王娜

( 山西工商學(xué)院 計(jì)算機(jī)信息工程學(xué)院, 太原 030006 )

0 引言

很多傳染病(如霍亂、傷寒、流感、肺結(jié)核、艾滋病、鼠疫等)會(huì)嚴(yán)重危害人類的健康,因此做好預(yù)防工作具有重要意義.目前,已有許多國內(nèi)外學(xué)者利用分?jǐn)?shù)階微積分建立了傳染病模型,并對模型的穩(wěn)定性和分岔等動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究.例如:Mousa Mohamed等[1]建立了一個(gè)關(guān)于兒童疾病(麻疹、腮腺炎、水痘等)的分?jǐn)?shù)階“易感-感染-恢復(fù)”SIR模型,并定性考察了該模型的動(dòng)力特性.Karaji等[2]建立了一個(gè)分?jǐn)?shù)階乙型肝炎流行模型,并利用分?jǐn)?shù)階Barbalat引理研究了該模型的全局動(dòng)力學(xué).Miao等[3]在分?jǐn)?shù)階SIRS傳染病模型中引入了兩種不同的耦合控制器,并利用不動(dòng)點(diǎn)定理研究了Julia集的復(fù)雜性和不規(guī)則性.Wang等[4]提出了一類帶有飽和方程的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階SIR傳染病模型,并在任意時(shí)滯下分析了模型的穩(wěn)定性與分支情況.在上述研究的基礎(chǔ)上,為了進(jìn)一步探討引入時(shí)滯對分?jǐn)?shù)階傳染病模型的動(dòng)力學(xué)特性的影響,本文建立了一類具有隔離項(xiàng)的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階SIQ傳染病模型,并研究了其動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

1 預(yù)備知識

定義1[5]連續(xù)函數(shù)f:(0,+∞)→R的α(α>0)階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為:

引理1[6]Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Laplace變換為:

引理2[7]已知時(shí)滯分?jǐn)?shù)階系統(tǒng):

引理3[8](Routh-Hurwitz判據(jù))已知一元多項(xiàng)式方程λn+a1λn-1+a2λn-2+…+an-1λ+an= 0,其所有的根均具有負(fù)實(shí)部的充要條件是:

2 具有隔離項(xiàng)的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階SIQ傳染病模型的建立

文獻(xiàn)[9]的作者建立了如下一類具有隔離項(xiàng)的常微分SIQS的傳染病數(shù)學(xué)模型:

(1)

其中:S(t)、I(t)、Q(t)分別為t時(shí)刻人群中的易感染者、感染者、隔離者人數(shù);N(t)為t時(shí)刻人群總?cè)藬?shù),N(t)=S(t)+I(t)+Q(t);A為感染者人群對易感人群的感染率;β為易感人群與感染者的有效接觸率;d、η1、η2分別為人群的自然死亡率、染病人群的死亡率、隔離人群的死亡率;δ為染病人群的隔離率;r為染病人群的恢復(fù)率;ε為隔離人群的恢復(fù)率.

本文建立如下一類具有隔離項(xiàng)的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階SIQ傳染病模型:

(2)

(3)

將系統(tǒng)(3)進(jìn)行Laplace變換可得:

(4)

式(4)中L[S(t)]、L[I(t)]、L[Q(t)]分別為S(t)、I(t)、Q(t)的Laplace變換.對式(4)進(jìn)行化簡可得:

(5)

其中:Δ(s)為系統(tǒng)(2)的特征矩陣,det(Δ(s))= 0為系統(tǒng)(2)的特征方程.另外,式(5)中的Δ(s)、v1(s)、v2(s)、v3(s)分別可表示為:

v3(s)=sα3Q(0).

3 解的穩(wěn)定性及其Hopf分岔行為

3.1 系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)及其基本再生數(shù)的計(jì)算

(6)

3.2 主要結(jié)論及其證明

3.2.1系統(tǒng)(2)在無病平衡點(diǎn)E0處的穩(wěn)定性

定理1對于所有τ≥0,當(dāng)R0<1時(shí),系統(tǒng)(2)在無病平衡點(diǎn)E0處為局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)R0>1時(shí),系統(tǒng)在無病平衡點(diǎn)E0處為不穩(wěn)定.

(7)

下面分τ= 0和τ>0兩種情況討論系統(tǒng)(2)在無病平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性.

(i)當(dāng)τ= 0時(shí),設(shè)λi=sαi,i= 1,2,3,則式(7)可化簡為:

(8)

(ii)當(dāng)τ>0時(shí),式(7)可化簡為:

(9)

設(shè)λi=sαi,i= 1,3,則式(9)的2個(gè)特征值分別為λ1=-d<0,λ3=-(ε+d+η2)<0.由于式(9)的左邊第2個(gè)因子包含時(shí)滯τ,故應(yīng)考慮如下方程的根:

(10)

令s= iω(ω>0),并將其代入式(10)中可得:

(11)

分離式(11)中的實(shí)部和虛部可得:

(12)

將式(12)中的2個(gè)方程分別進(jìn)行平方、求和并化簡后可得:

(13)

當(dāng)R0<1時(shí),由根與系數(shù)的關(guān)系可知方程(13)沒有正實(shí)根.由此可知,式(9)的特征值實(shí)部均為負(fù).于是再由引理2可知,系統(tǒng)(2)在無病平衡點(diǎn)E0處是局部漸近穩(wěn)定的.當(dāng)R0>1時(shí),由根與系數(shù)的關(guān)系可知方程(13)有正實(shí)根,系統(tǒng)(2)在無病平衡點(diǎn)E0處的特征值不滿足Re[s]<0,故由引理2可知系統(tǒng)(2)在無病平衡點(diǎn)E0處是不穩(wěn)定的.

3.2.2系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處的穩(wěn)定性

系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*=(S*,I*,Q*)處的特征方程為:

(14)

整理式(14)可得:

f1(s)+f2(s)e-sτ= 0.

(15)

其中:f1(s)=sα1+α2+α3+a1sα1+α2+a2sα1+α3+a3sα2+α3+a4sα1+a5sα2+a6sα3+a7,f2(s)=- (b1sα1+α3+b2sα3+b3sα1+b4),a1= (ε+d+η2),a2=r+δ+d+η1,a3=βI*+d,a4= (ε+d+η2)(r+δ+d+η1),a5= (βI*+d)(ε+d+η2),a6= (βI*+d)(r+δ+d+η1),a7= (βI*+d)(ε+d+η2)(r+δ+d+η1),b1=βS*,b2=βrI*+βdS*,b3=βS*(ε+d+η2),b4=(βrI*+βdS*)(ε+d+η2).

由注1可知,當(dāng)R0>1時(shí),地方病平衡點(diǎn)(E*=(S*,I*,Q*))中的S*>0,I*>0;因此,ai(i= 1,2,3,4,5,6,7)和bj(j= 1,2,3,4)均為正數(shù).

定理2假設(shè)系統(tǒng)(2)的分?jǐn)?shù)階α1=α2=α3=α∈(0,1].當(dāng)時(shí)滯τ= 0,R0>1,a1+a2+a3-b1>0, (a1+a2+a3-b1)(a4+a5+a6-b2-b3)-(a7-b4)>0時(shí),系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處是局部漸近穩(wěn)定的.

證明當(dāng)時(shí)滯τ= 0時(shí),化簡式(15)可得f1(s)+f2(s)= 0,即:

sα1+α2+α3+a1sα1+α2+a2sα1+α3+a3sα2+α3+a4sα1+a5sα2+a6sα3+a7-

b1sα1+α3-b2sα3-b3sα1-b4= 0.

(16)

由于α1=α2=α3=α∈(0,1],因此方程(16)可簡化為:

s3α+(a1+a2+a3-b1)s2α+(a4+a5+a6-b2-b3)sα+a7-b4= 0.

(17)

令sα=λ,于是方程(17)可簡化為:λ3+p1λ2+p2λ+p3= 0,其中p1=a1+a2+a3-b1,p2=a4+a5+a6-b2-b3,p3=a7-b4.根據(jù)定理2中的已知條件可得:

H1=p1=a1+a2+a3-b1>0,

H2=p1p2-p3=(a1+a2+a3-b1)(a4+a5+a6-b2-b3)-(a7-b4)>0.

再由引理3中的Routh-Hurwitz判據(jù)知,系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處的特征方程的根均具有負(fù)實(shí)部.因此由引理2知,當(dāng)時(shí)滯τ= 0且系統(tǒng)(2)的分?jǐn)?shù)階α1=α2=α3=α∈(0,1]時(shí),系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處是局部漸近穩(wěn)定的.

3.2.3系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處的Hopf分岔行為

1)當(dāng)τ<τ0時(shí),系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處是局部漸近穩(wěn)定的;

2)當(dāng)τ>τ0時(shí),系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處是不穩(wěn)定的.

證明當(dāng)時(shí)滯τ>0,且系統(tǒng)(2)的分?jǐn)?shù)階α1=α2=α3=α∈(0,1]時(shí),式(15)可化簡為:

s3α+(a1+a2+a3)s2α+(a4+a5+a6)sα+a7-[b1s2α+(b2+b3)sα+b4]e-sτ= 0.

(18)

T1+iT2-[cos(ωτ)-isin(ωτ)](T3+iT4)= 0,

(19)

其中:

(20)

(21)

(22)

(23)

分離方程(19)的實(shí)部和虛部可得:

(24)

再由式(20)可得:

(25)

于是由cos2(τω)+ sin2(τω)= 1可得關(guān)于ω的方程:

(26)

4 結(jié)論

本文建立了一類具有隔離項(xiàng)的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階SIQ傳染病模型,并利用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性的相關(guān)理論研究了當(dāng)時(shí)滯τ≥0時(shí),系統(tǒng)(2)在無病平衡點(diǎn)E0處的穩(wěn)定情況,同時(shí)給出了其局部漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件.以時(shí)滯為參數(shù),利用Hopf分岔理論對系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處所發(fā)生的Hopf分岔行為進(jìn)行計(jì)算并分析表明:當(dāng)τ<τ0(臨界閾值)時(shí),系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)τ>τ0時(shí),系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處是不穩(wěn)定的.本文結(jié)果可為研究具有隔離項(xiàng)的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階傳染病系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性提供參考.