丁 鋒,萬(wàn)立娟,欒小麗,徐 玲,劉喜梅

(1.江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院,江蘇 無(wú)錫 214122;2.青島科技大學(xué) 自動(dòng)化與電子工程學(xué)院,山東 青島 266061)

只有一個(gè)輸入一個(gè)輸出的系統(tǒng)稱為單輸入單輸出系統(tǒng),簡(jiǎn)稱為標(biāo)量系統(tǒng)。與標(biāo)量系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)的是多變量系統(tǒng)。多變量系統(tǒng)有多個(gè)輸入和(或)多個(gè)輸出,也稱為多輸入多輸出系統(tǒng)。它包括多輸入單輸出系統(tǒng),單輸入多輸出系統(tǒng)。為了便于區(qū)分辨識(shí)方法的類(lèi)別,如果在辨識(shí)中將輸入向量和輸出向量作為一個(gè)整體對(duì)待,這樣的系統(tǒng)稱為多變量系統(tǒng)。將包含了特征多項(xiàng)式的多變量系統(tǒng)稱為類(lèi)多變量系統(tǒng)。如果在辨識(shí)中使用了輸入向量和輸出向量的分量,例如按照輸出的數(shù)目將多變量系統(tǒng)分解為多個(gè)子系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí),用這樣的處理方法的多變量系統(tǒng)稱為多輸入多輸出系統(tǒng)。由此分為多變量系統(tǒng)辨識(shí)方法,類(lèi)多變量系統(tǒng)辨識(shí)方法,多輸入多輸出系統(tǒng)辨識(shí)方法三類(lèi)。

與輔助模型辨識(shí)思想、多新息辨識(shí)理論、遞階辨識(shí)原理一樣[1-7],濾波辨識(shí)理念也可以與梯度搜索、最小二乘搜索、牛頓搜索方法相結(jié)合,研究和提出不同的濾波遞推辨識(shí)方法和濾波迭代辨識(shí)方法?！肚鄭u科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》上的連載論文研究了有限脈沖響應(yīng)滑動(dòng)平均系統(tǒng)、方程誤差自回歸系統(tǒng)、輸出誤差自回歸滑動(dòng)平均系統(tǒng)濾波遞推辨識(shí)方法和濾波迭代辨識(shí)方法[8-14]。最近的連載論文研究了類(lèi)多變量方程誤差自回歸滑動(dòng)平均(M-EEARMA-like)系統(tǒng),即類(lèi)多變量受控自回歸自回歸滑動(dòng)平均(M-CARARMA-like)系統(tǒng)的濾波遞階廣義增廣參數(shù)辨識(shí)方法[15],以及類(lèi)多變量輸出誤差自回歸滑動(dòng)平均(M-OEARMA-like)系統(tǒng),即類(lèi)多變量Box-Jenkins系統(tǒng)的濾波輔助模型遞階廣義增廣遞推參數(shù)辨識(shí)方法[16]。

本研究利用濾波辨識(shí)理念和遞階辨識(shí)原理,研究多變量受控自回歸自回歸滑動(dòng)平均(M-CARARMA)系統(tǒng)(即多變量方程誤差自回歸滑動(dòng)平均(MEEARMA)系統(tǒng))的濾波遞階廣義增廣遞推辨識(shí)方法。相關(guān)工作參見(jiàn)文獻(xiàn)[2,7,17-27]。

1 多變量受控自回歸ARMA 系統(tǒng)

考慮多變量受控自回歸自回歸滑動(dòng)平均模型(multivariable controlled autoregressive autoregressive moving average model,M-CARARMA 模型),即多變量方程誤差自回歸滑動(dòng)平均模型(multivariable equation-error autoregressive moving average model,M-EEARMA模型)。

描述的多變量系統(tǒng):

這里考慮噪聲w(t)是一個(gè)自回歸滑動(dòng)平均過(guò)程:

定義輸出信息矩陣ψy(t),輸入信息矩陣ψu(yù)(t)和濾波信息向量φ(t)如下:

這就是多變量受控自回歸ARMA 系統(tǒng)(1)的濾波遞階辨識(shí)模型,它不僅包含了參數(shù)向量ρ,而且包含了參數(shù)矩陣θ。因此需要利用遞階辨識(shí)原理將其分解,從而研究遞階辨識(shí)方法。

對(duì)于多變量受控自回歸ARMA 系統(tǒng)(1),可得到的只有系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù){u(t),y(t)},在對(duì)應(yīng)的濾波遞階辨識(shí)模型(11)中,信息矩陣ψy(t)中的輸出向量y(t-i)是已知的,而濾波輸出向量yf(t)是未知的,信息向量φ(t)中濾波輸出向量yf(t)和濾波輸入向量uf(t)都是未知的。這是辨識(shí)的困難所在。因此必須借助于濾波辨識(shí)理念和遞階辨識(shí)原理,利用系統(tǒng)的觀測(cè)數(shù)據(jù){u(t),y(t):t=1,2,3,…},通過(guò)對(duì)未知濾波輸入向量uf(t),濾波輸出向量yf(t)進(jìn)行估算,研究M-CARARMA 系統(tǒng)的濾波遞階(多新息)廣義增廣隨機(jī)梯度辨識(shí)方法、濾波遞階(多新息)廣義增廣遞推梯度辨識(shí)方法、濾波遞階(多新息)廣義增廣最小二乘辨識(shí)方法,來(lái)辨識(shí)系統(tǒng)參數(shù)向量ρ和參數(shù)矩陣θ。

因?yàn)楸孀R(shí)模型涉及到未知濾波輸入向量uf(t)和濾波輸出向量yf(t),所以必須采用遞推方法或迭代方法交替估算這些未知量,以及系統(tǒng)參數(shù)向量ρ和參數(shù)矩陣θ。下面先構(gòu)造估算這些未知向量和未知矩陣的輔助模型。

2 估算未知向量和未知矩陣的輔助模型

因?yàn)闉V波遞階辨識(shí)模型中涉及未知濾波輸入向量uf(t-i)和未知濾波輸出向量yf(t-i),所以辨識(shí)方案需要采用遞推算法或迭代算法來(lái)交替估計(jì)參數(shù)向量和參數(shù)矩陣,以及未知濾波向量。這種未知量用其估計(jì)代替的方法在辨識(shí)中是極其常用的。這種先進(jìn)方法在其它科學(xué)中是極其少見(jiàn)的。

3 濾波遞階廣義增廣隨機(jī)梯度辨識(shí)方法

基于濾波遞階辨識(shí)模型(11),定義準(zhǔn)則函數(shù)

注意到信息矩陣ψy(t)和信息向量φ(t)中含有未知濾波輸出向量yf(t-i)和未知濾波輸入向量uf(t-i),所以式(17)～(19)無(wú)法實(shí)現(xiàn)。因此,式(17)～(19)中未知信息矩陣ψy(t)和信息向量φ(t)用其估計(jì)代替,得到式(20)～(23),聯(lián)立式(12)～(14)和輔助模型(15)～(16),便得到辨識(shí)多變量受控自回歸ARMA 系統(tǒng)(1)對(duì)應(yīng)的濾波遞階辨識(shí)模型(11)參數(shù)向量ρ和參數(shù)矩陣θ的濾波遞階廣義增廣隨機(jī)梯度算法(filtered hierarchical generalized extended stochastic gradient algorithm,F-HGESG算法)[20-21]:

從F-HGESG 辨識(shí)算法,可以得到一些特殊的濾波遞階隨機(jī)梯度辨識(shí)算法。

1)當(dāng)nγ=0和nδ=0,即γ(z)=1和δ(z)=1時(shí),F-HGESG 辨識(shí)算法(20)～(30)退化為多變量受控自回歸(M-CAR)系統(tǒng)的多變量隨機(jī)梯度算法(multivariable stochastic gradient algorithm,MSG 算法)[2,7,17,20]。

2)當(dāng)nγ=0,即γ(z)=1時(shí),F-HGESG 辨識(shí)算法(20)～(30)退化為多變量受控自回歸滑動(dòng)平均(M-CARMA)系統(tǒng)的濾波遞階增廣隨機(jī)梯度算法(filtered hierarchical extended stochastic gradient algorithm,F-HESG 算法)[7,20]。

3)當(dāng)nδ=0,即δ(z)=1時(shí),F-HGESG 辨識(shí)算法(20)～(30)退化為多變量受控自回歸自回歸(M-CARAR)系統(tǒng)的濾波遞階廣義隨機(jī)梯度算法(filtered hierarchical generalized stochastic gradient algorithm,F-HGSG 算法)。

4)讀者可以寫(xiě)出多變量受控自回歸自回歸滑動(dòng)平均(M-CARARMA)系統(tǒng)的加權(quán)濾波遞階廣義增廣隨機(jī)梯度(W-F-HGESG)算法或?yàn)V波加權(quán)遞階廣義增廣隨機(jī)梯度(F-W-HGESG)算法、遺忘因子濾波遞階廣義增廣隨機(jī)梯度(FF-F-HGESG)算法或?yàn)V波遺忘因子遞階廣義增廣隨機(jī)梯度(F-FFHGESG)算法、加權(quán)遺忘因子濾波遞階廣義增廣隨機(jī)梯度(W-FF-F-HGESG)算法或加權(quán)濾波遺忘因子遞階廣義增廣隨機(jī)梯度(W-F-FF-HGESG)算法。

例如,為提高參數(shù)估計(jì)精度和收斂速率,可在F-HGESG 算法(20)～(30)中引入遺忘因子λ,即將式(20)修改為

或

就得到濾波遺忘因子遞階廣義增廣隨機(jī)梯度算法(filtered forgetting factor HGESG algorithm,FFF-HGESG算法)。

在F-HGESG 辨識(shí)算法(20)～(30)中,e(t)∈?m為新息向量,定義殘差向量

4 濾波遞階多新息廣義增廣隨機(jī)梯度方法

設(shè)p為新息長(zhǎng)度。根據(jù)多新息辨識(shí)理論[6,28],基于F-HGESG 算法(20)～(30),按照式(46)～(51)定義堆積輸出向量Y(p,t),堆積輸出矩陣Y1(p,t),堆積信息矩陣Φ(p,t),堆積信息向量Φ1(p,t),堆積信息矩陣Ψ(p,t)和Ψ1(p,t),將式(20)中信息矩陣擴(kuò)展為堆積信息矩陣Ψ(p,t),新息向量e(t)擴(kuò)展為一個(gè)大新息向量E(p,t),得到

聯(lián)立式(36)～(40)和式(24)～(30),就得到辨識(shí)多變量受控自回歸ARMA 系統(tǒng)(1)參數(shù)向量ρ和參數(shù)矩陣θ的濾波遞階多新息廣義增廣隨機(jī)梯度算法(filtered hierarchical multi-innovation generalized extended stochastic gradient algorithm,F-HMIGESG 算法)[20]:

從F-HMI-GESG 辨識(shí)算法,可以得到一些特殊的濾波遞階多新息隨機(jī)梯度辨識(shí)算法。

1)當(dāng)nγ=0和nδ=0時(shí),F-HMI-GESG 辨識(shí)算法(41)～(58)退化為多變量受控自回歸(M-CAR)系統(tǒng)的多變量多新息隨機(jī)梯度算法(multivariable multi-innovation stochastic gradient algorithm,MMISG 算法)。

2)當(dāng)nγ=0時(shí),F-HMI-GESG 辨識(shí)算法(41)～(58)退化為多變量受控自回歸滑動(dòng)平均(M-CARMA)系統(tǒng)的濾波遞階多新息增廣隨機(jī)梯度算法(filtered hierarchical multi-innovation extended stochastic gradient algorithm,F-HMI-ESG 算法)。

3)當(dāng)nδ=0時(shí),F-HMI-GESG 辨識(shí)算法(41)～(58)退化為多變量受控自回歸自回歸(M-CARAR)系統(tǒng)的濾波遞階多新息廣義隨機(jī)梯度算法(filtered hierarchical multi-innovation generalized stochastic gradient algorithm,F-HMI-GSG 算法)。

4)讀者可以寫(xiě)出多變量受控自回歸自回歸滑動(dòng)平均(M-CARARMA)系統(tǒng)的加權(quán)濾波遞階多新息廣義增廣隨機(jī)梯度(W-F-HMI-GESG)算法或?yàn)V波加權(quán)遞階多新息廣義增廣隨機(jī)梯度(F-W-HMIGESG)算法、遺忘因子濾波遞階多新息廣義增廣隨機(jī)梯度(FF-F-HMI-GESG)算法或?yàn)V波遺忘因子遞階多新息廣義增廣隨機(jī)梯度(F-FF-HMI-GESG)算法、加權(quán)遺忘因子濾波遞階多新息廣義增廣隨機(jī)梯度(W-FF-F-HMI-GESG)算法或加權(quán)濾波遺忘因子遞階多新息廣義增廣隨機(jī)梯度(W-F-FF-HMIGESG)算法。

例如,為提高參數(shù)估計(jì)精度和收斂速率,可在F-HMI-GESG 算法(41)～(58)中引入遺忘因子λ,即將式(45)修改為

就得到濾波遺忘因子遞階多新息廣義增廣隨機(jī)梯度算法(filtered forgetting factor HMI-GESG algorithm,F-FF-HMI-GESG 算法)。當(dāng)然,一些梯度類(lèi)算法都可以引入收斂指數(shù)、加權(quán)因子、遺忘因子等得到相應(yīng)的辨識(shí)算法,不一一論述[2-3]。

3)用式(46)～(47)構(gòu)造堆積輸出向量Y(p,t)和堆積輸出矩陣Y1(p,t),用式(48)～(49)構(gòu)造堆積信息矩陣Φ(p,t)和堆積信息向量Φ1(p,t),用式(50)～(51)構(gòu)造堆積信息矩陣Ψ(p,t)和Ψ1(p,t)。

5 濾波遞階廣義增廣遞推梯度辨識(shí)方法

根據(jù)多變量受控自回歸ARMA 系統(tǒng)(1)的濾波遞階辨識(shí)模型(11),定義準(zhǔn)則函數(shù)

仿照遞階梯度算法的推導(dǎo)[5,7],使用梯度搜索,極小化準(zhǔn)則函數(shù)J2(ρ,θ),可以得到下列梯度遞推關(guān)系:

式(63)～(70)中的未知信息矩陣ψy(t)和信息向量φ(t)用其估計(jì)代替,聯(lián)立式(24)～(30),便得到辨識(shí)多變量受控自回歸ARMA 系統(tǒng)(1)參數(shù)向量ρ和參數(shù)矩陣θ的濾波遞階廣義增廣遞推梯度算法(filtered hierarchical generalized extended recursive gradient algorithm,F-HGERG 算法),簡(jiǎn)稱為濾波遞階廣義增廣梯度算法(filtered hierarchical generalized extended gradient algorithm,F-HGEG 算法)[13]:

從F-HGEG 辨識(shí)算法,可以得到一些特殊的濾波遞階遞推梯度辨識(shí)算法。

1)當(dāng)nγ=0和nδ=0時(shí),F-HGEG 算法(71)～(85)退化為多變量受控自回歸(M-CAR)系統(tǒng)的多變量遞推梯度算法(multivariable recursive gradient algorithm,M-RG算法)[7]。

2)當(dāng)nγ=0時(shí),F-HGEG 算法(71)～(85)退化為多變量受控自回歸滑動(dòng)平均(M-CARMA)系統(tǒng)的濾波遞階增廣梯度算法(filtered hierarchical extended gradient algorithm,F-HEG 算法)[7]。

3)當(dāng)nδ=0時(shí),F-HGEG 算法(71)～(85)退化為多變量受控自回歸自回歸(M-CARAR)系統(tǒng)的濾波遞階廣義梯度算法(filtered hierarchical generalized gradient algorithm,F-HGG 算法)。

4)讀者可以寫(xiě)出多變量受控自回歸自回歸滑動(dòng)平均(M-CARARMA)系統(tǒng)的加權(quán)濾波遞階廣義增廣梯度(W-F-HGEG)算法或?yàn)V波加權(quán)遞階廣義增廣梯度(F-W-HGEG)算法、遺忘因子濾波遞階廣義增廣梯度(FF-F-HGEG)算法或?yàn)V波遺忘因子遞階廣義增廣梯度(F-FF-HGEG)算法、加權(quán)遺忘因子濾波遞階廣義增廣梯度(W-FF-F-HGEG)算法或加權(quán)濾波遺忘因子遞階廣義增廣梯度(W-F-FF-HGEG)算法。

引理3 對(duì)于F-HGEG 算法(71)～(85),定義新息向量E(t)和新息矩陣E1(t)如下:

它們有下列關(guān)系:

6 濾波遞階多新息廣義增廣遞推梯度方法

從F-HMI-GEG 辨識(shí)算法,可以得到一些特殊的濾波遞階多新息梯度辨識(shí)算法。

1)當(dāng)nγ=0 和nδ=0 時(shí),F-HMI-GEG 算法(90)～(110)退化為多變量受控自回歸(M-CAR)系統(tǒng)的多變量多新息遞推梯度算法(multivariable multi-innovation recursive gradient algorithm,MMIRG 算法)[7]。

2)當(dāng)nγ=0時(shí),F-HMI-GEG 算法(90)～(110)退化為多變量受控自回歸滑動(dòng)平均(M-CARMA)系統(tǒng)的濾波遞階多新息增廣梯度算法(filtered hierarchical multi-innovation extended gradient algorithm,F-HMI-EG 算法)[7]。

3)當(dāng)nδ=0時(shí),F-HMI-GEG 算法(90)～(110)退化為多變量受控自回歸自回歸(M-CARAR)系統(tǒng)的濾波遞階多新息廣義梯度算法(filtered hierarchical multi-innovation generalized gradient algorithm,F-HMI-GG 算法)。

4)讀者可以寫(xiě)出多變量受控自回歸自回歸滑動(dòng)平均(M-CARARMA)系統(tǒng)的加權(quán)濾波遞階多新息廣義增廣遞推梯度(W-F-HMI-GERG)算法或?yàn)V波加權(quán)遞階多新息廣義增廣梯度(F-W-HMI-GEG)算法、遺忘因子濾波遞階多新息廣義增廣遞推梯度(FF-F-HMI-GERG)算法或?yàn)V波遺忘因子遞階多新息廣義增廣梯度(F-FF-HMI-GEG)算法、加權(quán)遺忘因子濾波遞階多新息廣義增廣遞推梯度(W-FF-FHMI-GERG)算法或加權(quán)濾波遺忘因子遞階多新息廣義增廣梯度(W-F-FF-HMI-GEG)算法。

3)用式(98)～(99)構(gòu)造堆積輸出向量Y(p,t)和堆積輸出矩陣Y1(p,t),用式(100)～(101)構(gòu)造堆積信息矩陣Φ(p,t)和堆積信息向量Φ1(p,t)。用式(102)～(103)構(gòu)造堆積信息矩陣Ψ(p,t)和Ψ1(p,t)。

4)用式(91)計(jì)算r1(t),用式(92)計(jì)算向量ξ1(t),用式(93)計(jì)算矩陣R1(t),用式(90)刷新參數(shù)估計(jì)向量

5)用式(95)計(jì)算r2(t),用式(96)計(jì)算向量ξ2(t),用式(97)計(jì)算矩陣R2(t),用式(94)刷新參數(shù)估計(jì)矩陣

7 濾波遞階廣義增廣最小二乘辨識(shí)方法

根據(jù)濾波遞階辨識(shí)原理,令J2(ρ,θ)分別對(duì)ρ和θ的偏導(dǎo)數(shù)為0,可推導(dǎo)出最小二乘遞推關(guān)系[3]:

式(111)～(116)中的未知信息矩陣ψy(t)和信息向量φ(t)用其估計(jì)代替,聯(lián)立式(24)～(30),便得到辨識(shí)多變量受控自回歸ARMA 系統(tǒng)(1)參數(shù)向量ρ和參數(shù)矩陣θ的濾波遞階廣義增廣最小二乘算法(filtered hierarchical generalized extended least squares algorithm,F-HGELS 算法)[18-20]:

從F-HGELS辨識(shí)算法,可以得到一些特殊的濾波遞階最小二乘辨識(shí)算法。

1)當(dāng)nγ=0和nδ=0時(shí),F-HGELS算法(117)～(130)退化為多變量受控自回歸(M-CAR)系統(tǒng)的多變量遞推最小二乘算法(multivariable recursive least squares algorithm,M-RLS算法)[2,3,7,18-20]。

2)當(dāng)nγ=0時(shí),F-HGELS算法(117)～(130)退化為多變量受控自回歸滑動(dòng)平均(M-CARMA)系統(tǒng)的濾波遞階增廣最小二乘算法(filtered hierarchical extended least squares algorithm,F-HELS算法)[7,20]。

3)當(dāng)nδ=0時(shí),F-HGELS 算法(117)～(130)退化為M-CARAR 系統(tǒng)的濾波遞階廣義最小二乘算法(filtered hierarchical generalized least squares algorithm,F-HGLS算法)。

4)讀者可以寫(xiě)出多變量受控自回歸自回歸滑動(dòng)平均(M-CARARMA)系統(tǒng)的加權(quán)濾波遞階廣義增廣最小二乘(W-F-HGELS)算法或?yàn)V波加權(quán)遞階廣義增廣最小二乘(F-W-HGELS)算法、遺忘因子濾波遞階廣義增廣最小二乘(FF-F-HGELS)算法或?yàn)V波遺忘因子遞階廣義增廣最小二乘(F-FF-HGELS)算法、加權(quán)遺忘因子濾波遞階廣義增廣最小二乘(W-FF-F-HGELS)算法或加權(quán)濾波遺忘因子遞階廣義增廣最小二乘(W-F-FF-HGELS)算法。

3)用式(118)計(jì)算新息向量e(t),用式(119)計(jì)算增益矩陣L1(t),用式(120)計(jì)算協(xié)方差矩陣P1(t),用式(117)刷新參數(shù)估計(jì)向量,用式(122)計(jì)算增益矩陣L2(t),用式(123)計(jì)算協(xié)方差矩陣P2(t),用式(121)刷新參數(shù)估計(jì)矩陣

在F-HGELS辨識(shí)算法(117)～(130)中,e(t)∈?m為新息向量,定義殘差向量

引理4對(duì)于F-HGELS辨識(shí)算法(117)～(130),新息向量e(t)與殘差向量有下列關(guān)系:

8 濾波遞階多新息廣義增廣最小二乘方法

設(shè)p為新息長(zhǎng)度。根據(jù)多新息辨識(shí)理論[6,28],基于F-HGELS算法(117)～(130),按照式(146)～(151)定義堆積輸出向量Y(p,t),堆積輸出矩陣Y1(p,t),堆積輸入信息矩陣Φ(p,t),堆積輸入信息向量Φ1(p,t),堆積信息矩陣Ψ(p,t)和Ψ1(p,t),將式(117)中新息向量e(t)擴(kuò)展為一個(gè)大新息向量E(p,t),得到

將式(121)中新息向量e(t)擴(kuò)展為新息矩陣E1(p,t),得到

從F-HMI-GELS辨識(shí)算法,可以得到一些特殊的濾波遞階多新息最小二乘辨識(shí)算法。

1)當(dāng)nγ=0 和nδ=0 時(shí),HMI-GELS 算法(138)～(158)退化為M-CAR 系統(tǒng)的多變量多新息最小二乘算法(multivariable multi-innovation least squares algorithm,M-MILS算法)[7,20]。

2)當(dāng)nγ=0 時(shí),F-HMI-GELS 算法(138)～(158)退化為M-CARMA 系統(tǒng)的濾波遞階多新息增廣最小二乘算法(filtered hierarchical multi-innovation extended least squares algorithm,F-HMI-ELS算法)[7,20]。

3)當(dāng)nδ=0 時(shí),F-HMI-GELS 算法(138)～(158)退化為M-CARAR 系統(tǒng)的濾波遞階多新息廣義最小二乘算法(filtered hierarchical multi-innovation generalized least squares algorithm,F-HMIGLS算法)。

4)讀者可以寫(xiě)出多變量受控自回歸自回歸滑動(dòng)平均(M-CARARMA)系統(tǒng)的加權(quán)濾波遞階多新息廣義增廣最小二乘(W-F-HMI-GELS)算法或?yàn)V波加權(quán)遞階多新息廣義增廣最小二乘(F-W-HMIGELS)算法、遺忘因子濾波遞階多新息廣義增廣最小二乘(FF-F-HMI-GELS)算法或?yàn)V波遺忘因子遞階多新息廣義增廣最小二乘(F-FF-HMI-GELS)算法、加權(quán)遺忘因子濾波遞階多新息廣義增廣最小二乘(W-FF-F-HMI-GELS)算法或加權(quán)濾波遺忘因子遞階多新息廣義增廣最小二乘(W-F-FF-HMIGELS)算法。

3)用式(146)～(147)構(gòu)造堆積輸出向量Y(p,t)和堆積輸出矩陣Y1(p,t),用式(148)～(149)構(gòu)造堆積信息矩陣Φ(p,t)和堆積信息向量Φ1(p,t)。用式(150)～(151)構(gòu)造堆積信息矩陣Ψ(p,t)和Ψ1(p,t)。

4)用式(139)計(jì)算新息向量E(p,t),用式(140)計(jì)算增益矩陣L1(t),用式(141)計(jì)算協(xié)方差矩P1(t),用式(138)刷新參數(shù)估計(jì)向量

5)用式(143)計(jì)算新息矩陣E1(p,t),用式(144)計(jì)算增益矩陣L2(t),用式(145)計(jì)算協(xié)方差矩陣P2(t),用式(142)刷新參數(shù)估計(jì)矩陣

9 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)多變量受控自回歸自回歸滑動(dòng)平均(MCARARMA)系統(tǒng),利用濾波辨識(shí)理念和遞階辨識(shí)原理,提出了濾波遞階(多新息)廣義增廣隨機(jī)梯度辨識(shí)方法、濾波遞階(多新息)廣義增廣遞推梯度辨識(shí)方法、濾波遞階(多新息)廣義增廣最小二乘辨識(shí)方法。這些濾波遞階廣義增廣辨識(shí)方法可以推廣到其它有色噪聲干擾下的線性和非線性多變量隨機(jī)系統(tǒng)中[30-44]。