陳燁明 曾瑩瑩

摘 要 ???：迭代是同一函數(shù)的重復(fù)運算. 比通常的迭代更復(fù)雜的是有不同函數(shù)參與運算的非自治迭代. 本文討論了一類包含非自治迭代的線性組合的函數(shù)方程， 即多項式型非自治迭代方程. 在前人給出的連續(xù)遞增解的基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步研究了解的凹凸性， 給出了凹凸解的存在性、唯一性及連續(xù)依賴性.

關(guān)鍵詞 ：非自治迭代; 凸性; 差商

中圖分類號 ： O178 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 ：

A DOI ： ?10.19907/j.0490-6756.

2023.041005

Convex solutions of polynomial-like nonautonomous ?iterative equations

CHEN Ye-Ming ?1，ZENG Ying-Ying ?2

（1. School of Mathematics， Sichuan University， Chengdu 610064， China;

2. School of Mathematical Sciences/ V.C. & V.R. Key Lab of Sichuan Province， ??Sichuan Normal University， Chengdu 610068， China）

Iteration is repetition of same function. Iteration with different functions， called nonautonomous iteration， is a more complex one. In this paper， we consider a class of functional equations with linear combination of nonautonomous iterations， namely ?polynomial-like nonautonomous iterative equations. Based on some known results， the existence， uniqueness and continuous dependence of the convex solutions on the iterations and coefficients are studied.

Nonautonomous iteration; Convexity; Divided difference

（2010 MSC 26A18， 39B12）

1 引 言

迭代是運算的不斷自復(fù)合， 其在計算機(jī)科學(xué)與工程等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用， 如機(jī)器人控制 ?［1］和圖像處理 ?［2］等. 從數(shù)學(xué)的角度看，對于一個自映射 f：X→X ， 其中 X 是非空集合，以及任意給定的自然數(shù) n ， ?f 的 n 階迭代可遞歸地定義為 ?f ?n= f ?n-1°f， f ?0= id ?恒同映射 ， 其中 ° 表示映射的復(fù)合. 包含未知函數(shù)迭代的函數(shù)方程被稱為迭代方程 ?［3， 4］. 諸如迭代根問題 ?［5， 6］和不變曲線問題 ?［7， 8］等都是典型的迭代方程問題.

多項式型迭代方程

∑ ?n ?i=1 ?λ ??i f ??i（x）=F（x），x∈I ?（1）

也是廣受關(guān)注的一類迭代方程， 其中 I 是一個區(qū)間， 系數(shù) ?λ ?i∈ ?R ?（ i=1，…，n ）且 F 為給定函數(shù). 有關(guān)方程（1）解的結(jié)果十分豐富， 如連續(xù)遞增解 ?［9］、連續(xù)遞減解和凹凸解 ?［10］、可微解及解的穩(wěn)定性 ?［3， 11， 12］等.

迭代過程是嚴(yán)格重復(fù)的. 最近，人們開始關(guān)注迭代過程不那么嚴(yán)格重復(fù)的非自治迭代問題，如工程應(yīng)用中出現(xiàn)的迭代學(xué)習(xí)控制算法. 這是一種用于解決重復(fù)環(huán)境下動態(tài)系統(tǒng)的跟蹤問題的方法. 當(dāng)系統(tǒng)輸出重復(fù)跟蹤參考軌跡時， 該算法利用上一次迭代的跟蹤誤差信息來更新當(dāng)前的迭代控制輸入， 其中的迭代過程的參數(shù)會變化 ?［13， 14］. 可見，這是傳統(tǒng)迭代過程的一種推廣，被稱為非自治迭代 ?［15-17］. 在此類迭代中，每次復(fù)合的函數(shù)會隨著復(fù)合次數(shù) n 而變化. 定義 n-k+1 階非自治迭代 ?A ?k，n：C（I，I）→C（I，I） 為 陳燁明， 等： 多項式型非自治迭代方程的凹凸解

A ?k，n：fMT ExtraaA@

α ?n°f°…° α ?k+1°f° α ?k°f，f∈C（I，I） ?（2）

其中的整數(shù) k≤n ， 且 A：= ??α ?i ??i∈ Z ?C（I，I） 為給定函數(shù)族. 特別地，形如

∑ ?n ?i=1 ?λ ??i A ??σ（i），σ（i）+i-1f（x）=F（x），x∈I ?（3）

的迭代方程被稱為多項式型非自治迭代方程， 其中 F∈C（I，I） 為給定函數(shù)， ??λ ?i∈ R ?i=1，…，n ， 且 σ： 1，2，…，n → ?Z . ?Geiselhart和Wirth ?［18］考慮了方程（3）的特殊情形 ?A ?1，nf（x）=x，x∈ 0，+∞ ， Tang等 ?［19］在 ?λ ?i≥0 ， ?F 遞增且 ?α ?i 遞增的條件下在［0，1］和 R 上分別討論了方程（3）的連續(xù)遞增解的存在性、唯一性及其對已知函數(shù)和參數(shù)的連續(xù)依賴性. 本文將借助二階差商進(jìn)一步討論方程（3）的凹凸解的存在性、唯一性和連續(xù)依賴性.

后文安排如下. 在第2節(jié)中， 我們介紹差商并討論非自治迭代關(guān)于差商的性質(zhì). 在第3節(jié)中， 我們借助非自治迭代關(guān)于差商的性質(zhì)及不動點定理討論方程（3）在［0，1］上的凹凸解的存在性、唯一性和連續(xù)依賴性. 最后， 我們在第4節(jié)中通過一個例子來驗證主要結(jié)果.

2 預(yù)備知識

為了利用不動點定理證明本文的主要結(jié)果， 我們需要用差商來構(gòu)造合適的解空間. 令 I= a，b ?， 以 C（I） 表示 I 上全體連續(xù)函數(shù)所組成的集合， 并令 C（I，I） 表示 I 上全體連續(xù)自映射所組成的集合， 其中 a，b∈ ?R 且 a

f［ x ?1， x ?2］ ?f ?x ?2 -f ?x ?1 ??x ?2- x ?1

和

f［ x ?1， x ?2， x ?3］ ?f ?x ?3， x ?2 -f ?x ?2， x ?1 ??x ?3- x ?1 ，

其中 ?x ?1， x ?2， x ?3∈I 互異. 顯然， ?f ?x ?1， x ?2 ?和 ?f ?x ?1， x ?2， x ?3 ?均對所選點的次序具有對稱性. 記

L ?f= ?sup ???x ?1≠ x ?2∈I ?f ?x ?1， x ?2 ?，

l ?f= ?inf ???x ?1≠ x ?2∈I ?f ?x ?1， x ?2 ?.

容易驗證， 若對任意的 ?x ?1≠ x ?2∈I 有 f ?x ?1， x ?2 ≥0 （或 ≤0 ）， 則 f 遞增（或遞減）， 進(jìn)而，若 ?l ?f>0 則 f 嚴(yán)格單調(diào); 若對任意的 ?x ?1≠ x ?2≠ x ?3∈I 有 ?f ?x ?1， x ?2， x ?3 ≥0 （或 ≤0 ）， 則 f 為凸（或凹）. 更進(jìn)一步， 對于 -∞

C I;l，L ={f∈C（I）：l≤f ?x ?1， x ?2 ≤L，

x ?1≠ x ?2∈I}

及

C（I;l，L，m，M）={f∈C I;l，L ：

m≤f ?x ?1， x ?2， x ?3 ≤M， ?x ?1≠ x ?2≠ x ?3∈I} .

我們首先利用 C（I） 中函數(shù)關(guān)于線性運算、復(fù)合及取逆的差商估計 ?［9］證明非自治迭代的差商的估計結(jié)果.

引理2.1 ??設(shè) ?A ?k，n 為由式（2）所定義的算子， 其中 A= ??α ?i ??i∈ Z ?C I;l，L，m，M ∩C（I，I） ， ??0≤l≤L ， ?m≤0≤M 且整數(shù) k≤n . 當(dāng) ζ，ξ≥0 時，有

（i） 若 f∈C I;0，ζ，0，ξ ∩C（I，I） ， 則

A ??k，nf∈C（I;0， ?Lζ ???（n-k+1），m ζ ?2∑ ?2（n-k） ?i=n-k ?（Lζ） ??i，

Lξ+M ζ ?2 ∑ ?2（n-k） ?i=n-k ??Lζ ???i）∩C（I，I）;

（ii） 若 f∈C I;0，ζ，-ξ，0 ∩C（I，I） ， 則

A ??k，nf∈C（I;0， ?Lζ ???（n-k+1），

-Lξ+m ζ ?2 ∑ ?2（n-k） ?i=n-k ??Lζ ???i，

M ζ ?2∑ ?2（n-k） ?i=n-k ??Lζ ???i）∩C（I，I）.

證明 ?我們僅對情形（i）進(jìn)行證明， 情形（ii）的證明是類似的.

由 f∈C I;0，ζ，0，ξ ∩C（I，I） 并利用文獻(xiàn)［10， 引理2.4］可得

α ?i°f∈C I;0，Lζ，m ζ ?2，Lξ+M ζ ?2 ∩C（I，I），

α ?i∈A，i∈ ?Z.

進(jìn)而有

A ??k，nf= ?α ??n°f °…° ?α ??k°f ∈C（I;0，

Lζ ???（n-k+1），m ζ ?2∑ ?2（n-k） ?i=n-k ??Lζ ???i，

Lξ+M ζ ?2 ∑ ?2（n-k） ?i=n-k ?（Lζ） ??i）∩C（I，I）.

證畢.

令 L I，J = f：I→J ?L ?f<∞}. ?為討論解的連續(xù)依賴性， 我們給出如下兩個不同的同階非自治迭代的估計不等式.

引理2.2 ???［19］ 對任意給定的 x∈I ， ?k，m∈ ?Z 和 r∈ ?N ， 若 f，g∈L（I，I） 且 ?α ?k+i， β ?m+i∈L（I，I） 對所有的 i∈ 1，…，r ?成立， 則對每個 j∈ 1，…，r ?， 存在點 ?x ?i，j∈I 0≤i≤j-1 ?和 ?x ?* ?i，j∈ I（0≤i≤j） 使得

A ??k+1，k+jf（x）- B ??m+1，m+jg（x） ≤

L ?*∑ ?j-1 ?i=0 ???L ??f L ?* ???i f ?x ??i，j -g ?x ??i，j ?+

∑ ?j ?i=1 ???L ??f L ?* ???j-i| α ??k+i（ x ??* ?i，j）- β ??m+i（ x ??* ?i，j））|，

其中

A ?k+1，k+if= α ?k+i°f°…° α ?k+1°f ，

B ?m+1，m+ig：= β ?m+i°g°…° α ?m+1°g

且

L ?*= ma x ?1≤i≤r ?L ??α ?k+i ?.

3 存在唯一性及連續(xù)依賴性

根據(jù)共軛性（共軛函數(shù)可取 h（x）=a+ b-a x ， ?x∈ 0，1 ?）， 以下不妨假設(shè) I= 0，1 ??并進(jìn)一步考慮其上的方程（3）， 其中給定 A= ??α ?i ??i∈ Z ? C（I，I） ， ?σ： 1，2，…，n → ?Z ， F∈C（I，I） . 令

C ?+ I;l，L，m，M =C I;l，L，m，M ∩

C ?+（I，I），

其中

C ?+（I，I）={f∈C（I，I）：f 0 =0，f（1）=1} .

易見， ?0≤l≤1≤L 且 ?C ?+ I;l，L，m，M ?是Banach空間 C（I） 的一個緊凸子集. 為討論方程（3）的凸解， 我們假設(shè)

（A） ??λ ?1>0 ， ??λ ?i≥0 ， i=2，…，n 且 ∑ ?n ?i=1 ?λ ??i=1;

（V1） 對所有的 1≤i≤n 和所有 0≤j≤i-1 有 ?α ?σ（i）+j∈ C ?+ I;0，L，0，M ?， 其中常數(shù) L，M>0 并有 ?l ??α ?σ（1）≥l>0 ;

（V2） ?F∈ C ?+ I;0， L ?F， m ?F， M ?F ?， 其中常數(shù) ?L ?F， m ?F， M ?F>0 .

條件（A）是標(biāo)準(zhǔn)化假設(shè). 這是因為當(dāng) ∑ ?n ?i=1 ?λ ?i≠0 時， 方程（3）總可以對系數(shù)做歸一化而化為一個滿足（A）的新方程. 由文獻(xiàn)［9］可知， 如果 ?λ ?1 l ??α ?σ（1）>0 ， 條件（A）， （V1）和（V2）就可保證方程（3）存在連續(xù)遞增解 f∈ C ?+ 0， ?L ?F ?λ ?1 l ??α ?σ（1） ??. 下文將進(jìn)一步研究其解的凹凸性.

定理3.1 ?（凸解） 假設(shè)條件（A）， （V1）和（V2）成立. 若

η ??L ?F ?λ ?1l ?ρ ??L ?F ?λ ?1l ， ?M ?F ?λ ?1l ?≤ ?m ?F ??λ ?1l ??3 ?L ?2 ?F ??（4）

則存在 ?ζ ?0≥ ?L ?F ?λ ?1l ≥1 和 ?ξ ?0≥ ?M ?F ?λ ?1l ≥0 使得方程（3）存在凸解 f∈ C ?+ I;0， ζ ?0，0， ξ ?0 ?， 其中

η ζ =L∑ ?n ?i=1 ?λ ??i ?Lζ ???i-1 ，

ρ ζ，ξ =∑ ?n ?i=1 ?λ ??i［M∑ ?2（i-1） ?j=i-1 ??Lζ ???j+ L ?3ξ∑ ?2（i-2） ?j=i-2 ??Lζ ???j］.

進(jìn)一步， 若

θ ?ζ ?0 = L ?λ ?1l ?∑ ?n ?i=2 ?λ ??i∑ ?i-2 ?j=0 ???ζ ?0L ???j］ <1 ?（5）

則方程（3）在 ?C ?+ I;0， ζ ?0，0， ξ ?0 ?中存在唯一解，且連續(xù)依賴于函數(shù) ?α ?σ（i）+j （ i=1，…，n，j=0，…，i-1 ）和 F .

證明 ?連續(xù)遞增解 f∈ C ?+ 0， ?L ?F ?λ ?1 l ??α ?σ（1） ??的存在性已經(jīng)在文獻(xiàn)［9］中給出. 下面討論凸解的存在唯一性與連續(xù)依賴性.

存在唯一性. 給定常數(shù) ?ζ ?0≥ ?L ?F ?λ ?1l ≥1 和 ?ξ ?0≥ ?M ?F ?λ ?1l ≥ ?0 . 易見 ?C ?+ I;0， ζ ?0，0， ξ ?0 ?是Banach空間 C（I） 的一個緊凸子集. 首先， 定義算子 M： ??C ?+ I;0， ζ ?0，0， ξ ?0 →C（I） 為

Mf= λ ?1 α ?σ（1）+ λ ?2 α ?σ（2）+1f° α ?σ（2）+…+

λ ?n A ?σ（n）+1，σ（n）+n-1f° α ?σ（n），

其中 f∈ C ?+ I;0， ζ ?0，0， ξ ?0 ?. 由于 ?λ ?i≥0 ， 利用文獻(xiàn)［10， 引理2.4］和引理2.1， 對所有的 f∈ ?C ?+ I;0， ζ ?0，0， ξ ?0 ?和 i=2，…，n ， 有

λ ??i A ??σ（i）+1，σ（i）+i-1f° α ??σ（I）∈C（I;0， λ ??iL ?L ζ ?0 ???i-1，

0， λ ??i［ ?L ζ ?0 ???i-1M+ L ?2 L ξ ?0+M ζ ?2 ?0

∑ ?2（i-2） ?j=i-2 ??L ζ ?0 ???j］）.

進(jìn)而可得 Mf∈C I; λ ?1l，η ?ζ ?0 ，0，ρ ?ζ ?0， ξ ?0 ??. 由條件（A）， （V1）和（V2）可知 Mf（0）=0 ， ??Mf（1）=1 且 ?λ ?1l>0 . 從而 Mf：I→I 是一個同胚. 由文獻(xiàn)［10， 引理2.5］可得

Mf ??-1∈ C ?+ I; 1 η ?ζ ?0 ?， 1 ?λ ?1l ，- ρ ?ζ ?0， ξ ?0 ????λ ?1l ??3 ，0 .

其次， 定義算子 T： C ?+ I;0， ζ ?0，0， ξ ?0 → C（I） 為

Tf= ?Mf ??-1°F，f∈ C ?+ I;0， ζ ?0，0， ξ ?0 .

由文獻(xiàn)［10， 引理2.4］和（V2）可得 ?Tf∈ ?C ?+ I;0， ?L ?F ?λ ?1l ， ?m ?F η ?ζ ?0 ?- ρ ?ζ ?0， ξ ?0 ?L ?2 ?F ???λ ?1l ??3 ， ?M ?F ?λ ?1l ??. 由 ?ζ ?0 和 ?ξ ?0 的定義、函數(shù) η 和 ρ 的單調(diào)性及不等式（4）可得 T 是一個 ?C ?+ I;0， ζ ?0，0， ξ ?0 ?上的自映射.

最后， 對于任意的 f，g∈ C ?+ I;0， ζ ?0，0， ξ ?0 ?， 利用文獻(xiàn)［19， 引理2］、引理2.2及 F 是個滿射可得

‖Tg-Tf‖=

‖ ?Mg ??-1°F- ?Mf ??-1°

F‖=

‖ ?Mg ??-1- ?Mf ??-1‖≤

1 ?l ??Mf ‖Mg- Mf‖≤

1 ?λ ??1 l ???α ??σ（1） ∑ ?n ?i=2 ?λ ??i‖ A ??σ（i）+1，σ（i）+i-1g°

α ?σ（i）- A ??σ（i）+1，σ（i）+i-1f° α ??σ（i）‖=

1 ?λ ??1 l ???α ??σ（1） ∑ ?n ?i=2 ?λ ??i‖ A ??σ（I）+1，σ（I）+i-1g-

A ??σ（i）+1，σ（i）+i-1f‖≤

L ?λ ?1l ?∑ ?n ?i=2 ?λ ??i∑ ?i-2 ?j=0 ???ζ ?0L ???j ‖g-f‖=

θ ?ζ ?0 ‖g-f‖.

這說明 T 是 ?C ?+ I;0， ζ ?0，0， ξ ?0 ?上的一個連續(xù)映射.

綜上， 由Schauder不動點定理， 方程（3）在 ?C ?+ I;0， ζ ?0，0， ξ ?0 ?中存在一個解 f . 易見該解是一個遞增凸解. 此外， 如果條件（5）成立， 則 T 是一個壓縮映射. 此時，由Banach壓縮映射定理可進(jìn)一步得到解的唯一性.

連續(xù)依賴性. 注意到當(dāng)條件（4）和（5）同時滿足時， 方程（3）在 ?C ?+ I;0， ζ ?0，0， ξ ?0 ?中存在唯一凸解 f= ?Mf ??-1°F . 將 M 記為 M A，σ ?以強(qiáng)調(diào)其與 ?α ?i 和 σ 的相關(guān)性， 也就是說，

f= ?M A，σ f ??-1°F.

接下來， 把方程（3）里的 A ， ?σ 和 F 分別用 B：= ??β ?i ??i∈ Z ?C（I，I） ， ?τ： 1，2，…，n → ?Z 和 G 來替代. 假設(shè)新替換的 B ， ?τ 和 G 滿足與 A ， ?σ 和 F 類似的條件. 替換后的新方程為

∑ ?n ?i=1 ?λ ??i B ??τ（i），τ（i）+i-1g（x）=G（x），x∈I，

其在 ?C ?+ I;0， ζ ?0，0， ξ ?0 ?中存在唯一解 g 且 g 滿足 ??g= （M（B，τ）g） ?-1°G. ?由引理2.2，有

‖M A，σ f-M B，τ g‖≤‖ λ ?1 α ??σ（1）- λ ?1 β ??τ（1）‖+∑ ?n ?i=2 ‖ λ ??i A ??σ（i）+1，σ（i）+i-1f° α ??σ（i）-

λ ??i B ??τ（i）+1，τ（i）+i-1g° β ??τ（i）‖

≤ λ ?1‖ α ??σ（1）- β ??τ（1）‖+∑ ?n ?i=2 ?λ ??i‖ A ??σ（i）+1，σ（i）+i-1f° α ??σ（i）- A ??σ（i）+1，σ（i）+i-1f° β ??τ（i）‖

+

∑ ?n ?i=2 ?λ ??i‖ A ??σ（i）+1，σ（i）+i-1f° β ??τ（i）- B ??τ（i）+1，τ（i）+i-1g° β ??τ（i）‖

≤ λ ?1‖ α ??σ（1）- β ??τ（1）‖+

∑ ?n ?i=2 ?λ ??i ?sup ??x，y∈I，x≠y ?A ??σ（i）+1，σ（i）+i-1f x，y ??‖ α ??σ（i）- β ??τ（i）‖

+∑ ?n ?i=2 ?λ ??i‖ A ??σ（i）+1，σ（i）+i-1f-

B ??τ（i）+1，τ（i）+i-1g‖

≤∑ ?n ?i=2 ?λ ??i ??ζ ?0L ???i-1‖ α ??σ（i）- β ??τ（i）‖+∑ ?n ?i=2 ?λ ??i∑ ?i-1 ?j=1 ???ζ ?0L ???i-j-1‖ α ??σ（i）+j- β ??τ（i）+j‖

+

L∑ ?n ?i=2 ?λ ??i∑ ?i-2 ?j=0 ???ζ ?0L ???j‖f-g‖

=∑ ?n ?i=1 ?λ ??i∑ ?i-1 ?j=0 ???ζ ?0L ???i-j-1‖ α ??σ（i）+j- β ??τ（i）+j‖+ λ ?1lθ ?ζ ?0 ‖f-g‖.

進(jìn)而，由文獻(xiàn)［19， 引理2］可得

‖f-g‖=‖ ?M A，σ f ??-1°F- ?M B，τ g ??-1°G‖≤

‖ ?M A，σ f ??-1°F- ?M A，σ f ??-1°G‖+‖ ?M A，σ f ??-1°G- ?M B，τ g ??-1°G‖≤

L ???（M（A，σ）f） ?-1‖F(xiàn)-G‖+ 1 ?l ??M（A，σ）f ‖M A，σ f-M B，τ g‖≤

1 ?λ ?1 l ???α ??σ（1） ?‖M A，σ f-M B，τ g‖+‖F(xiàn)-G‖

≤

1 ?λ ?1l （∑ ?n ?i=1 ?λ ??i∑ ?i-1 ?j=0 ???ζ ?0L ???i-j-1‖ α ??σ（i）+j- β ??τ（i）+j‖+ λ ?1lθ（ ζ ?0）‖f-g‖+‖F(xiàn)-G‖）.

注意到 0≤θ ?ζ ?0 <1 ，從而有

‖f-g‖≤ 1 ?λ ?1l 1-θ ?ζ ?0 ??{‖F(xiàn)-G‖+

∑ ?n ?i=1 ?λ ??i∑ ?i-1 ?j=0 ???ζ ?0L ???i-1-j‖ α ??σ（i）+j- β ??τ（i）+j‖}.

由此可知方程（3）在 ?C ?+ I;0， ζ ?0，0， ξ ?0 ?中的解連續(xù)依賴于 A ， ?σ 和 F . 證畢.

為討論方程（3）的凹解， 假設(shè)

（C1） 對所有的 1≤i≤n 和所有 0≤j≤i-1 有 ?α ?σ（i）+j∈ C ?+ I;0，L，-M，0 ?， 其中常數(shù) L，M>0 ，此外還要求 ?l ??α ?σ（1）≥l>0 ;

（C2） ?F∈ C ?+ I;0， L ?F，- M ?F，- m ?F ?， 其中常數(shù) ?L ?F， m ?F， M ?F>0 .

注意到通過共軛函數(shù) h（x）=1-x，（x∈I） 可將凹函數(shù) f∈ C ?+ I;0， ζ ?0，- ξ ?0，0 ?化為凸函數(shù) g= h ?-1°f°h∈ C ?+ I;0， ζ ?0，0， ξ ?0 ?，則方程（3）可變形為

G（x）= h ?-1°F°h（x）=

∑ ?n ?i=1 ?λ ??i 1- A ??σ（i），σ（i）+i-1f h（x） ?=

∑ ?n ?i=1 ?λ ??i B ??σ（i），σ（i）+i-1g（x） ?（6）

其中 B= ???h ?-1°α ?i°h ??i∈ ?Z . 這說明方程（3）凹解的存在性問題可轉(zhuǎn)化為方程（6）凸解的存在性問題. 再由定理3.1可得如下結(jié)果.

定理3.2 ?（凹解） 假設(shè)條件（A） （C1）和（C2）成立. 若

η ??L ?F ?λ ?1l ?ρ ??L ?F ?λ ?1l ， ?M ?F ?λ ?1l ?≤ ?m ?F ??λ ?1l ??3 ?L ?2 ?F ，

則存在 ?ζ ?0≥ ?L ?F ?λ ?1l ≥1 和 ?ξ ?0≥ ?M ?F ?λ ?1l ≥0 使得方程（3）存在凹解 f∈ C ?+ I;0， ζ ?0，- ξ ?0，0 ?， 其中

η ζ =L∑ ?n ?i=1 ?λ ??i ?Lζ ???i-1，

ρ ζ，ξ =∑ ?n ?i=1 ?λ ??i［M∑ ?2（i-1） ?j=i-1 ?（Lζ） ??j+ L ?3ξ∑ ?2（i-2） ?j=i-2 ?（Lζ） ??j］.

進(jìn)一步， 若

θ ?ζ ?0 = L ?λ ?1l ?∑ ?n ?i=2 ?λ ??i∑ ?i-2 ?j=0 ???ζ ?0L ???j <1，

則方程（3）在 ?C ?+ I;0， ζ ?0，- ξ ?0，0 ?中存在唯一解，且解連續(xù)依賴于函數(shù) ?α ?σ（i）+j ?（ i=1，…，n，j=0，…， ?i-1 ）和 F .

4 例

考慮非自治迭代方程

1 57 ?α ?3°f° α ?2°f+ 56 57 ?α ?1°f=F ?（7）

其中 ?α ?1（x）=19x/20+3 x ?2/100+ x ?3/50 ， ??α ?2（x）=9x/10+ x ?2/10 ， ??α ?3（x）=91x/100+ x ?2/10- x ?3/100 和 F（x）=5x/18+2 x ?2/3+ x ?3/18 .

容易驗證， ??l ??α ?1=19/20 ， ?α ?1， α ?2， α ?3∈ C ?+（I;0， ?6/5，0，1/10） 且 F∈ C ?+（I;（0，16/9，2/3，5/6） . 取 ??ζ ?0=40/21 和 ?ξ ?0=25/28 ， 此時不等式（4）成立. 由定理3.1， 方程（7）有凸解 f∈ C ?+（I;0，40/21，0，25/28） . 此外， 由于 θ（ ζ ?0）=3/133<1 ， 則解 f 是方程（7）在 ?C ?+（I;0，40/21，0，25/28） 中的唯一解，且連續(xù)依賴于給定函數(shù).

參考文獻(xiàn)：

［1］ ??宋相兵， 季玉龍， 俎文強(qiáng)， 等. 基于觸覺傳感器和強(qiáng)化學(xué)習(xí)內(nèi)在獎勵的機(jī)械臂抓取方法［J］. 四川大學(xué)學(xué)報： 自然科學(xué)版， 2022， 59： 032003.

［2］ ?王斌， 何坤， 王丹. ?基于圖像多尺度分解的前景提?。跩］. 四川大學(xué)學(xué)報： 自然科學(xué)版， 2021， 58： 032001.

［3］ ?Baron K， Jarczyk W. Recent results on functional equations in a single variable， perspectives and open problems ［J］. Aequationes Math， 2001， 61： 1.

［4］ ?Kuczma M， Choczewski B， Ger R. Iterative functional equations ［M］. Cambridge： Cambridge University Press， 1990.

［5］ ?Fort M K Jr. The embedding of homeomorphisms in flows ［J］. P Am Math Soc， 1955， 6： 960.

［6］ ?Isaacs R. Iterates of fractional order ［J］. Can J Math， 1950， 2： 409.

［7］ ?Brydak D. On a functional equation of invariant curves ［J］. Rocznik Nauk-Dydakt Prace Mat， 1974， 7： 37.

［8］ ?Sternberg S. On the behavior of invariant curves near a hyperbolic point of a surface transformation ［J］. Am J Math， 1955， 77： 526.

［9］ ?Zhang W. Discussion on the iterated equation ??∑ ?n ?i=1 ?λ ??i f ??i（x）=F（x） ?［J］. Chinese Sci Bull， 1987， 32： 1444.

［10］ ?Xu B， Zhang W. Decreasing solutions and convex solutions of the polynomial-like iterative equation ［J］. J Math Anal Appl， 2007， 329： 483.

［11］ Tabor J， ?Z · odak M， Iterative equations in Banach spaces ［J］. J Math Anal Appl， 2004， 299： 651.

［12］ Zhang J， Yang L， Zhang W. Some advances on functional equations ［J］. Adv Math China， 1995， 24： 385.

［13］ Xu J， Yan R. On initial conditions in iterative learning control ［J］. IEEE T Automat Contr， 2005， 50： 1349.

［14］ Yin C， Xu J， Hou Z. A high-order internal model based iterative learning control scheme for nonlinear systems with time-iteration-varying parameters ［J］. IEEE T Automat Contr， 2010， 55： 2665.

［15］ Brück R， Büger M. Generalized iteration ［J］. Comput Meth Funct Th， 2003， 3： 201.

［16］ Comerford M， Hyperbolic non-autonomous Julia sets ［J］. Ergod Theor Dyn Syst， 2006， 26： 353.

［17］ Fornss J， Sibony N. Random iterations of rational functions ［J］. Ergod Theor Dyn Syst， 1991， 11： 687.

［18］ Geiselhart R， Wirth F. Solving iterative functional equations for a class of piecewise linear ??K ?∞ -functions ［J］. J Math Anal Appl， 2014， 411： 652.

［19］ Tang X， Zeng Y， Zhang W. Interval homeomorphic solutions of a functional equation of nonautonomous iterations ［J］. Discrete Cont Dyn-A， 2020， 40： 6967.

［20］ Stoer J， Bulirsch R. Introduction to numerical analysis ［M］. New York： Springer， 1993.