丁 國(guó),郭 勝,朱敬華,鄧鵬波

(西安航天計(jì)量測(cè)試研究所,西安 710100)

1 引言

測(cè)量是將一個(gè)量的測(cè)量狀態(tài)Ax和它的參考狀態(tài)Aref進(jìn)行比較。因此,測(cè)量精度比標(biāo)準(zhǔn)精度低。

多年來(lái),計(jì)量學(xué)家一直致力于研究?jī)H依賴于基本物理常數(shù)和原子常數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)。有了這樣的標(biāo)準(zhǔn),就可以在量子現(xiàn)象的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)測(cè)量單位。計(jì)量學(xué)的研究方向之一是建立基于量子和原子標(biāo)準(zhǔn)的新測(cè)量系統(tǒng),從而取代傳統(tǒng)的SI 系統(tǒng)。所以,作為計(jì)量工作的從業(yè)者,有必要對(duì)量子現(xiàn)象的理論背景進(jìn)行初步的了解。

量子現(xiàn)象是用量子力學(xué)的概念來(lái)描述的。量子力學(xué)的開端于1900 年,馬克斯·普朗克在他的分析中提出了一個(gè)新的電磁輻射強(qiáng)度公式,該公式比傳統(tǒng)物理學(xué)模型更好地描述了電磁輻射。量子力學(xué)在20 世紀(jì)20 年代由埃爾溫·薛定諤和維爾納·海森堡發(fā)展起來(lái),前者提出了薛定諤方程,后者提出了測(cè)不準(zhǔn)原理。路易·德布羅意、梅克斯·玻恩、尼爾斯·玻爾、保羅·狄拉克和沃爾夫?qū)づ堇矠榇俗龀隽酥卮筘暙I(xiàn)。與經(jīng)典物理學(xué)不同,量子力學(xué)經(jīng)常會(huì)顛覆人們對(duì)物理現(xiàn)象的常識(shí)性理解,例如最近研究人員在電路中觀察到電流以相同的方式同時(shí)向兩個(gè)方向流動(dòng)[1]。

任何理論都離不開實(shí)際應(yīng)用,計(jì)量工作也是如此。在國(guó)際計(jì)量局(BIPM)編輯的SI 手冊(cè)第9冊(cè)[2]中寫道:“計(jì)量學(xué)是測(cè)量及其應(yīng)用的科學(xué)。無(wú)論測(cè)量不確定度和應(yīng)用領(lǐng)域如何,計(jì)量包括測(cè)量的所有理論和實(shí)踐”。量子力學(xué)應(yīng)用到計(jì)量中就產(chǎn)生了量子計(jì)量學(xué),量子計(jì)量學(xué)至少包含量子物理的三個(gè)領(lǐng)域:

①海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理確定測(cè)量精度的物理極限;

②構(gòu)建物理量單位的量子標(biāo)準(zhǔn):電壓、電阻或電流等電量標(biāo)準(zhǔn),以及非電流標(biāo)準(zhǔn),包括原子鐘和激光長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn);

③極其敏感的電子元件的構(gòu)造:簡(jiǎn)稱SQUID(超導(dǎo)量子干涉器件)的磁通傳感器和基于單電子隧穿的SET 晶體管(單電子晶體管)。

2 幾個(gè)重要定律及原理

2.1 普朗克定律

馬克斯·普朗克根據(jù)黑體輻射強(qiáng)度的測(cè)量,推導(dǎo)出一個(gè)公式,該公式在粒子和輻射之間以不連續(xù)的方式交換能量,并以與常數(shù)成比例的量子形式發(fā)射。

式中:E——粒子的能量;h——普朗克常數(shù);f——輻射頻率。

在光譜的紅外、可見和紫外范圍內(nèi)(波長(zhǎng)由200 nm至10 μm),作為溫度和頻率的函數(shù),輻射能量密度的測(cè)量結(jié)果不能用傳統(tǒng)物理學(xué)的規(guī)則來(lái)解釋。建立在傳統(tǒng)物理學(xué)基礎(chǔ)上的Rayleigh-Jeans 能量密度公式,雖然在形式上是正確的,但只精確地描述了遠(yuǎn)紅外光譜范圍,即波長(zhǎng)在5 μm 以上的研究現(xiàn)象。對(duì)于更短的波長(zhǎng),從Rayleigh-Jeans 能量密度公式獲得的結(jié)果與測(cè)量數(shù)據(jù)偏離太多,以至于人們將該范圍內(nèi)預(yù)測(cè)無(wú)限能量密度的理論關(guān)系命名為“紫外災(zāi)難”。只有普朗克在假設(shè)能量被量子化的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出的公式在整個(gè)波長(zhǎng)范圍內(nèi)與測(cè)量數(shù)據(jù)吻合得很好,普朗克定律表示了光譜輻射量頻率f與溫度T的依賴關(guān)系u(f,T),也就是光譜輻射量波長(zhǎng)λ與溫度T的依賴關(guān)系u(λ,T)。

式中:u(f,T)——理想黑體的光譜輻射發(fā)射量;T——黑體的絕對(duì)溫度;kB——玻爾茲曼常數(shù);c——真空中的光速。

愛因斯坦通過(guò)對(duì)光電效應(yīng)和固體比熱的研究,無(wú)疑對(duì)量子力學(xué)的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。在關(guān)于比熱的出版物中,愛因斯坦將量子理論的思想引入到傳統(tǒng)的金屬導(dǎo)電和導(dǎo)熱理論中。路易·德布羅意在1924 年提出了整個(gè)物質(zhì)具有粒子波的假設(shè),那時(shí),人們已經(jīng)知道光顯示出粒子和波的特性。實(shí)驗(yàn)提供的證據(jù)包括對(duì)恒星引力場(chǎng)中光線彎曲的觀察,這是愛因斯坦預(yù)言的一種效應(yīng)。德布羅意的假設(shè)提出,如果光除了具有波的特性之外,還具有粒子的特性,那么構(gòu)成物質(zhì)的基本粒子可能也具有粒子和波的特性。根據(jù)德布羅意的說(shuō)法,一個(gè)物質(zhì)粒子的運(yùn)動(dòng)與一個(gè)波的波長(zhǎng)λ和頻率f有關(guān)。

式中:λ——對(duì)應(yīng)于粒子位置的波長(zhǎng);M——粒子的矩;m——粒子的質(zhì)量;v——粒子的速度。

由式(3)可以計(jì)算得出,以速度v=103m/s 運(yùn)動(dòng)的電子與波長(zhǎng)λ≈7 ×10-7m(紫外輻射)有關(guān)。以相同速度(103m/s)運(yùn)動(dòng)的中子與波長(zhǎng)λ≈4×10-13m有關(guān)。換句話說(shuō),以同樣速度運(yùn)動(dòng)的中子可認(rèn)為是波長(zhǎng)λ≈4×10-13m的德布羅意波,類似的波長(zhǎng)是宇宙射線的特征。

證明物質(zhì)具有波-粒二象性的例子是電子,它是由約翰·J·湯姆遜在1896 年發(fā)現(xiàn)的一種帶有電荷的粒子,后來(lái)確定電子的電荷e=1.602×10-19C,質(zhì)量m=9.11×10-31kg。電子的波動(dòng)特性通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明:電子束通過(guò)金屬線圈后發(fā)生衍射現(xiàn)象,這是由喬治·P·湯姆遜、P.S.塔爾塔可夫斯基[3]等分別發(fā)現(xiàn)的。

2.2 薛定諤方程及其波函數(shù)的物理解釋與泡利不相容原理

作為物理學(xué)史上的里程碑之一,薛定諤方程是由奧地利物理學(xué)家埃爾溫·薛定諤在1926 年通過(guò)類比當(dāng)時(shí)已知的波和粒子的描述,在推測(cè)的基礎(chǔ)上制定的[4]。如果說(shuō)海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理為確定粒子參數(shù)的精度設(shè)置了限制,那么薛定諤方程則描述了基本粒子的狀態(tài)。

薛定諤方程的特征是一個(gè)稱為波函數(shù)或狀態(tài)函數(shù)的函數(shù),表示為ψ,表達(dá)了對(duì)時(shí)間和粒子位置坐標(biāo)的復(fù)雜依賴關(guān)系[5,6]。

式中:ψ——波函數(shù);A——時(shí)間和粒子坐標(biāo)的函數(shù);t——時(shí)間;?——拉普拉斯算子簡(jiǎn)化的普朗克常數(shù);j——虛數(shù)單位。

當(dāng)函數(shù)A與時(shí)間無(wú)關(guān)時(shí),它表示粒子的勢(shì)能。在這種情況下,薛定諤方程采用

梅克斯·玻恩在1926 年首先給出了波函數(shù)的物理解釋。波函數(shù)描述了粒子出現(xiàn)在某一區(qū)域的概率,特別是在體積為dV的區(qū)域,其概率與波函數(shù)模的平方成正比。

式中:p——概率;k——比例系數(shù);V——粒子可用的空間體積。

泡利不相容原理認(rèn)為,在一個(gè)原子中,沒有兩個(gè)電子可以具有相同的量子態(tài),也就是說(shuō),沒有兩個(gè)電子可以具有相同的四個(gè)量子數(shù)。當(dāng)分析原子或納米結(jié)構(gòu)時(shí),必須考慮泡利不相容原理。

2.3 海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理

德國(guó)物理學(xué)家維爾納·海森堡在1925 年提出了一個(gè)基本粒子的描述,它相當(dāng)于薛定諤方程。兩年后,海森堡闡明了測(cè)不準(zhǔn)原理,這是量子力學(xué)的基礎(chǔ)之一?，F(xiàn)在表示測(cè)不準(zhǔn)原理的關(guān)系由海森堡在1927 年的論文[7,8]中提出。測(cè)不準(zhǔn)原理與物質(zhì)的波-粒二象性密切相關(guān)。它定義了確定粒子狀態(tài)的精度極限。不確定性原理與用于測(cè)量的儀器的精度無(wú)關(guān)。當(dāng)一個(gè)電子的位置為x,這個(gè)電子認(rèn)為是粒子,它用不確定度(或計(jì)量語(yǔ)言中的誤差容限)Δx表示,該電子的狀態(tài)也可以在波圖像中表示為由不同波長(zhǎng)的波組成的波束。電子被賦予一個(gè)波長(zhǎng)λ,其值與電子的動(dòng)量有關(guān)。根據(jù)公式(3),即德布羅意公式,沿著對(duì)應(yīng)于粒子位置不確定度的線段Δx,一個(gè)波具有n個(gè)最大值和相同數(shù)量的最小值。

超過(guò)線段Δx的零振幅波束必須包括沿該線段至少有n+1 個(gè)最小值和最大值的波。

式中,Δλ——粒子波長(zhǎng)的不確定度;Δx——粒子位置的不確定度。

由式(8)和式(9)可得

由德布羅意公式可得

式中:Δp—粒子動(dòng)量的不確定度。

最終,我們得到測(cè)不準(zhǔn)原理的公式。

根據(jù)式(11)可知,即使使用最精確的測(cè)量或計(jì)算的同時(shí)確定粒子的位置x及其動(dòng)量p,若Δx降低,則Δp必然增加,反之亦然。當(dāng)粒子的位置由坐標(biāo)x、y、z在三維空間中定義時(shí),應(yīng)用一組三個(gè)不等式來(lái)代替單個(gè)不等式的公式(11)。

測(cè)不準(zhǔn)原理在納米結(jié)構(gòu)中有很大的實(shí)際意義。例如,若確定電子位置的不確定度為2 ×10-10m(對(duì)應(yīng)于原子尺寸的數(shù)量級(jí)),由公式(9),可用不確定度Δv確定電子速度。

這個(gè)范圍很寬,大約是電子速度的三倍,vth與室溫下的熱能kBT有關(guān)。(vth≈105m/s)

如果我們放棄同時(shí)確定粒子的運(yùn)動(dòng)參數(shù),并假設(shè)其位置是固定的,公式(14)將提供粒子能量的不確定度ΔE和粒子壽命或觀察時(shí)間的不確定度Δt的極限。

例如,我們可用ΔE計(jì)算Δt。

2.4 測(cè)量分辨率的限制

使用量子器件測(cè)量微弱電信號(hào)時(shí),測(cè)量的能量分辨率是否存在極限[9,10]是一個(gè)值得考慮的問(wèn)題。這里所說(shuō)的能量分辨率是指可以用測(cè)量?jī)x器測(cè)量的能量或能量變化,沒有規(guī)定測(cè)量分辨率的極限。其物理限制源于:

①確定基本粒子參數(shù)的海森堡測(cè)量不準(zhǔn)原理;

②被測(cè)物體的量子噪聲,其發(fā)射和/或吸收電磁輻射;

③被測(cè)物體的熱噪聲。

絕對(duì)溫度T下物體的熱噪聲功率譜密度由普朗克方程描述。

式中:P(T,f)——物體在絕對(duì)溫度T、頻率為f時(shí)的熱噪聲功率;Δf—物體頻率的不確定度。

普朗克方程依據(jù)kBT和電磁輻射能量的量子hf之間的關(guān)系采取兩種極端形式。由于kBT?hf,普朗克方程僅包括熱噪聲分量,采用奈奎斯特公式的形式。

式中:E(T)——物體在絕對(duì)溫度T時(shí)的能量;P(T)——物體在絕對(duì)溫度T時(shí)的熱噪聲功率。

由于kBT?hf,普朗克方程僅包括量子噪聲,即

式中:E(f)——物體在頻率f時(shí)的能量;P(f)——物體在頻率f時(shí)的熱噪聲功率。

可以注意到,熱噪聲在低頻下的譜功率描述中起主導(dǎo)作用,而量子噪聲在高頻下占主導(dǎo)地位。f與溫度相關(guān),該頻率下頻譜噪聲功率的兩個(gè)分量相等,即kBT=hf,例如,溫度T=300 K 時(shí),f=6.2×1012Hz,T=2.7 K 時(shí),f=56 GHz,這就是空間[11]的溫度。

式(15)還將能量描述為一個(gè)用等式(其不確定度由測(cè)量頻率的不確定度決定,目前為10-16的數(shù)量級(jí))量化的物理量,以及確定h的精確度(目前數(shù)量級(jí)為10-9)。

電流I是電子在導(dǎo)體中的強(qiáng)度,將其定義為流動(dòng)電荷Q(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù),或者說(shuō)恒定時(shí)間內(nèi)電荷Q與電荷轉(zhuǎn)移時(shí)間t的比值。

在微觀尺度上,我們可以考慮記錄單個(gè)電子的流動(dòng),并計(jì)算相關(guān)電流的強(qiáng)度。

舉例來(lái)說(shuō),109個(gè)電子在1 s 內(nèi)的流動(dòng)將產(chǎn)生1.6 ×10-10A 的電流,即160 pA。我們可以用電流表,有時(shí)甚至用萬(wàn)用表來(lái)測(cè)量如此強(qiáng)度的電流。電荷以低得多的速度流動(dòng),例如每秒一個(gè)電子或每小時(shí)一個(gè)電子,將不再認(rèn)為是電流。在這種情況下,最好考慮單個(gè)電子的傳輸并計(jì)算流動(dòng)電荷。

測(cè)量物理量的傳感器對(duì)信號(hào)能量或能量變化產(chǎn)生響應(yīng)。因此,測(cè)量的靈敏度受到海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理的限制。SQUID 傳感器實(shí)現(xiàn)了迄今為止最好的能量分辨率;其值等于0.5 h,達(dá)到了物理極限。在線性位移測(cè)量中,X 射線干涉儀獲得了10-6?=10-16m 的最佳線性分辨率[12],這一計(jì)量的偉大成就達(dá)到了原子量級(jí)。例如,測(cè)量金原子和銅原子的半徑為135 pm。在位移和幾何尺寸的測(cè)量及固體表面原子排列的研究中,用掃描隧道顯微鏡(STM)獲得了最佳的線性分辨率,在垂直和水平測(cè)量中分別為Δa=10-12m=1 pm 以及Δb=10 pm(STM 的工作原理基于電子隧穿勢(shì)壘的量子效應(yīng))。

2.5 量子現(xiàn)象在新國(guó)際單位制中的作用及缺點(diǎn)

通過(guò)多年的研究,計(jì)量學(xué)家發(fā)現(xiàn)使用量子和原子標(biāo)準(zhǔn)的新測(cè)量系統(tǒng)至少比實(shí)物標(biāo)準(zhǔn)器系統(tǒng)穩(wěn)定一百萬(wàn)倍,隨著“千克原器”退出舞臺(tái),SI 迎來(lái)了歷史性時(shí)刻。

修訂后的2018 版SI 是人們期待已久的單位制,其中依賴于材料特性的單位標(biāo)準(zhǔn)已被基于物理常數(shù)和量子效應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)所取代,這是它的巨大優(yōu)勢(shì),但也存在一些問(wèn)題:

(1)為了實(shí)施修訂后的SI,對(duì)于每一個(gè)新定義的基本測(cè)量單位,必須找到宏觀標(biāo)準(zhǔn)與物理常數(shù)之間的聯(lián)系。相關(guān)的物理常數(shù)雖然在弱作用的物理現(xiàn)象中得到證明,但標(biāo)準(zhǔn)中的信號(hào)必須是宏觀尺度的。

(2)修訂后的SI 首先是為大眾制定和建立的。然而,修訂后的SI 只有少數(shù)的科學(xué)家和計(jì)量學(xué)家群體理解,廣大用戶并不理解,因此很難被稱為實(shí)用的單位制。

(3)任何系統(tǒng)都應(yīng)該包括各分量之間的相互關(guān)系。修訂后,SI 的定義看起來(lái)更像一組物理常數(shù),各分量之間的相互關(guān)系是隱藏的。

(4)實(shí)現(xiàn)千克新標(biāo)準(zhǔn)有兩種方法:瓦特平衡和XRCD(X 射線晶體密度技術(shù)),雖然這些方法可以達(dá)到測(cè)量結(jié)果相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度Ur＜5 ×10-8的量級(jí)水平,但是實(shí)施的價(jià)格非常高。其結(jié)果導(dǎo)致世界上只有大約10 個(gè)實(shí)驗(yàn)室能夠安裝和操作千克的新標(biāo)準(zhǔn)。

雖然,2018 版SI 存在著種種不足和缺點(diǎn),但基于基本物理常數(shù)和量子標(biāo)準(zhǔn)單位系統(tǒng)的發(fā)展已成定局,基本單位的新定義將逐漸被物理學(xué)和計(jì)量學(xué)界所接受,新版標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施使計(jì)量工作從宏觀走向微觀邁進(jìn)了一大步,我們目前正處于量子和數(shù)字化變革的開端,用物理常數(shù)定義測(cè)量單位意味著這些定義將適應(yīng)下一代科學(xué)發(fā)現(xiàn)的需要。

3 結(jié)束語(yǔ)

量子計(jì)量在頻率標(biāo)準(zhǔn)、弱磁場(chǎng)探測(cè)、引力波探測(cè)以及原子鐘等研究領(lǐng)域中起到了極其重要的作用。近年來(lái),研究者發(fā)現(xiàn)合適的量子輸入態(tài)(比如量子糾纏態(tài)),理論上可以使參數(shù)估計(jì)的誤差漲落達(dá)到海森堡極限,這將遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于使用可分離態(tài)進(jìn)行估計(jì)所能達(dá)到的上限(標(biāo)準(zhǔn)量子極限),這為人們?nèi)绾蔚玫礁叩膮?shù)估計(jì)精度打開了一扇新的大門。