。在這種耦合作用下,索網(wǎng)和桁架最終達(dá)到平衡狀態(tài)。上述過程中,桁架柔性變形對天線結(jié)構(gòu)平衡態(tài)產(chǎn)生重要影響,導(dǎo)致索網(wǎng)內(nèi)部預(yù)張力分布發(fā)生變化,最終影響反射面成型精度。因此,在對環(huán)形網(wǎng)狀天線進(jìn)行預(yù)張力設(shè)計時,必須充分考慮桁架柔性以及桁架與索網(wǎng)的耦合變形對索網(wǎng)平衡態(tài)形狀及張力分布的影響。

圖3 計算模型的拆分結(jié)構(gòu)Fig.3 Split structure of the calculation model

圖4 預(yù)張力綜合設(shè)計算法的基本步驟Fig.4 Analysis process of the proposed pretension design algorithm

(10)

4)重復(fù)以上步驟,直到滿足收斂準(zhǔn)則,即相鄰迭代步耦合節(jié)點的最大位移之差ΔDmax小于10-6m。

迭代停止后,考慮桁架變形的索網(wǎng)天線將處于平衡狀態(tài),內(nèi)部節(jié)點都處于理想位置,最大繩索張力比小于給定值,同時桁架變形得到補償。

3 數(shù)值計算與分析

采用本文提出的預(yù)張力綜合設(shè)計方法對圖1所示天線模型進(jìn)行預(yù)張力設(shè)計,以驗證算法正確性和有效性。主索網(wǎng)與副索網(wǎng)的索段編號如圖5所示,該算例中環(huán)形網(wǎng)狀天線的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

本文采用的天線模型包含481根索段,其中主、副索網(wǎng)均包含210根索單元,張力陣包含61根索單元。其中,主索網(wǎng)的索段單元編號為1-210,張力陣的索段單元編號為211-271(垂直于視圖方向),副索網(wǎng)的索段單元編號為272-481。

圖5 主副索網(wǎng)索段編號Fig.5 Cable numbering of the functional and auxiliary meshes

表1 環(huán)形網(wǎng)狀天線的結(jié)構(gòu)參數(shù)

3.1 算法可行性驗證

由上述計算步驟可知,在進(jìn)行預(yù)張力設(shè)計時,桁架必然會發(fā)生變形。目前,很難通過商業(yè)軟件對桁架進(jìn)行預(yù)彎曲設(shè)定,無法直接將計算結(jié)果導(dǎo)入商業(yè)軟件進(jìn)行驗證。但是考慮到索網(wǎng)與桁架在邊界節(jié)點處相連接,如果索網(wǎng)結(jié)構(gòu)和桁架都處于穩(wěn)定狀態(tài),則整個天線就處于穩(wěn)定狀態(tài)。因此可以對算法的正確性進(jìn)行間接驗證,具體步驟如下:

(1)桁架變形驗證

將邊界索網(wǎng)張力施加到桁架上,分別用ANSYS軟件和自編程序進(jìn)行結(jié)構(gòu)變形分析。通過對比兩種方法的計算結(jié)果是否一致,驗證本文的有限元桁架分析程序正確性及計算結(jié)果有效性。

(2)索網(wǎng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性驗證

根據(jù)桁架變形計算結(jié)果,提取索網(wǎng)耦合節(jié)點坐標(biāo),將此時的耦合節(jié)點位置作為索網(wǎng)邊界條件。將繩索預(yù)張力綜合設(shè)計結(jié)果轉(zhuǎn)化為繩索預(yù)應(yīng)變導(dǎo)入ANSYS軟件進(jìn)行分析,若索網(wǎng)各節(jié)點最大位移小于某一定值(本文設(shè)定為1×10-6m),則認(rèn)為索網(wǎng)處于平衡狀態(tài)。

圖6為環(huán)形桁架在邊界繩索作用下的變形情況,6(a)和6(b)分別為ANSYS軟件分析結(jié)果和本文方法計算結(jié)果,圖中給出了桁架初始位置和變形后位置。為清晰描述桁架變形,對位移

圖6 桁架變形示意Fig.6 The truss deformation

進(jìn)行了適度放大。其中,圖6(a)中的變形位移放大倍數(shù)由ANSYS軟件自動設(shè)定,圖6(b)中變形位移放大倍數(shù)為20。算例中ANSYS計算得到的桁架變形最大位移為20.614mm,本文方法計算得到的桁架變形最大位移為20.390m,兩種方法的相對誤差為0.224mm,且兩種方法得到的桁架變形規(guī)律一致。

為提取各耦合節(jié)點坐標(biāo),為后期分析做數(shù)據(jù)準(zhǔn)備,對桁架主要節(jié)點位移進(jìn)行分析。圖7為桁架各主要節(jié)點位移,其中節(jié)點1到30為桁架上環(huán)面節(jié)點(節(jié)點在鉸鏈處),節(jié)點31到60為主網(wǎng)邊界繩索與桁架連接點(繩索與桁架的耦合節(jié)點),節(jié)點61到90為桁架下環(huán)面節(jié)點(節(jié)點在鉸鏈處)。

圖7 桁架主要節(jié)點位移Fig.7 Displacements of the truss nodes

圖7給出了兩種算法得到的桁架各主要節(jié)點位移及其差值?？梢?最大差值出現(xiàn)在節(jié)點15處,差值為0.295mm?？紤]到桁架口徑10m之大,且不同算法的收斂條件和數(shù)值截斷誤差差異,可認(rèn)為采用兩種方法計算得到的位移值一致,從而驗證了本文桁架變形計算模型的正確性。

通過分析桁架與繩索的耦合點位移,可得到進(jìn)行索網(wǎng)分析的邊界條件。根據(jù)索網(wǎng)邊界條件和繩索預(yù)張力,可通過ANSYS軟件驗證索網(wǎng)結(jié)構(gòu)是否平衡。圖8為將索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的預(yù)張力綜合設(shè)計結(jié)果導(dǎo)入ANSYS得到的計算結(jié)果。

由圖8可知,索網(wǎng)各節(jié)點最大位移為6.71×10-17m,即在考慮桁架柔性變形情況下,采用該方法得到的索網(wǎng)預(yù)張力可使索網(wǎng)處于平衡狀態(tài)。

圖8 索網(wǎng)結(jié)構(gòu)變形分析Fig.8 Analysis of the deformation of the cable net structure

為進(jìn)一步驗證該計算結(jié)果正確性,還需分析計算結(jié)果是否滿足收斂條件。由圖4可知,每一次迭代計算得到的節(jié)點坐標(biāo),不斷靠近滿足工程需求的節(jié)點位置,且每一步得到的耦合節(jié)點位置與上一步節(jié)點位置間的差值逐漸減小。

圖9給出了耦合節(jié)點在相鄰兩次迭代過程中位移差值的最大值ΔDmax?？梢?隨著迭代次數(shù)的增加,ΔDmax逐漸減小。在該算例中,經(jīng)過200次迭代,ΔDmax=1.936×10-8mm。由以上分析可知,該計算結(jié)果可以使整個索網(wǎng)結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài),故本文提出的預(yù)張力綜合設(shè)計算法是切實可行的。

圖9 計算結(jié)果收斂分析Fig.9 Convergence analysis of the calculation results

3.2 索網(wǎng)預(yù)張力綜合設(shè)計結(jié)果分析

圖10為采用本文方法得到的張力索網(wǎng)與桁架耦合分析示意圖。盡管桁架發(fā)生了扭曲變形,但索網(wǎng)的自由節(jié)點仍處于理想位置,這是因為每次迭代都使用解析算法對索網(wǎng)預(yù)張力進(jìn)行計算,而解析算法可以使主網(wǎng)各自由節(jié)點保持在理想位置不動。因此,即使桁架發(fā)生了柔性變形,本章算法所得計算結(jié)果仍能使主網(wǎng)各自由節(jié)點保持在理想位置。

圖10 索網(wǎng)結(jié)構(gòu)與桁架耦合分析示意Fig.10 Compatible analysis between the cable net structure and the truss structure

主網(wǎng)型面誤差用δrms表示,如式(11),其表征了主網(wǎng)各自由節(jié)點偏離理想位置的程度。δrms越小,表示網(wǎng)面的實際型面越靠近理想型面。

(11)

根據(jù)繩索預(yù)張力綜合設(shè)計方法的基本步驟,首先應(yīng)給出迭代運算初始值。假設(shè)桁架為理想的剛體圓環(huán),使用解析算法進(jìn)行索網(wǎng)預(yù)張力設(shè)計。

圖11和表2為初次預(yù)張力設(shè)計結(jié)果。可見,盡管計算模型為偏饋索網(wǎng)結(jié)構(gòu),主網(wǎng)和副網(wǎng)的張力比仍然較小,且沒有產(chǎn)生找形誤差,完全滿足工程需求,這進(jìn)一步證實了本文所采用的解析算法是可行的。

圖11 初次預(yù)張力設(shè)計結(jié)果Fig.11 Initial pretension design results of the cable net

表2 初次預(yù)張力設(shè)計結(jié)果統(tǒng)計分析

如圖12和表3所示,根據(jù)圖4中的計算步驟,經(jīng)過200次迭代,得到了一組考慮桁架變形、達(dá)到收斂條件且滿足工程需求的繩索預(yù)張力。可以看到,通過在索網(wǎng)預(yù)張力優(yōu)化設(shè)計中考慮桁架柔性變形,可使得桁架變形影響下索網(wǎng)平衡狀態(tài)的張力均勻性仍然較好,這是因為桁架變形的位移對繩索之間的幾何夾角影響較小,對預(yù)張力分布影響也較小。

圖12 考慮桁架變形繩索張力分布Fig.12 Tension distribution of the cable net after considering the truss deformation

由表2和3可知,索網(wǎng)結(jié)構(gòu)預(yù)張力能使主網(wǎng)各自由節(jié)點在理想位置保持不變,使主網(wǎng)的平均索段張力保持不變。因此本文提出的預(yù)張力設(shè)計算法,在考慮桁架柔性變形情況下,仍能使主網(wǎng)各自由節(jié)點保持在理想位置,從而獲得較高的型面精度。

為進(jìn)一步分析桁架變形對網(wǎng)面成型精度的影響,將忽略桁架變形的索網(wǎng)預(yù)張力設(shè)計結(jié)果代入環(huán)形網(wǎng)狀天線整體模型中。在結(jié)構(gòu)達(dá)到平衡狀態(tài)后,記錄索網(wǎng)預(yù)張力分布情況和型面精度,如圖13和表4所示。

圖13 桁架變形對穩(wěn)態(tài)繩索張力分布影響Fig.13 The influence of the truss deformation on the tension distribution

表4 桁架變形對穩(wěn)態(tài)繩索張力分布影響統(tǒng)計分析

表3表示的是采用本文所提出的算法可在考慮桁架變形之后仍能實現(xiàn)找形誤差為0,表4表示的是在不考慮桁架柔性變形的情況下直接將找形結(jié)果施加于桁架上會產(chǎn)生較大的找形誤差?？梢钥闯?桁架柔性變形會導(dǎo)致主索網(wǎng)和副索網(wǎng)張力比急劇增加,索網(wǎng)張力分布均勻性下降;此外,主索網(wǎng)偏離理想型面,將為后期網(wǎng)面調(diào)試帶來較大困難。因此,對于大孔徑或桁架剛度較小的索網(wǎng)天線,繩索預(yù)張力設(shè)計必須考慮桁架變形的影響。而本文提出的索網(wǎng)預(yù)張力設(shè)計方法為計及桁架變形的高精度索網(wǎng)設(shè)計提供了有效的算法保障。

4 結(jié)論

本文提出一種考慮桁架柔性變形的非對稱偏饋環(huán)形網(wǎng)狀天線預(yù)張力設(shè)計方法,重點論述了該設(shè)計方法的基本原理和計算步驟,并對計算模型進(jìn)行了系統(tǒng)分析,結(jié)論如下:

1)在環(huán)形索網(wǎng)天線預(yù)張力設(shè)計中,桁架柔性變形會對整個天線結(jié)構(gòu)平衡態(tài)產(chǎn)生直接影響,造成索網(wǎng)節(jié)點位置變化、索段張力重新分布,影響天線網(wǎng)面成型精度和張力均勻性,后期需耗費更多的人力物力進(jìn)行網(wǎng)面調(diào)試。

2)本文提出的網(wǎng)狀天線預(yù)張力設(shè)計方法通過內(nèi)部索網(wǎng)預(yù)張力分析與外部桁架變形計算的多次迭代,尋找滿足天線平衡態(tài)精度和張力要求的繩索預(yù)張力配置方案,可實現(xiàn)非對稱偏饋環(huán)形網(wǎng)狀天線網(wǎng)面高精度設(shè)計,有效縮短后期索網(wǎng)結(jié)構(gòu)型面精度調(diào)試周期。