李永峰

(甘肅省天水市清水縣第六中學)

新課程改革在不斷推進,物理高考試題命題者更側(cè)重考查學生的物理核心素養(yǎng),而并非單純的考查物理知識,這順應(yīng)了國家對高考“立德樹人、服務(wù)選才、引導教學”的總方針。物理核心素養(yǎng)主要包含物理觀念、科學思維、科學探究、科學態(tài)度與責任四個方面。“科學思維”主要包括模型建構(gòu)、科學推理、科學論證、質(zhì)疑創(chuàng)新等要素。2017年印發(fā)的《普通高中物理課程標準(2017年版2020年修訂》指出,科學思維是從物理學視角對客觀事物的本質(zhì)屬性、內(nèi)在規(guī)律及相互關(guān)系的認識方式,是基于經(jīng)驗事實建構(gòu)理想模型的抽象概括過程;是綜合分析、推理論證等科學思維方法的內(nèi)化;是基于事實證據(jù)和科學推理對不同觀點和結(jié)論提出質(zhì)疑、批判,進而提出創(chuàng)造性見解的能力與品質(zhì)?？茖W推理是科學思維的重要組成部分,科學推理應(yīng)包含物理規(guī)律、科學研究方法、數(shù)學推理、討論分析等基本要素。本文將聚焦科學推理過程中的常用數(shù)學工具——三角函數(shù),結(jié)合高考真題分析展示三角函數(shù)在物理解題中的具體運用,以便推動高考物理復(fù)習備考工作高效進行。

一、三角函數(shù)邊角關(guān)系

【例1】(2022·全國乙卷·16)如圖1,固定于豎直平面內(nèi)的光滑大圓環(huán)上套有一個小環(huán),小環(huán)從大圓環(huán)頂端P點由靜止開始自由下滑,在下滑過程中,小環(huán)的速率正比于

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圖1

A.它滑過的弧長

B.它下降的高度

C.它到P點的距離

D.它與P點的連線掃過的面積

圖2

【答案】C

【點評】本題考查的基本物理原理是機械能守恒定律,用動能定理也可以得到相同的結(jié)果。但這道題又不局限于機械能守恒定律和動能定理的考查,筆者認為試題命制者更想看到考生在熟練掌握物理規(guī)律的同時,如何更好地運用數(shù)學知識解決物理問題,尋找變量與不變量之間的關(guān)系,進而把物理觀念、物理知識、物理規(guī)律與數(shù)學工具有機融合,進一步提高數(shù)學對物理學習的推動力,引導物理教學。在圓環(huán)下滑過程中P點所在直徑兩端與圓環(huán)所在位置構(gòu)成直角三角形,圓的半徑確定不變,確定sinθ是解題關(guān)鍵。

【例2】(變式題)如圖3所示,固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)的最高點有一個光滑的小孔。質(zhì)量為m的小球套在圓環(huán)上,一根細線的下端系著小球,上端穿過小孔用手拉住?，F(xiàn)拉動細線,使小球沿圓環(huán)緩慢上移,在移動過程中,手對細線的拉力F和圓環(huán)對小球的彈力FN的大小變化情況是

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圖3

A.F不變,FN增大 B.F不變,FN減小

C.F減小,FN不變 D.F增大,FN減小

圖4

【答案】C

【點評】本題是一道考查共點力平衡的題目,和例1都是光滑大圓環(huán)套小圓環(huán)(球)的物理模型,不同之處在于例2加了一段輕繩,大圓環(huán)最高點設(shè)置一光滑小孔(相當于定滑輪)。同樣的物理模型命題者的命題意圖不僅決定題目的考查方向,也決定考生的應(yīng)試策略,更決定運用什么物理知識和規(guī)律來分析解決。從不同角度考查考生所具備的物理素養(yǎng)。相似三角形法在處理共點力的動態(tài)平衡時常見,當無法確定邊角關(guān)系時應(yīng)考慮采用相似三角形法。

二、二倍角公式和差角公式

【例3】(二倍角公式)(2021·全國甲卷·14)如圖5,將光滑長平板的下端置于鐵架臺水平底座上的擋板P處,上部架在橫桿上。橫桿的位置可在豎直桿上調(diào)節(jié),使得平板與底座之間的夾角θ可變。將小物塊由平板與豎直桿交點Q處靜止釋放,物塊沿平板從Q點滑至P點所用的時間t與夾角θ的大小有關(guān)。若由30°逐漸增大至60°,物塊的下滑時間t將

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A.逐漸增大 B.逐漸減小

C.先增大后減小 D.先減小后增大

【答案】D

【點評】本題的創(chuàng)新點在于隨角度的增大加速度也增大,接觸點Q到P點距離(位移)也增大。位移和加速度均增大,要求判斷運動時間的變化情況,這增加了本題的難度?？忌话懔晳T位移或加速度中有一個物理量變化,利用物理公式判斷起來很容易,兩個物理量同時變化一般要借助數(shù)學工具分析,高中物理動力學問題中常利用三角函數(shù)求解變量問題。本題橫桿移動過程中與鐵架臺構(gòu)成的三角形底邊不變,考生只要抓住這一關(guān)鍵量,運用二倍角公式就可以找到解決問題的鑰匙。

【例4】(差角公式和二倍角公式)質(zhì)量為M的木楔傾角為θ,在水平面上保持靜止,當將一質(zhì)量為m的木塊放在木楔斜面上時,它正好勻速下滑。如果用與木楔斜面成α角的力F拉著木塊勻速上升,如圖6所示(已知木楔在整個過程中始終靜止)。

圖6

(1)求木塊和木楔之間的動摩擦因數(shù)μ;

(2)當α和θ滿足何種關(guān)系時,拉力F有最小值,并求此最小值;

(3)當F取最小值時,木楔對水平面的摩擦力是多少?

【解析】(1)因為木塊勻速下滑,所以沿斜面受力平衡

μmgcosθ=mgsinθ

μ=tanθ

(2)對木塊進行受力分析,如圖7所示。

圖7

沿斜面方向Fcosα=mgsinθ+Ff

垂直斜面方向Fsinα+FN=mgcosθ

Ff=μFN

用差角公式化簡整理得

因為θ角不變,當α=θ時,F有最小值,

Fmin=mgsin2θ

(3)把木塊和木楔視為整體,因為它們都處在平衡狀態(tài),所以地面對木楔的摩擦力與F水平方向的分力平衡。

Ff′=Fcos(α+θ)

F取最小值時α=θ,所以

【點評】本題受力分析相對簡單,運動形式單一,沒有復(fù)雜的物理過程。側(cè)重于考查應(yīng)用數(shù)學知識分析解決物理問題,本題有多個變量,只有重力恒定不變,(1)問中簡單考查平衡條件,沿斜面方向列平衡方程即可求出。在平時教學中要鼓勵學生嘗試解答難題,不能接觸到計算題就有懼怕心理。(2)問是本題的難點所在,平時所學的動態(tài)平行四邊形定則知識適用于三力平衡,該問受力情況較為復(fù)雜,F的大小和α角決定著支持力FN和摩擦力Ff的大小。這種情況下只能運用數(shù)學三角函數(shù)知識進行解答,增加了學生解答的難度,另一因素是學生把數(shù)學知識運用到物理解題過程的理念不強。建議高三復(fù)習備考中對物理問題中常用的數(shù)學知識加以重視,如正比例函數(shù)、一次函數(shù)(線性關(guān)系)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、平面幾何等,在一輪復(fù)習中結(jié)合具體題目加以復(fù)習,在二三輪復(fù)習中以專題形式呈現(xiàn),多加運用。

三、兩角之和、兩邊之和保持不變

【例5】(2021·湖南卷·5)質(zhì)量為M的凹槽靜止在水平地面上,內(nèi)壁為半圓柱面,截面如圖8所示,A為半圓的最低點,B為半圓水平直徑的端點。凹槽恰好與豎直墻面接觸,內(nèi)有一質(zhì)量為m的小滑塊。用推力F推動小滑塊由A點向B點緩慢移動,力F的方向始終沿圓弧的切線方向,在此過程中所有摩擦均可忽略,下列說法正確的是

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圖8

A.推力F先增大后減小

B.凹槽對滑塊的支持力先減小后增大

C.墻面對凹槽的壓力先增大后減小

D.水平地面對凹槽的支持力先減小后增大

對A、B兩個選項的分析有以下兩種方法:

【解法一】緊抓α、β兩角之和等于90°保持不變,對小滑塊受力分析,如圖9所示,由題意可知,推力F與凹槽對滑塊的支持力FN始終垂直,即α+β始終為90°,在小滑塊由A點向B點緩慢移動的過程中,α減小,β增大,由F=mgcosα、FN=mgsinα,可知推力F一直增大,凹槽對滑塊的支持力FN一直減小,AB錯誤。

圖9

【解法二】特殊位置法,在從A點緩慢運動到B點的過程中,A點推力F大于零(即很小的推力),在B點推力F等于mg,因此推力F一直增大。同理A點支持力FN等于mg,B點支持力為零,支持力一直減小。

【答案】C

【例6】(繩的彈力計算)如圖10所示,水平直桿OP右端固定于豎直墻上的O點,長為L=2 m的輕繩一端固定于直桿的P點,另一端固定于墻上O點正下方的Q點,OP長為d=1.2 m,重為8 N的鉤碼用質(zhì)量不計的光滑掛鉤掛在輕繩上且處于靜止狀態(tài),則輕繩的彈力大小為

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圖10

A.10 N B.8 N C.6 N D.5 N

圖11

【解法二】光滑掛鉤確定繩子與掛鉤節(jié)點是活結(jié),設(shè)掛鉤所在處為N點,延長PN交墻于M點,如圖11所示,兩段繩子拉力相等,根據(jù)對稱性可知兩邊的繩子與豎直方向的夾角相等,設(shè)為α,PN段繩長設(shè)為Xm,則QN段繩長為(2-X) m。

由幾何關(guān)系列出方程

Xsinα+(2-X)sinα=d

根據(jù)平衡條件可得2FTcosα=G

聯(lián)立解得α=37°,FT=5 N,故D正確。

【答案】D

【點評】本例題設(shè)計目的在于考查繩子活結(jié)和死結(jié)受力特點,共點力的平衡問題。在數(shù)學方法的選取上可以做到靈活多變,復(fù)習備考中應(yīng)引導學生認真分析題目的已知條件,抓住繩長和OP間的直桿長d之間的邊角關(guān)系,結(jié)合兩段繩子的受力特點,建立三角函數(shù)關(guān)系或利用平面幾何知識解決問題。