王柯杰, 陳巧玉, 童東兵, 毛 琦

(上海工程技術(shù)大學 電子電氣工程學院, 上海 201620)

0 引 言

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是模仿神經(jīng)元信息傳遞過程所構(gòu)建出的一種數(shù)學模型,可以用來解決一些復雜的非線性問題．近年來,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)被應(yīng)用于生物信號檢測、價格預測、風險評估和故障診斷等許多領(lǐng)域．隨著研究的不斷深入,中立型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)吸引了越來越多的關(guān)注．它是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的特殊形式,其時滯在系統(tǒng)現(xiàn)在的狀態(tài)和狀態(tài)的導數(shù)中同時存在,由此導致該類系統(tǒng)具有更加復雜的動態(tài)行為,也使得此類系統(tǒng)相較于一般時滯系統(tǒng)具有更好的普適性．像化學反應(yīng)過程、渦輪噴氣發(fā)動機的轉(zhuǎn)動過程等都可以利用中立型時滯系統(tǒng)進行建模．通過設(shè)計新的Lyapunov泛函和提出新的分析技巧,文獻[1]研究了一類具有混合時滯的中立型耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步．文獻[2]利用M矩陣方法和隨機分析法,研究了具有Markov切換參數(shù)的中立型隨機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)同步．基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和不等式技術(shù),文獻[3]針對一類具有多時滯的中立型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),研究了其平衡點的存在性、唯一性和全局漸近穩(wěn)定性．

同步是指復雜網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點達到相同狀態(tài)的行為,它不僅是一種基本的自然現(xiàn)象,也是復雜網(wǎng)絡(luò)科學領(lǐng)域的重要研究方向之一．在過去的幾十年里,學者們進行了全面的研究,并取得了大量的成果．其中,有限時間同步由于其優(yōu)異的暫態(tài)性能而受到越來越多的關(guān)注[4]．文獻[5]利用M矩陣方法得到了具有Markov拓撲和分布脈沖效應(yīng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時間同步判據(jù)．針對一類模糊中立型耦合Rayleigh系統(tǒng),文獻[6]利用有限時間穩(wěn)定性理論和不等式技術(shù),給出了其有限時間同步判據(jù)．對于具有自適應(yīng)狀態(tài)耦合的多權(quán)重復雜網(wǎng)絡(luò),文獻[7]通過Lyapunov穩(wěn)定性理論,設(shè)計出合適的控制器,使其達到有限時間同步和H∞同步．

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中,不確定性和隨機擾動往往會造成不穩(wěn)定或抖振,這些因素不利于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實際應(yīng)用．因此對不確定時滯系統(tǒng)的研究一直是控制理論研究中的難點和熱點問題之一．本文研究了具有不確定性和隨機擾動的中立型耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時間同步問題,所構(gòu)建的系統(tǒng)模型與文獻[8-10]相比引入了不確定性和隨機擾動,更具實際意義．在Lyapunov穩(wěn)定性理論的基礎(chǔ)上,結(jié)合不等式技術(shù),推導出中立型耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時間同步準則．為了解決不確定性和隨機擾動造成的問題,本文構(gòu)造了合適的狀態(tài)反饋控制器來保證主從系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間同步．以Kronecker積形式給出有限時間同步判據(jù),易于使用MATLAB工具箱來檢驗．

1 問 題 描 述

考慮一類具有時滯和不確定性及擾動的中立型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),其驅(qū)動系統(tǒng)設(shè)計如下:

d[xi(t)-Dxi(t-τ)]=[-(C+ΔC)xi(t)+(A+ΔA)f(xi(t))+

(B+ΔB)f(xi(t-τ))]dt,i=1,2,…,N,

(1)

其中,xi(t)=[xi1(t),…,xin(t)]T∈n代表第i個節(jié)點的狀態(tài)向量,D=diag[d1,…,dn]且|di|<1,C=diag[c1,…,cn]是正定對角矩陣,A∈n×n和B∈n×n分別為連接權(quán)矩陣和時滯連接權(quán)矩陣,f(·)是神經(jīng)元激活函數(shù)且有界,τ代表所考慮的時滯,未知矩陣ΔC,ΔA,ΔB代表系統(tǒng)參數(shù)的不確定部分．

其響應(yīng)系統(tǒng)為

(2)

其中,系統(tǒng)參數(shù)D,C,A,B,ΔC,ΔA,ΔB的定義與式(1)相同,yi(t)=[yi1(t),…,yin(t)]T∈n,ui(t)為響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)第i個節(jié)點的控制輸入,c代表耦合強度,Γ=diag[γ1,…,γn]為內(nèi)耦合配置矩陣,σi:+×n×n→n是噪聲強度函數(shù),ωi(t)=[ωi1(t),…,ωin(t)]T是定義在完備概率空間的標準Brown運動,G=(gij)N×N是外耦合轉(zhuǎn)置矩陣,滿足

將同步誤差信號定義為ei(t)=col{ei1(t),ei2(t),…,ein(t)}=yi(t)-xi(t)．根據(jù)矩陣G的性質(zhì),可得到

(3)

其中

誤差系統(tǒng)的耦合結(jié)構(gòu)如圖1所示．

圖1 系統(tǒng)耦合結(jié)構(gòu)圖Fig. 1 The coupling structure diagram for the error system

通過使用Kronecker積,可以將式(3)改寫為

d[e(t)-(IN?D)e(t-τ)]=

[-(IN?C)e(t)-(IN?ΔC)e(t)+(IN?A)F(e(t))+

(IN?ΔA)F(e(t))+(IN?B)F(e(t-τ))+(IN?ΔB)F(e(t-τ))+

(cG?Γ)e(t)+u(t)]dt+σ(t,e(t),e(t-τ))dω(t),

(4)

其中

σ(t,e(t),e(t-τ))=diag[σ1(t,e1(t),e1(t-τ)),…,σN(t,eN(t),eN(t-τ))]．

誤差系統(tǒng)系統(tǒng)(4)中的控制器可以被設(shè)計如下:

u(t)=-R1e(t)+R2e(t-τ)-

ηsign(e(t)-(IN?D)e(t-τ))|e(t)-(IN?D)e(t-τ)|δ,

(5)

其中,對稱矩陣R1,R2∈nN×nN,η>0,sign(e(t)-(IN?D)e(t-τ))=diag[ei1(t)-d1ei1(t-τ),…,ein(t)-dnein(t-τ)]∈nN×nN,|e(t)-(IN?D)e(t-τ)|δ=(|ei1(t)-d1ei1(t-τ)|δ,…,|ein(t)-dnein(t-τ)|δ)T∈nN,0<δ<1,i=1,…,N．

為了得到主要成果,則以下假設(shè)、引理和定義需要被提供．

假設(shè)1 噪聲強度矩陣σ(·,·,·)是有界的,存在兩個已知矩陣M∈n×n,N∈n×n,滿足

tr(σT(t,e(t),e(t-τ))σ(t,e(t),e(t-τ)))≤eT(t)MTMe(t)+eT(t-τ)NTNe(t-τ)．

假設(shè)2 神經(jīng)元激活函數(shù)f(· )是有界的,且對于任意xij,yij∈,滿足下列條件:

注1 在實際系統(tǒng)中,許多常用的神經(jīng)元激活函數(shù)滿足假設(shè)2．例如Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[11]中常用的f(x)=1/(1+e-λx),f(x)=(1-e-λx)/(1+e-λx)(λ>0)和f(x)=tanh(x);細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[12]中常用的f(x)=(|x+1|-|x-1|)/2等．

假設(shè)3 未知矩陣ΔC,ΔA,ΔB滿足下列結(jié)構(gòu):

(ΔC,ΔA,ΔB)=PS(t)(H1,H2,H3),

(6)

其中P,H1,H2和H3是已知的實矩陣,不確定矩陣S(t)可以是時變不固定的,且滿足

ST(t)S(t)≤I．

(7)

注2 式(6)和(7)中的參數(shù)不確定性結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于不確定系統(tǒng)的隨機過程．式(7)可以對具有參數(shù)不確定性的實際系統(tǒng)進行精確建模．值得注意的是, 式(6)中的可變矩陣S(t)甚至可以是狀態(tài)相關(guān)的, 即只要滿足式(7),則S(t)=S(t,φ(t))成立．

引理1[13]存在x,y∈n,對任意ε>0,不等式xTy+yTx≤εxTx+ε-1yTy成立．

引理2[14]假設(shè)存在xi∈n,i=1,…n,0<ξ≤1,則下列不等式成立:

引理3[15]存在非負的連續(xù)函數(shù)χ(t)∈n,常數(shù)ζ∈(0,∞)和ξ∈(0,1)滿足

Lχ(t)≤-ζχξ(t),t∈n0},

則χ(t)的平凡零解在概率空間內(nèi)是有限時間穩(wěn)定的,且隨機設(shè)定時間滿足E{T0}≤χ1-ξ(0)/(ζ(1-ξ))．

定義1[16]假設(shè)存在任意常數(shù)T0∈(0,∞)滿足

則誤差系統(tǒng)(4)可以實現(xiàn)有限時間同步,其中t≥t0+T0,且T0為同步的設(shè)定時間．

2 主要定理及證明

在這一節(jié)中,我們將推導出主從系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間同步的判據(jù)．

定理1 在假設(shè)1、2、3滿足的前提下,對于任意εi>0(i=1,2,…,10),對稱矩陣R1,R2滿足

(8)

證明定義一個算子De(t)=e(t)-(IN?D)e(t-τ),并構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù):

V(t)=(De(t))T(De(t))．

(9)

dV(t)=LV(t)+2(De(t))Tσ(t,e(t),e(t-τ))dω(t),

(10)

其中

LV(t)=2[(De(t))T[-(IN?C)e(t)-(IN?ΔC)e(t)+(IN?A)F(e(t))+

(IN?ΔA)F(e(t))+(IN?B)F(e(t-τ))+(IN?ΔB)F(e(t-τ))+

(cG?Γ)e(t)+u(t)]]+tr(σT(t,e(t),e(t-τ))σ(t,e(t),e(t-τ)))．

(11)

根據(jù)假設(shè)1和假設(shè)3,將控制器(5)代入式(11),能夠獲得

LV(t)≤-2eT(t)(IN?C)e(t)-2eT(t)(IN?ΔC)e(t)+2eT(t)(IN?A)F(e(t))+

2eT(t)(IN?ΔA)F(e(t))+2eT(t)(IN?B)F(e(t-τ))+

2eT(t)(IN?ΔB)F(e(t-τ))+2eT(t)(cG?Γ)e(t)-2eT(t)R1e(t)+

2eT(t)R2e(t-τ)-2ηeT(t)sign(e(t)-(IN?D)e(t-τ))×

|e(t)-(IN?D)e(t-τ)|δ+2eT(t-τ)(IN?(DC))e(t)+

2eT(t-τ)(IN?(DΔC))e(t)-2eT(t-τ)(IN?(DA))F(e(t))-

2eT(t-τ)(IN?(DΔA))F(e(t))-2eT(t-τ)(IN?(DB))F(e(t-τ))-

2eT(t-τ)(IN?(DΔB))F(e(t-τ))-2eT(t-τ)(cG?(DΓ))e(t)+

2eT(t-τ)(IN?D)R1e(t)-2eT(t-τ)(IN?D)R2e(t-τ)+

2ηeT(t-τ)(IN?D)sign(e(t)-(IN?D)e(t-τ))|e(t)-(IN?D)e(t-τ)|δ+

eT(t)MTMe(t)+eT(t-τ)NTNe(t-τ)．

(12)

根據(jù)假設(shè)2,可以得到

(13)

且

(14)

其中

由式(14),能夠獲得

eT(t)(IN?(UTU))e(t)．

(15)

通過假設(shè)3和引理1,有

-2eT(t)(IN?ΔC)e(t)=

-2eT(t)(IN?(PS(t)H1))e(t)=

-2eT(t)(IN?P)(IN?(S(t)H1))e(t)≤

(16)

2eT(t)(IN?A)F(e(t))≤

(17)

2eT(t)(IN?ΔA)F(e(t))=

2eT(t)(IN?(PS(t)H2))F(e(t))=

2eT(t)(IN?P)(IN?(S(t)H2))F(e(t))≤

(18)

2eT(t)(IN?B)F(e(t-τ))≤

(19)

2eT(t)(IN?ΔB)F(e(t-τ))=

2eT(t)(IN?(PS(t)H3))F(e(t-τ))=

2eT(t)(IN?P)(IN?(S(t)H3))F(e(t-τ))≤

ε5eT(t)(IN?(PPT))e(t)+

(20)

2eT(t-τ)(IN?(DΔC))e(t)=

2eT(t-τ)(IN?(DPS(t)H1))e(t)=

2eT(t-τ)(IN?(DP))(IN?(S(t)H1))e(t)≤

(21)

-2eT(t-τ)(IN?(DA))F(e(t))≤

(22)

-2eT(t-τ)(IN?(DΔA))F(e(t))=

-2eT(t-τ)(IN?(DPS(t)H2))F(e(t))=

-2eT(t-τ)(IN?(DP))(IN?S(t)H2)F(e(t))≤

ε8eT(t-τ)(IN?(DPPTD))e(t-τ)+

(23)

-2eT(t-τ)(IN?(DB))F(e(t-τ))≤

(24)

-2eT(t-τ)(IN?(DΔB))F(e(t-τ))=

-2eT(t-τ)(IN?(DPS(t)H3))F(e(t-τ))=

-2eT(t-τ)(IN?(DP))(IN?(S(t)H3))F(e(t-τ))≤

ε10eT(t-τ)(IN?(DPPTD))e(t-τ)+

(25)

將式(16)—(25)代入式(12),可得

2cG?Γ+MTM-2R1]e(t)+2eT(t-τ)[IN?(DC)-

(ε6+ε8+ε10)DPPTD+ε7DAATD+ε9DBBTD)+NTN-

2(IN?D)R2]e(t-τ)-2η|e(t)-(IN?D)e(t-τ)|δ+1．

(26)

根據(jù)引理2,有

-2η|e(t)-(IN?D)e(t-τ)|δ+1=

-2η((De(t))T(De(t)))(δ+1)/2=

-2ηV(δ+1)/2(t)．

(27)

接著對式(10)和(26)求數(shù)學期望,可得

(28)

其中

2cG?Γ+MTM-2R1,

(ε6+ε8+ε10)DPPTD+ε7DAATD+ε9DBBTD)+NTN-2(IN?D)R2,

Ω3=IN?(DC)-cG?(DΓ)+(IN?D)R1+R2．

當定理1成立時,E[dV(t)]≤-2ηE[V(t)](δ+1)/2．通過引理3,可以保證誤差系統(tǒng)(4)可以在設(shè)定時間T0=V(1-δ)/2(0)/(η(1-δ))實現(xiàn)有限時間同步,證明完成．

控制器算法的步驟如下:

步1 定義激活函數(shù)f(·)和Gauss函數(shù)的寬度σi,并選擇矩陣D,C,B,A,Γ,G;

步2 選擇不確定參數(shù)矩陣P,H1,H2,H3及噪聲強度矩陣M,N;

步3 通過e(t)=y(t)-x(t)計算e(t);

步4 選擇合適的參數(shù)η>0,0<δ<1,且由式(8)可以確定對稱矩陣R1,R2;

步5 計算u(t)的值,并將其用于產(chǎn)生控制信號．

3 仿 真

在本節(jié)中,我們將通過以下的仿真來檢驗所設(shè)計的反饋控制器的有效性．誤差系統(tǒng)(4)的參數(shù)設(shè)計為

激活函數(shù)為f(·)=tanh(·),η=1.13,δ=0.5,x1(0)=[1.2,1.8]T,x2(0)=[1.5,0.8]T,y1(0)=[1.7,-2.3]T,y2(0)=[1.3,0.4]T,τ=0.1．通過使用MATLAB的Yalmip工具箱,求得

ε1=0.316,ε2=0.512,ε3=0.235,ε4=0.613,ε5=2.130,

ε6=0.718,ε7=0.223,ε8=0.313,ε9=0.524,ε10=0.413．

經(jīng)過檢驗,以上結(jié)果滿足假設(shè)1、2、3和定理1中的條件．因此誤差系統(tǒng)(4)可以實現(xiàn)有限時間同步．通過仿真,可以得到以下仿真結(jié)果．圖2為隨機噪聲,圖3和圖4分別描繪了無控制輸入和控制器(5)作用下誤差系統(tǒng)(4)的狀態(tài)曲線,且同步時間t≈3.3 s

圖2 隨機噪聲 圖3 無控制器作用下的誤差系統(tǒng)狀態(tài)軌跡Fig. 2 Random noisesFig. 3 State trajectories of the error system

圖4 控制器(5)作用下的誤差系統(tǒng)狀態(tài)軌跡 圖5 控制輸入Fig. 4 State trajectories of the error system with controller (5) Fig. 5 Control inputs

注3 與文獻[17]的同步時間t≈5 s和文獻[18]的同步時間t≈10 s相比,本文所設(shè)計的控制器可以使系統(tǒng)在t≈3.3 s內(nèi)達到同步,同步時間更短,更具優(yōu)越性．

注為了解釋圖中的顏色,讀者可以參考本文的電子網(wǎng)頁版本．

4 結(jié) 論

本文進一步研究了中立型耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步問題．所使用的模型同時考慮了時滯、不確定性和隨機擾動的影響, 更具普遍性．通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)和運用不等式技術(shù),推導出中立型耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步準則．設(shè)計適當?shù)臓顟B(tài)反饋控制器,使所考慮的系統(tǒng)達到有限時間同步狀態(tài)．最后通過仿真結(jié)果檢驗了所獲結(jié)論的有效性．